复习参考题教学目标

有志者，事竟成！

第二章

基本初等函数复习

学习目标

1.复习巩固指数、对数的运算性质,进一步熟练地运用指数函数、对数函数及幂函数的性质解决一些问题; 2.在学生对教材知识掌握的基础上,引导学生利用所学的知识解决问题,提高学生分析问题与解决问题的能力. 3.在学生利用所学知识分析问题与解决问题过程中，发现数学的美，增加对数学的兴趣.

一、复习

1.n次方根的定义: n次方根:如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.

2.n次方根的性质

(1)当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,记为

;

(2)当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,记为

;

(3)负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0.

3.

为奇数

为偶数

4.有理数指数幂的运算性质

an=

·

…

(n∈N*);a0=1(a≠0);a-n=

(a≠0,n∈N*).

个

(1)am·an=am+n(m,n∈Q);(2)(am)n=amn(m,n∈Q);(3)(ab)n=an·bn(n∈Q).

其中a÷a=a·a=a,(

)=(a·b)=a·b=

.

5.对数:如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作

.其中a叫做对数的底数,N叫做真数.

根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系: 当a>0,且a≠1时,ax=N⇔x=logaN(符号功能)——熟练转化; 常用对数:以10为底log10N写成

;

自然对数:以e为底logeN写成

(e=2.71828…).

6.对数的性质

(1)在对数式中N=ax>0(负数和零没有对数); (2)loga1=0,logaa=1(1的对数等于0,底数的对数等于1); (3)如果把ab=N中的b写成

,则有

=N(对数恒等式).

7.对数的运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: (1)loga(M·N)=

; (2)loga

=

; (3)logaMn=

;

(4)logab=

(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)(换底公式);

mnm-nm-n

n-1nn-n

1

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(5)logab=

; (6)lo

bn=

.

8.指数函数的性质

函数名指数函数

称

定义

函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数

a>1 0

定义域

值域

过定点

图象过定点

,即x=0时,y=1

奇偶性

非奇非偶

单调性

在R上是

函数

在R上是

函数

函数值的

y>1(x>0),y=1(x=0),01(x<0),y=1(x=0),00) 变化情) 况

a变化在第一象限内,a越大图象越高,在第二象限内,a越小图象越高,对

越靠近y轴; 越靠近y轴; 图象的

在第二象限内,a越大图象越低,在第一象限内,a越小图象越低,影响

越靠近x轴

越靠近x轴

9.对数函数的性质

函数名对数函数

称

定义

函数y=logax(a>0且a≠1)叫做对数函数

a>1 0

定义域

值域

过定点

奇偶性

单调性

函数值的

变化情

图象过定点

,即x=1时,y=0

在(0,+∞)上是

函数

在(0,+∞)上是

函数

logax>0(x>1) logax<0(x>1) logax=0(x=1) logax=0(x=1) logax<0(00(0

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况

a变化在第一象限内,a越大图象越低,在第一象限内,a越小图象越低,对

越靠近x轴, 越靠近y轴, 图象的

在第四象限内,a越大图象越高,在第四象限内,a越小图象越高,影响

越靠近y轴

越靠近x轴

10.反函数

(1)反函数概念

函数y=ax(x∈R)与对数函数y=logax(x∈(0,+∞))互为反函数.即同底的指数函数与对数函数互为反函数.

(2)反函数的性质

互为反函数的两个函数的图象关于直线

对称.

11.幂函数

(1)幂函数的定义

一般地,函数

叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.

(2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限; ②过定点:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1); ③单调性:如果α>0,则幂函数的图象过原点,并且在[0,+∞)上为增函数.如果α<0,则幂函数的图象在(0,+∞)上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与y轴; ④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当α=

(其中p,q互质,p和q∈Z),若p为奇数q为奇数时,则y=

是奇函数,若p为奇数q为偶数时,则y=

是偶函数,若p为偶数q为奇数时,则y=

是非奇非偶函数; ⑤图象特征:幂函数y=xα,x∈(0,+∞),当α>1时,若01,其图象在直线y=x上方;当α<1时,若0

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上方,若x>1,其图象在直线y=x下方.

二、典例分析,性质应用

1.指数、对数运算

熟练掌握指数的定义、运算法则、公式和对数的定义、运算法则.公式是指数、对数函数及其一切运算赖以施行的基础.

