习题2.1多媒体教学设计及其点评

本节课是高中《数学必修一》（人教A版）第二章第二节《指数函数及其性质》的内容。函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数及其图象与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数、幂函数以及等比数列的性质打下坚实的基础，起到承上启下的作用。

1.教学重点：指数函数的概念、图象、性质及其运用。

2.教学难点：指数函数图象和性质的发现过程及图象与底的关系。

一．知识梳理

x1.指数函数定义：一般地，函数ya（a0且a1）叫做指数函数。

2.指数函数有哪些特征？

答案：①底数：大于零且不等于1的常数；

②指数：自变量x，且为单个③系数：1；

④项数：只有一项a

3.指数函数的图像与性质：

函数

图

象

[来源学&科&网Z&X&X&K]x；学￥科网

x0a1

a1

定义R[来源:学科网ZXXK]域[来源:Z*xx*k.Com][来源:Z|xx|k.Com]

R

值域

性

质[来源学科0,

0,1

在,上是减函数

若x0，则0f(x)1

若x0，则1f(x)

0,

0,1

在,上是增函数

若x0，则f(x)1

若x0，则0f(x)1

定点

单调性

取值

网][来源:Z|xx|k.Com]

情况

对称性

函数ya与ya的图象关于y轴对称

xx

二．典题探究

类型一

求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域

命题角度1

fax型

例1

求下列函数的定义域、值域．

3xxx(1)y＝x；(2)y＝4－2＋1. 1＋3考点

指数型复合函数的值域

题点

指数型复合函数的值域

132x－2＋，

(2)定义域为R，y＝(2x)2－2x＋1＝24133∵2x>0，∴2x＝，即x＝－1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，

2443，＋∞. ∴值域为4反思与感悟

解此类题的要点是设ax＝t，利用指数函数的性质求出t的范围，从而把问题转化为y＝f(t)的问题．

命题角度2

afx型

例2

求函数y＝

1－32x1－的定义域、值域．

9考点

指数型复合函数的值域

题点

指数型复合函数的值域

解

要使函数有意义，

1－－－则x应满足32x1－≥0，即32x1≥32. 9∵y＝3x在R上是增函数，

1∴2x－1≥－2，解得x≥－. 2

1－，＋∞. 故所求函数的定义域为211－，＋∞时，32x－1∈，＋∞. 当x∈291－∴32x1－∈[0，＋∞)．

9∴原函数的值域为[0，＋∞)．

反思与感悟

y＝af(x)的定义域即f(x)的定义域，求y＝af(x)的值域可先求f(x)的值域，再利用y＝at的单调性结合t＝f(x)的范围求y＝at的范围．学*科网

类型二

指数函数图像的应用

命题角度1

指数函数整体图像

bx例3

在如图所示的图像中，二次函数y＝ax2＋bx＋c与函数y＝a的图像可能是(

)

考点

指数函数的图像与性质

题点

指数函数图像的位置与底数的关系

答案

A

命题角度2

指数函数局部图像

例4

若直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图像有两个公共点，求实数a的取值范围．

考点

指数函数的图像与性质

题点

指数函数图像的变换

x1－2，x<0，x解

y＝|2－1|＝x

2－1，x≥0，

图像如下：

1由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图像有两个公共点，需0<2a<1，即0

指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图像的“原料”作用．

类型三

解指数方程

例5

解下列关于x的方程．

1x＋2(1)81×32x＝9；

(2)22x2＋3×2x－1＝0. ＋考点

指数方程的解法

题点

指数方程的解法

反思与感悟

(1)af(x)＝b型通常化为同底来解．

(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为解二次方程，用二次方程求解时，

要注意二次方程根的取舍．

类型四

指数函数单调性的应用

命题角度1

解指数不等式

例6

解关于x的不等式：a2x1≤ax5(a>0，且a≠1)．

＋－考点

指数不等式

题点

指数不等式的解法

反思与感悟

解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．学#科网

命题角度2

与指数函数复合的函数单调性问题

例7

(1)求函数y12x26x17的单调区间；

12x1x＋17的单调区间．

(2)求函数y＝－8·22考点

指数函数的单调性

题点

指数型复合函数的单调区间

解

(1)y12x26x17的定义域为R. 在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减少的，

∴y12x26x17在(－∞，3]上是增加的．

在[3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是增加的，

∴y12x26x17在[3，＋∞)上是减少的．

∴y12x26x17的增区间是(－∞，3]，

减区间是[3，＋∞)．

反思与感悟

复合函数单调性问题归根结底是由x1

三．达标检测

1．方程42x1＝16的解是(

) －3A．x＝－

2C．x＝1

考点

指数方程的解法

题点

指数方程的解法

答案

B 3B．x＝

2D．x＝2 3－解析

42x1＝42，∴2x－1＝2，x＝. 22．函数f(x)A．(－∞，0]

C．(－1，＋∞)

考点

指数函数的单调性

12x21的递增区间为(

) B．[0，＋∞)

D．(－∞，－1)

题点

指数型复合函数的单调区间

答案

A 解析

∵f(x)12x21,0<2<1，∴f(x)的递增区间为u(x)＝x2－1的递减区间，即(－∞，0]．

2x2－3x＋213．设0

指数不等式

题点

指数不等式的解法

答案

(1，＋∞)

＞a2x＋2x－3的解集为________．

2

4．若指数函数y＝ax

在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝________. 考点

指数函数的单调性

题点

指数型复合函数的单调区间

答案

5±1

2－解析

若0

－1＋5－1－5解得a＝或a＝(舍去)．

22若a>1，则a－a1＝1，即a2－a－1＝0，

－1＋51－5解得a＝或a＝(舍去)．

22综上所述a＝

5±1. 2