阅读与思考 集合中元素的个数第一课时教学实录

1.1.3集合的基本运算

整体设计

教学分析

课本从学生熟悉的集合出发,结合实例,通过类比实数加法运算引入集合间的运算,同时,结合相关内容介绍子集和全集等概念.在安排这部分内容时,课本继续注重体现逻辑思考的方法,如类比等. 值得注意的问题:在全集和补集的教学中,应注意利用图形的直观作用,帮助学生理解补集的概念,并能够用直观图进行求补集的运算. 三维目标

.理解两个集合的并集与交集、全集的含义,掌握求两个简单集合的交集与并集的方法,会求给定子集的补集,感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确,进一步提高类比的能力. .通过观察和类比,借助图理解集合的基本运算.体会直观图示对理解抽象概念的作用,培养数形结合的思想. 重点难点

教学重点:交集与并集,全集与补集的概念. 教学难点:理解交集与并集的概念,以及符号之间的区别与联系. 课时安排

课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路.我们知道,实数有加法运算,两个实数可以相加,例如.类比实数的加法运算,集合是否也可以“相加”呢? 教师直接点出课题. 思路.请同学们考察下列各个集合,你能说出集合与集合、之间的关系吗? (){}{}{}; (){是有理数}{是无理数}{是实数}. 引导学生通过观察、类比、思考和交流,得出结论.教师强调集合也有运算,这就是我们本节课所要学习的内容. 思路.()①如图甲和乙所示,观察两个图的阴影部分,它们分别同集合、集合有什么关系？

图1-1-3 ②观察集合与与集合{}之间的关系. 学生思考交流并回答,教师直接指出这就是本节课学习的课题:集合的运算. ()①已知集合{}{},写出由集合中的所有元素组成的集合. ②已知集合{>}{<},在数轴上表示出集合与,并写出由集合与中的所有元素组成的集合. 推进新课

新知探究

提出问题

①通过上述问题中集合与与集合之间的关系,类比实数的加法运算,你发现了什么？

②用文字语言来叙述上述问题中,集合与与集合之间的关系. ③用数学符号来叙述上述问题中,集合与与集合之间的关系. ④试用图表示∪. ⑤请给出集合的并集定义. ⑥求集合的并集是集合间的一种运算,那么,集合间还有其他运算吗？

请同学们考察下面的问题,集合与与集合之间有什么关系？

(ⅰ){}{}{}; (ⅱ){是国兴中学年月入学的高一年级女同学}{是国兴中学年月入学的高一年级男同学}{是国兴中学年月入学的高一年级同学}. ⑦类比集合的并集,请给出集合的交集定义？并分别用三种不同的语言形式来表达. 活动：先让学生思考或讨论问题,然后再回答,经教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路,主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画,用图来显示. 讨论结果：

①集合之间也可以相加,也可以进行运算,但是为了不和实数的运算相混淆,规定这种运算不叫集合的加法,而是叫做求集合的并集.集合叫集合与的并集.记为∪,读作并. ②所有属于集合或属于集合的元素所组成了集合. ③{∈,或∈}. ④如图所示. ⑤一般地,由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合,称为集合与的并集.其含义用符号表示为∪{∈,或∈},用图表示,如图所示. ⑥集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算,这种运算叫求集合的交集,记作∩,读作交.(ⅰ)∩,(ⅱ)∪. ⑦一般地,由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合,称为与的交集. 其含义用符号表示为: ∩{∈,且∈}. 用图表示,如图所示.

图1-1-3 应用示例

思路

.设{}{},求∪∩.

图1-1-3 活动：让学生回顾集合的表示法和交集、并集的含义,由于本例题难度较小,让学生自己解决,重点是总结集合运算的方法.根据集合并集、交集的含义,借助于图写出.观察这两个集合中的元素,或用图来表示,如图所示.

解：∪{}∪{}{}∩{}∩{}{}.

点评：本题主要考查集合的并集和交集.用列举法表示的集合,运算时常利用图或直接观察得到结果. 本题易错解为∪{}.其原因是忽视了集合元素的互异性.解决集合问题要遵守集合元素的三条性质. 变式训练

.集合{}{},则∪∩.

答案：{}

.集合{}{}∪{},则. 分析:由题意得或或,解得2答案：22.因不合题意,故舍去. 2

河南实验中学月考,理满足∪{}的集合与的组数为()

分析:∵∪{},∴{}.则或{}或{}或{}.当时{};当{}时,则集合{}或{};当{}时,则集合{}或{};当{}时,则集合或{}或{}或{},则满足条件的集合与的组数为. 答案：

辽宁高考,理设集合{},则满足∪{}的集合的个数是()

分析:转化为求集合子集的个数.很明显,又∪{},必有∈,即集合中至少有一个元素,其他元素来自集合中,则集合的个数等于{}的子集个数,又集合中含有个元素,则集合有个子集,所以满足条件的集合共有个. 答案：

.设{<<}{<<},求∪∩.

活动：学生回顾集合的表示法和并集、交集的含义.利用数轴,将、分别表示出来,则阴影部分即为所求.用数轴表示描述法表示的数集. 解：将{<<}及{<<}在数轴上表示出来.如图所示的阴影部分即为所求.

图1-1-3 由图得∪{<<}∪{<<}{<<}, ∩{<<}∩{<<}{<<}.

点评：本类题主要考查集合的并集和交集.用描述法表示的集合,运算时常利用数轴来计算结果. 变式训练

.设{<}{>},求∪∩.

答案：∪∩{<<}.

.设{}{},求∪∩.

答案：∪{}∩. 设集合{≤≤}{≤≤},则∩等于() .［］.［］.［］.［］

分析:在同一条数轴上表示出集合、,如图所示.由图得∩［］.