【例1】计算下列各式的值.

(1)(0.027

-(

)+(2

-(

-1)0; (2)lg5(lg8+lg1000)+(lg

)2+lg

+lg0.06.

【例2】设4a=5b=100,求2(

)的值.

【例3】(选讲)已知f(x)=

,且0

说明:如果函数f(x)=

,则函数f(x)满足f(x)+f(1-x)=1.

-

-2

2.指数函数、对数函数、幂函数的图象

熟悉指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是熟练求解指、对、幂问题的关键.

【例4】已知c<0,下列不等式中成立的一个是(

)

A.c>2c

B.c>(

)c

C.2c<(

)c

D.2c>(

)c

【例5】方程2x-x2=2x+1的解的个数为

.

【例6】0.32,log20.3,20.3这三个数之间的大小顺序是(

) A.0.32<20.3

B.0.32

4

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C.log20.3<0.32<20.3

D.log20.3<20.3<0.32

【例7】方程log3x+x=3的解所在的区间是(

) A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,+∞) -x+1【例8】函数f(x)=1+log2x与g(x)=2在同一直角坐标系下的图象大致是(

)

3.指数函数、对数函数的性质

【例9】比较下列每组中两个数的大小. (1)2.10.3

2.10.4;(2)()1.3

()1.6;

(3)2.10.3

(

)-1.3;(4)log51.9

log52; (5)log0.70.2

log0.52;(6)log42

log34.

【例10】求下列函数的定义域.

(1)y=

-

;(2)y= -

;(3)y=lo

(3x-2);(4)y=

- .

【例11】求下列函数的值域.

(1)y=1-2x,x∈[1,4];(2)y=3+log2x,x∈[1,+∞).

【例12】解下列不等式.

(1)

<2x-1<4;(2)log0.7(2x)

-

若f(x0)<2,求x0的取值范围.

变式:设函数f(x)=

4.指数、对数型复合函数的单调性

指数、对数函数的单调性应用十分广泛,可以用来比较数或式的大小,求函数5

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的定义域、值域、最大值、最小值,求字母参数的取值范围等.

对复合函数y=f[g(x)],若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在(c,d)上是增函数,那么复合函数在(a,b)上为增函数.可推广为下表(简记为同增异减): u=g(x增

增

减

减

) y=f(u增

减

增

减

) y=f[g增

减

减

增

(x)]

【例13】如果函数f(x)=(a2-1)x在R上是减函数,求实数a的取值范围.

【例14】求下列函数的单调区间.

(1)f(x)=(

变式:求下列函数的单调区间.

(1)y=

-

- ;(2)y=log5(x2-2x-3).

;(2)y=log0.1(2x2-5x-3).

【例15】函数y=loga(x-4)的单调增区间是(4,+∞),求实数a的取值范围.

6

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【例16】(选讲)求函数y=4x+2x+1+3在区间[0,1]上的最大值与最小值.

2【例17】求函数y=2lo

x-lo

x+1(≤x≤4)的值域.

5.探究问题

【例18】课本P75习题2.2B组第5题.

(1)试着举几个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a·b)=f(a)+f(b)”的函数例子,你能说出这些函数具有哪些共同性质吗? (2)试着举几个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)·f(b)”的函数例子,你能说出这些函数具有哪些共同性质吗?

三、作业精选,巩固提高

1.计算下列各式的值.

(1)lo

(3+2

);(2)lg25+lg2×lg50; (3)log6[log4(log381).

2.求下列函数的定义域.

(1)y=

-

;(2)y=

;

7

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(3)y=

-

2x;(4)y=loga(x-1)(0

- 3.求下列函数的值域: (1)y=(

)x+2,x∈[-1,2]; (2)y=log2(x2-4x-5).

4.求函数y=log2

·log2

(x∈[1,8])的最大值和最小值.

5.函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,求实数a的值.

6.求下列函数的单调区间.

(1)f(x)=

-

; (2)f(x)=log4(2x+3-x2); (3)f(x)=

7.(1)y=lo

- x是减函数,求实数a的取值范围; (2)若函数f(x)=log0.5(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围; (3)已知函数f(x)=loga(2-ax)在区间[0,1]上是减函数,求实数a的取值范围; -

(4)已知f(x)=

是(-∞,+∞)上的减函数,求实数a的取

值范围.

