习题2.1主要内容及教案内容

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§2.1.1

指数与指数幂的运算

第1课时

根式

对于指数与指数幂的运算这节课，分两个课时讲解. 一．教学目标：

1．知识与技能：理解n次方根和根式的概念；

2．过程与方法：

（1）通过与初中所学的知识进行类比，掌握n次方根及根式的概念.

（2）正确运用根式运算性质进行运算，体验分类讨论思想的应用. 3．情态与价值

（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；

（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；

（3）让学生体验数学的简洁美和统一美. 二．重点、难点

1．教学重点：（1）根式概念的理解；

（2）掌握根式的运算性质；

2．教学难点：根式概念的理解

三．学法与教具

1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法

2．教具：多媒体

教学过程

一、复习提问：

什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？

归纳：在初中的时候我们已经知道：若x2a，则x叫做a的平方根.同理，若x3a，则x叫做a的立方根.

根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.

二、新课讲解

类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念.

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n次方根：一般地，若xna，则x叫做a的n次方根（throot），其中n ＞1，且n∈Ｎ，当n为偶数时，a的n次方根中，正数用na表示，如果是负数，用na表示，na叫＊做根式.n为奇数时，a的n次方根用符号na表示，其中n称为根指数，a为被开方数.

类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？

nn为奇数,

a的n次方根有一个,为a

a为正数:nn为偶数,

a的n次方根有两个,为an为奇数, a的n次方根只有一个,为naa为负数:

n为偶数, a的n次方根不存在.零的n次方根为零，记为n00

举例：16的次方根为2，27的5次方根为527等等，而27的4次方根不存在.

小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.

例1 求下列各式的值: 4322(1)3(8);(2)(10);(3)4(3);(4)(ab)(a>b). 活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药.求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数. 3解：(1)3(8)=－8; 2(2)(10)=10; 4(3)4(3)=π－3; 2(4)(ab)=a－b(a>b). 点评：不注意n的奇偶性对式子nan的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在www.91taoke.com

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理解的基础上，记准，记熟，会用，活用. 变式训练

求出下列各式的值: 7(1)7(2); 3(2)3(3a3)(a≤1);

4(3)4(3a3). 7解：(1)7(2)=－2，

3(2)3(3a3)(a≤1)=3a－3，

4(3)4(3a3)=3a3,a1,

33a,a1.点评：本题易错的是第(3)题，往往忽视a与1大小的讨论，造成错解.

例2 322+322=_________ 活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手?需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式.正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路. 解：322=122(2)=(12)=2+1. 22322=(2)2221=(21)2=2－1. 所以322+322=22. 点评：不难看出322与322形式上有些特点，即是对称根式，是式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式.

思考：上面的例2还有别的解法吗? 活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是+，一个是－，去掉一层根号后，相加www.91taoke.com

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A2B形

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正好抵消.同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法. 另解：利用整体思想，x=322+322，

两边平方得x2=3+22+3－22+2(322)(322)=6+23(22)=6+2=8，所以x=22. 点评：对双重二次根式，特别是22A2B形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的A2BA2B的式子，我们式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解. 变式训练

若a2-2a1=a－1，求a的取值范围. 2解：因为a2-2a1=a－1，而a2-2a1=(a1)=|a－1|=a－1，

即a－1≥0，

所以a≥1.

点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号，是解题的关键. 知能训练

(教师用多媒体显示在屏幕上) 1.以下说法正确的是(

) A.正数的n次方根是一个正数

B.负数的n次方根是一个负数

C.0的任何次方根都是零

D.a的n次方根用na表示(以上n＞1且n∈N*). 答案：C 2.化简下列各式: 2263(1)664;(2)4(3);(3)4x8;(4)6xy;(5)(x-y). 答案：(1)2;(2)9;(3)x2;(4)|x|3.计算7

y;(5)|x－y|. 40740=__________. www.91taoke.com

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解：7240740

222=(5)252(2)(5)252(2)

=(52)2(52)2

=5+2+5－2

=25. 答案：25

拓展提升

问题：nan=a与(na)n=a（n＞1，n∈N）哪一个是恒等式，为什么?请举例说明. 活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n次方根的定义. 通过归纳，得出问题结果，对a是正数和零，n为偶数时，n为奇数时讨论一下.再对a是负数，n为偶数时，n为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论. 解答：①（na）n=a（n＞1，n∈N）. 如果xn=a（n＞1，且n∈N）有意义，则无论n是奇数或偶数，x=na一定是它的一个n次方根，所以（na）n=a恒成立. 例如：（43）4=3，(35)3=－5. ②nan=a,当n为奇数,|a|,当n为偶数.