图1-1-3 答案：

课本例、例. 思路

{<}{>}{≥},则∩∪∩∩分别是什么? 活动：

学生先思考集合中元素特征,明确集合中的元素.将集合中元素利用数形结合在数轴上找到,那么运算结果寻求就易进行.这三个集合都是用描述法表示的数集,求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素. 解：因{<}{>}{≥},在数轴上表示,如图所示,所以∩{<<},

∪{>}∩∩.

图1-1-3 点评：本题主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集时,①明确集合中的元素;②依据并集和交集的含义,借助于直观(数轴或图)写出结果. 变式训练

.设{∈*}{∈},求∩∪. 解：对任意∈,则有·∈*,因∈*,故∈,有∈,那么∈, 即对任意∈有∈,所以. 而∈但,即,那么∩∪. .求满足{}∪{}的集合的个数. 解：满足{}∪{}的集合一定含有元素{};还可含或其中一个,有{},{};还可含和,即{},那么共有个满足条件的集合. .设{}{},已知∩{},求. 解：因∩{},则∈或, 或±, 当时; 当时不合题意. 当时不合题意. 故,此时{}{},满足∩{}.

北京高考,文设集合{<}{<<},则∩等于() .{<<}.{<<}

.{>}

.{<} 分析:集合{<}{<}, 观察或由数轴得∩{<<}.

答案：

.设集合{}{()∈},若∩,求的值. 活动：

明确集合、中的元素,教师和学生共同探讨满足∩的集合、的关系.集合是方程的解组成的集合,可以发现,通过分类讨论集合是否为空集来求的值.利用集合的表示法来认识集合、均是方程的解集,通过画图发现集合、的关系,从数轴上分析求得的值. 解：由题意得{}.∵∩,∴.∴或≠. 当时,即关于的方程()无实数解, 则Δ()()<,解得<.

当≠时,若集合仅含有一个元素,则Δ()(),解得, 此时{}{},即符合题意. 若集合含有两个元素,则这两个元素是, 即关于的方程()的解是. -40-2(a1),则有

2-40a-1.解得,则符合题意. 综上所得或≤.

变式训练

.已知非空集合{≤≤}{≤≤},则能使(∩)成立的所有值的集合是什么？

2a13a5,解：由题意知(∩),即非空,利用数轴得2a13,解得≤≤,

3a522.即所有值的集合是{≤≤}.

.已知集合{≤≤},集合{≤≤},且∪,试求实数的取值范围. 分析:由∪得,则有或≠,因此对集合分类讨论. 解：∵∪,∴. 又∵{≤≤}≠,∴,或≠. 当时,有>,∴<. 当≠时,观察图1-1-3: 图1-1-3

m12m1,由数轴可得2m1,解得≤≤.

2m15.综上所述,实数的取值范围是<或≤≤,即≤.

点评：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想,以及集合间关系的应用.已知两个集合的运算结果,求集合中参数的值时,由集合的运算结果确定它们的关系,通过深刻理解集合表示法的转换,把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题.这称为数学的化归思想,是数学中的常用方法,学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题. 知能训练

课本练习、、. 【补充练习】

.设{}{}, ()求∩∪. ()用适当的符号(、)填空: ∩∩∪∪∩∪. 解：()因、的公共元素为、,故两集合的公共部分为、, 则∩{}∩{}{}.

又、两集合的元素、、、、、,

故∪{}. ()由文氏图可知

∩∩∪∪∩∪. .设{<}{≥},求∩.

解：因<及≥的公共部分为≤<,

故∩{<}∩{≥}{≤<}.

.设{是锐角三角形}{是钝角三角形},求∩.

解：因三角形按角分类时,锐角三角形和钝角三角形彼此孤立.故、两集合没有公共部分. 所以∩{是锐角三角形}∩{是钝角三角形}. .设{>}{≥},求∪. 解：在数轴上将、分别表示出来,得∪{>}. .设{是平行四边形}{是矩形},求∪. 解：因矩形是平行四边形,故由及的元素组成的集合为∪∪{是平行四边形}. .已知{}{},设{()∈∈}{()∈∈},求∩∪. 分析、中元素是数、中元素是平面内点集,关键是找其元素. 解：∵{}{},则{(),()}{(),()},故∩{()}∪{(),(), ()}. 江苏高考若、、为三个集合∪∩,则一定有() 

≠



分析:思路一:∵(∩),(∩)∪∩,

∴∪∪.∴.∴. 思路二:取满足条件的{}{}{},排除、, 令{}{}{},则此时也满足条件∪∩,

而此时,排除. 答案：

拓展提升

观察：()集合{}{}时∩∪这两个运算结果与集合的关系; ()当时∩∪这两个运算结果与集合的关系; ()当{}时∩∪这两个运算结果与集合的关系. 由()()()你发现了什么结论？

活动：依据集合的交集和并集的含义写出运算结果,并观察与集合的关系.用图来发现运算结果与集合的关系.()()()中的集合均满足,用图表示,如图所示,就可以发现∩∪与集合的关系. 图1-1-3 解：∩∪. 可用类似方法,可以得到集合的运算性质,归纳如下: ∪∪(∪)(∪)∪∪∪; ∩∩;(∩),(∩)∩∩∩.

课堂小结

本节主要学习了: .集合的交集和并集.

.通常借助于数轴或图来求交集和并集. 作业

.课外思考:对于集合的基本运算,你能得出哪些运算规律？

.请你举出现实生活中的一个实例,并说明其并集、交集和补集的现实含义. .书面作业:课本习题组、、. 设计感想

由于本节课内容比较容易接受,也是历年高考的必考内容之一,所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容.设计中通过借助于数轴或图写出集合运算的结果,这是突破本节教学难点的有效方法.