8.求不等式loga(2x+7)>loga(4x-1)(a>0,且a≠1)中x的取值范围.

8

-

(0

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9.已知f(x6)=log2x,求f(8).

10.判断函数f(x)=lg(

-x)的奇偶性.

11.已知函数f(x)=loga

-

(a>0,且a≠1).

(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)求不等式f(x)>0的解集.

9

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参考答案一、复习

2.(1)-

(2)±

5.x=logaN

lgN

lnN

6.(3)logaN

7.(1)logaM+logaN

(2)logaM-logaN

(3)nlogaM

(5)

(6)

logab

8.R

(0,+∞) (0,1) 增

减

9.(0,+∞) R

(1,0) 非奇非偶

增

减

10.(2)y=x

11.(1)y=xα

二、典例分析,性质应用

【例1】(1)-45;(2)1.

【例2】2.

【例3】(1)1;(2)500.

【例4】解析:在同一坐标系中分别作出y=x,y=(

)x,y=2x的图象(如图),显然

x<0时,x<2x<(

)x,即c<0时,c<2c<(

)c,故选C. 答案:C 【例5】解析:原方程即2x=x2+2x+1,在同一坐标系中画出y=2x,y=x2+2x+1的图象,由图象可知有3个交点.

答案:3 【例6】解析:如图,在同一坐标系中作出函数y=2x,y=x2及y=log2x的图象.观察图象知当x=0.3时,log20.3<0.32<20.3.选C. 10

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答案:C 【例7】解析:直接解方程是无法实现的,而借助数形结合思想作出图象,则问题易于解决.

设y1=log3x,y2=-x+3,在同一坐标系中画出它们的图象(如图),观察可排除A,D.其交点P的横坐标应在(1,3)内.又x=2时,y1=log32<1,而y2=-x+3=1,且知y1是增函数,y2是减函数,所以交点P的横坐标应在(2,3)内,故选C.

答案:C 【例8】解析:f(x)的图象过点(1,1),g(x)的图象过点(0,2),只有C符合,故选C. 答案:C 【例9】(1)<;(2)>;(3)<;(4)<;(5)>;(6)<.

【例10】(1)(-∞,

)∪(

,+∞);(2)[0,+∞);(3)(

,+∞);(4)(5,6].

【例11】(1)[-15,-1];(2)[3,+∞).

【例12】(1)(0,3);(2)(1,+∞).

变式:(-1,1) 【例13】(-

,-1)∪(1,

) 【例14】(1)减区间:(3,+∞),增区间:(-∞,3);(2)增区间:(3,+∞),减区间:(-∞,-1).

变式:(1)增区间:(1,+∞),减区间:(-∞,1);(2)减区间:(

,3),增区间:(-

).

【例15】(1,+∞) 【例16】最大值为11,最小值为6.

【例17】解:令lo

x=u,∵

≤x≤4,∴-2≤u≤2,

函数变为y=2u2-2u+1=2(u-

)2+

(-2≤u≤2).

∴当u=

时,ymin=

;当u=-2时,ymax=13.

由u=

得,x=

,由u=-2得,x=4.

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∴x=

时,函数取最小值

,x=4时,函数取最大值13,∴函数的值域为[

,13].

【例18】(1)y=log2x,y=log0.3x;(2)y=3x,y=0.1x.

三、作业精选,巩固提高

1.(1)2;(2)1;(3)0.

2.(1)(-∞,0];(2)(-

,-

];(3)(1,4)∪(4,+∞);(4)(-∞,1)∪(1,+∞);(5)(-1,0)∪(0,2).

3.(1)[

,5];(2)R.

4.ymin=-

,ymax=2.

5.

6.(1)减区间:(1,+∞),增区间:(-∞,1);(2)增区间:(-1,1),减区间:(1,3);(3)a>1时,增区间:(-1,+∞),减区间:(-∞,-1);a<1时,增区间:(-∞,-1),减区间:(-1,+∞).

7.(1)(-

,-1)∪(1,

);(2)(-4,4];(3)(1,2);(4)(

).

8.a>1时,x的取值范围为(

,4);0

9.

10.奇函数

11.(1)(-1,1);(2)奇函数;(3)a>1时,(0,1);0

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