当n为奇数时，a∈R，nan=a恒成立. 5例如：525=2，5(2)=－2. 当n为偶数时，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan=a.例如434=3，

40=0；如果a＜0，那么nan=|a|=－a，如(-3)2=32=3. 即（na）n=a（n＞1，n∈N）是恒等式，nan=a（n＞1，n∈N）是有条件的. 点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解. www.91taoke.com

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三．归纳小结：

1．根式的概念：若n＞1且nN*，则x是a的n次方根,n为奇数时,x=na,

n为偶数时，xna；

a(a0)2．掌握两个公式：n为奇数时,(a),n为偶数时,a|a|

a(a0)nnnn四．作业：P69习题2.1

A组

第1题

第2课时

有理指数幂的运算

一．教学目标：

1．知识与技能：（1）理解分数指数幂的概念；

（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；

（3）掌握分数指数幂的运算性质；

（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.

2．过程与方法：

通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.

3．情态与价值

（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；

（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；

（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.

二．重点、难点

1．教学重点：（1）分数指数幂概念的理解；

（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；

2．教学难点：分数指数幂概念的理解

三．学法与教具

1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法

2．教具：多媒体

四、教学过程：

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提问：

1．习初中时的整数指数幂，运算性质？

anaaaa,a01(a0),00无意义

an1an(a0)

amanamn;(am)namn

(an)mamn,(ab)nanbn

什么叫实数？

有理数，无理数统称实数.

2．观察以下式子，并总结出规律：a＞0 ①

③

5a5(a)aa

②

124343124510252105a(a)aa

1058424824a(a)aa

④a(a)aa

252105小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.

根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：

3aa(a0)

bb(b0)

122234cc(c0)

nmmn*554即：aa(a0,nN,n1)

为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：

anam(a0,m,nN*)

正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.

即：amnmn1amn(a0,m,nN*)

规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.

说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的www.91taoke.com

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一种新的写法，而不是aaaa(a0)

由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

（1）aaarSrsrsnm1m1m1m(a0,r,sQ)

（2）(a)a(a0,r,sQ)

（3）(ab)ab(Q0,b0,rQ)

若a＞0，P是一个无理数，则a(a0,p是一个无理数)该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P62——P62.

即：2的不足近似值，从由小于2的方向逼近2，2的过剩近似值从大于2的方向逼近2.

所以，当2不足近似值从小于2的方向逼近时，52prrrrs的近似值从小于52的方向逼近52.

当2的过剩似值从大于2的方向逼近2时，52的近似值从大于52的方向逼近52，(如课本图所示)

所以，5是一个确定的实数.

一般来说，无理数指数幂a(a0,p是一个无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.

由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：

p2arasars(a0,rR,sR)

(ar)sars(a0,rR,sR)

(ab)rarbr(a0,rR)

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例1求值:①8;②2523121－16③()5;④()4. 2813活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23，25写成52，

1162－写成21，写成()4，利用2813有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来. 解：①8=(2)=2②25122323312323=22=4; =51=－=(5)2=512()21; 5③(1－5－1－5－1)=(2)=2×(－5)=32; 2331624(4)2－327④()4=()=()=. 81338点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解.在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如8=382=364=4.

例2用分数指数幂的形式表示下列各式. 3a3·a;a2·a2;a3a(a>0). 23活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结. 解：a·a=a·a=aa·a=a·a=a13123312312=a; 8372232223232=a; 431223a3a=(a·a)=(a)=a. 点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数. 例3计算下列各式（式中字母都是正数）: www.91taoke.com

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（1）(2ab)(－6ab)÷(－3ab); （2）(mn14388231212131656). 活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤. 解：（1）原式=［2×(－6)÷(－3)］a（2）(mn14388211326388b115236=4ab0=4a; )=(m)(n148388)=m184nm2=mn=3. n2－3点评：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法.有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了. 本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用. 变式训练

求值: 36(1)33·3·3; 327m4(2)6(. )6125n121316111123636解：(1)33·3·3·3=33·3=3·=32=9；

34629m27m924(3)(m)27m3m4mn. (2)6(=(=(===)()()4442525n125n653n6125n6(53)6(n6)633463346436例4求值或化简. (1)ab423ab2(a>0，b>0); 1(2)()241(4ab1)(0.1)2(a3b)132(a>0，b>0); www.91taoke.com

