小结教学创新设计

函数模型及其应用章节小结

●三维目标

1．知识与技能[来源学_科_网Z_X_X_K]

(1)掌握本章的知识结构

(2)掌握函数的零点与方程根的关系

（3）进一步理解函数模型及应用

2．过程与方法

(1)经历例1掌握函数零点存在定理的应用及零点与对应方程根的关系

(2)通过例2让学生经历实际应用问题的求解过程，体验拟合函数模型的题型特征，学会运用函数知识解决实际问题．

（3）通过例3的学习让学生了解数形结合是解决零点问题的重要方法。

3．情感、态度与价值观

了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣．

●重点、难点

重点：函数零点的求法和函数模型的应用．

难点：找零点所在的大致范围，及依据题设情境，建立函数模型．

●教学建议

建议教师引导学生回顾、梳理本章的知识．在学习过程中引导学生函数与方程的思想、数形结合的思想等基本数学思想方法

教学过程：

本章知识结构

参见课本第111页

课堂探究：

根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，思考时要多加注意．

2x－2

x∈[1，＋∞，1例1：

设函数f(x)＝2求函数y＝f(x)－的零点．

4x－2x

x∈－8，1，

1【思路点拨】

求函数的零点转化为求方程f(x)－＝0的解，此函数为分段函数，在每4一段里求方程的解，要注意求出的解是否满足x的范围．

1【解】

求函数y＝f(x)－的零点，

41即求方程f(x)－＝0的根．

419当x≥1时，2x－2－＝0得x＝. 481当－8

222＋5∵x<1，∴x＝舍去，

22－5∴x＝. 2192－5∴函数y＝f(x)－的零点是，. 482

变式练习1：已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是________．

【解析】

因为Δ＝(1－k)2＋4k＝(1＋k)2≥0对一切k∈R恒成立，又k＝－1时，f(x)的零点x＝－1∉(2,3)，故要使函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则必有f(2)·f(3)<0，即2

(2,3) 例2

某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R(x)(万元)满足

2－0.4x＋4.2x0≤x≤5，R(x)＝

11

x>5，

假设该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：

(1)写出利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)；

(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？

【思路点拨】

(1)利用“利润＝销售收入－总成本”求f(x)．

(2)先分段求出f(x)的最大值，然后从中选取最大值即为盈利最多的情况．

【规范解答】

(1)由题意得G(x)＝2.8＋x. ∴f(x)＝R(x)－G(x)＝

2－0.4x＋3.2x－2.80≤x≤5，

8.2－xx>5，

(2)当x>5时，

∵函数f(x)递减，

∴f(x)

当0≤x≤5时，函数f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，

当x＝4时，f(x)有最大值为3.6(万元)．

所以当工厂生产4百台时，可使盈利最大为

3.6万元．

变式练习2：旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15 000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团的人数多于30人，则给与优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？

【解】

设旅游团的人数为x人，飞机票为y元，依题意，得

当1≤x≤30时，y＝900；当30

9001≤x≤30，所以所求函数为y＝

－10x＋1 20030

设利润为Q，Q＝y×x－15 000＝

900x－15 000，1≤x≤30

2－10x＋1 200x－15 000，30

当1≤x≤30时，Qmax＝900×30－15 000＝12 000，

当30

所以当x＝60时，Qmax＝21 000>12 000，

答：当旅游团人数为60人时，旅行社可获得最大利润21 000元. 2－3，x≤0，例3

(2013·湖南师大附中高一检测)已知函数f(x)＝12x－x＋1，x>0.x21

(1)请在直角坐标系中画出函数f(x)的图象，并写出该函数的单调区间；

(2)若函数g(x)＝f(x)－m恰有3个不同零点，求实数m的取值范围．

【思路点拨】

解答本题可画出函数f(x)的图象，根据函数图象求解．

【规范解答】

(1)函数f(x)的图象如图；

函数f(x)的单调递减区间是(0,1) 单调递增区间是(－∞，0)及(1，＋∞)．

(2)作出直线y＝m，

函数g(x)＝f(x)－m恰有3个不同零点等价于函数y＝m与函数f(x)的图象恰有三个不同公共点．

由函数f(x)＝12x－x＋1，x>0212－x，x≤03

1的图象易知：m∈(，1)．

2

变式练习3：求函数f(x)＝ex＋4x－4的零点的个数．

【解】

根据函数零点与方程实根之间的关系，令f(x)＝0，即有ex＝4－4x. 在同一直角坐标系中分别作出y＝ex，y＝4－4x的图象，如图所示，由图易知，两函数图象仅有一个公共点，故方程ex＝4－4x有唯一实根，从而函数f(x)＝ex＋4x－4有唯一的零点．

课堂小结：

1．

求函数零点的方法：解方程f(x)＝0，注意自变量的取值范围或者转化为求两个函数图像的交点的横坐标

2．

函数的应用要认真分析题意，准确建立函数模型

当堂达标检测：

1、在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为________．

111113①(－，0)

②(0，)

③(，)

④(，)．

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