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(3)526743642. 活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)由里向外把根式化成分数指数幂，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，对(2)既有分数指数幂又有根式，应当统一起来，化为分数指数幂，对(3)有多重根号的式子，应先去根号，这里是二次根式，被开方数应凑完全平方，这样，把5，7，6拆成(3)2+(2)2，22+(3)2，22+(2)2，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律. 解：(1)ab423ab=ab(ab)=abab=a24222132312－21613116b=4336b4a11. 点评：根式的运算常常化成幂的运算进行，计算结果如没有特殊要求，就用根式的形式来表示. 1(2)()412(4ab)13132(0.1)2(a3b)33334440042222=aabb=ab=. 25251021232点评：化简这类式子一般有两种办法，一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数，另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数. (3) 526743642

222=(32)(23)(22)

=3－2+2－3－2+2

=0. 点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数，千万注意方根的性质的运用.

例5化简下列各式: (1)x2y2x23y－23x2y2x－23y23; (2)(a3+a3)(a3－a3)÷［(a4+a4+1)(a－a1)］. －－活动：学生观察式子的特点，特别是指数的特点，教师引导学生考虑题目的思路，这两题要www.91taoke.com

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注意分解因式，特别是立方和和立方差公式的应用，对有困难的学生及时提示:对(1)考查x2与x的关系可知x=(x)，立方关系就出来了，公式便可运用，对(2)先利用平方差，再利用幂的乘方转化为立方差，再分解因式，组织学生讨论交流. 解：(1)原式=232233x2y2x23y2323x2y2x23y23

2323232=(x=x232)xy2323(y)[(x)(x)(y)(y)]

43232432322343(xy)yx(xy)y=2(xy)－432323xy; xy(2)原式=［(a3)2－(a3)2］÷［(a4+a4+1)(a－a1)］

－－(a2)2(a2)2(a2a2)(a4a41)a2(a1)2－1=4===a+a. 141441aa(aa1)(aa)(aa1)(aa)点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用，因为二项和、差公式，平方差公式一般在使用中一目了然，而对立方和立方差公式却一般不易观察到，a=(a)还容易看出，对其中夹杂的数字m可以化为m·aa这些公式的能力. 知能训练

课本P59习题2.1A组

3. 利用投影仪投射下列补充练习: 1.化简:(1+2132321231212=m，需认真对待，要在做题中不断地提高灵活运用)(1+2116)(1+218)(1+2114)(1+212)的结果是(

) 111132－132－132A.(1－2)

B.(1－2)

C.1－2

D.(1－232) 221分析:根据本题的特点，注意到它的整体性，特别是指数的规律性，我们可以进行适当的变形. 因为(1+2132)(1－2132)=1－212116，所以原式的分子分母同乘以(1－212132)，

依次类推，所以(12)(12)12132=121121321－=(1－232)1. 21答案：A www.91taoke.com

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7103－－－2.计算(2)0.5+0.12+(2)－3π0+90.5+490.5×24. 92725227313917解：原式=()+100+()－3+492×=+100+－3++=100. 964165163163.计算a2a11212a2a1(a≥1).

22解：原式=(a11)(a11)a11|a11|(a≥1).

本题可以继续向下做，去掉绝对值，作为思考留作课下练习. 1n4.设a>0，x=(a－an)，则(x+1x2)n的值为_______. 211分析:从整体上看，应先化简，然后再求值，这时应看到

1n1nn2n2解：1+x=1+(a－a)=(a+a). 4411112这样先算出1+x2，再算出1x2，

111将x=(an－an)代入1+x2，得1+x2=1+(an－an)2=(an+an)2. 24411111111111n1nn2n2nn所以(x+1x)=［(a－a)+(a+a)］

24111111=［(an－an)+(an+an)］n=a. 22答案：a

课堂小结

(1)无理指数幂的意义. 一般地，无理数指数幂aα（a>0，α是无理数）是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算性质: 对任意的实数r，s，均有下面的运算性质: ①ar·as=ar+s(a>0，r，s∈R). ②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R). www.91taoke.com

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③(a·b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R). (3)逼近的思想，体会无限接近的含义. 作业

课本P60习题2.1 B组

2.

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