信息技术应用 用计算机绘制函数图象优秀课堂实录

§2.2

函数的单调性与最值

成都市华阳中学 刘文清 2018.05.16 一、学习引导——知识梳理

（一）考纲解读：

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. （二）考情分析：

以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.

（三）知识梳理

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数

减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

定义

当x1

当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

自左向右看图象是下降的

2．函数的最值

前提

条件

结论

知识拓展

函数单调性的常用结论

fx1－fx2fx1－fx2(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，>0⇔f(x)在D上是增函数，<0⇔f(x)在D上是x1－x2x1－x2减函数．

a(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为[－a，0)和(0，xa]．

(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．

二、先学自研——基础自测

题组一

思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)

×

) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(

×

) 1(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(

×

) x(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．(

√

) 题组二

教材改编

2．[P39B组T1]函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是____________．

答案

[1，＋∞)(或(1，＋∞)) 23．[P31例4]函数y＝在[2,3]上的最大值是______．

x－1答案

2 4．[P44A组T9]若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．

答案

(－∞，2] 解析

由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2. 题组三

易错自纠

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

M为最大值

(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

M为最小值

5．函数y＝log1(x24)的单调递减区间为________．

2答案

(2，＋∞) 6．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[3，＋∞)，则a的值为________．

答案

－6 a－，＋∞，

解析

由图象(图略)易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是2a令－＝3，得a＝－6. 21x，x≥1，7．函数f(x)＝的最大值为________．

2－x＋2，x＜1答案

2 1解析

当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当xx＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2. 故函数f(x)的最大值为2. 三、互动探究、点拨讲解——题型分类、深度剖析

题型一

确定函数的单调性(区间)——多维探究

题点1

给出具体解析式的函数的单调性

典例

(1)函数y＝log1(2x2－3x＋1)的单调递减区间为(

) 2

A．(1，＋∞)

1C.2，＋∞

答案

A 解析

由2x2－3x＋1>0，

3－∞，

B.43D.4，＋∞

1－∞，∪(1，＋∞)．

得函数的定义域为2令t＝2x2－3x＋1，则y＝log1t，

231x－2－，

∵t＝2x2－3x＋1＝248∴t＝2x2－3x＋1的单调递增区间为(1，＋∞)．

又y＝log1t在(1，＋∞)上是减函数，

2∴函数y＝log1(2x2－3x＋1)的单调递减区间为(1，＋∞)．

2

(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．

答案

[－1,0]，[1，＋∞) 解析

由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，

二次函数的图象如图．

由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．

命题点2

解析式含参数的函数的单调性

1典例

判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在[1,2]上的单调性．

x1解

函数f(x)＝ax2＋(1

x证明：设1≤x1＜x2≤2，则

112f(x2)－f(x1)＝ax2＋－ax－

21x2x11ax1＋x2－＝(x2－x1)x1x2，

由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0,2＜x1＋x2＜4，

111＜x1x2＜4，－1＜－＜－. x1x24又因为1＜a＜3，所以2＜a(x1＋x2)＜12，

1得a(x1＋x2)－＞0，

x1x2从而f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，

故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．

引申探究

如何用导数法求解本例？

312ax－1解

因为f′(x)＝2ax－2＝，

xx2因为1≤x≤2，∴1≤x3≤8，又1＜a＜3，

所以2ax3－1＞0，所以f′(x)＞0，

1所以函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在[1,2]上是增函数．

x思维升华

确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的

单调区间不能用“∪”连接．

跟踪训练

(1)(2017·郑州模拟)函数y＝()A．(1，＋∞)

1，＋∞

C.2答案

B 1t2－∞，3. 解析

易知函数y＝为减函数，t＝2x－3x＋1的单调递减区间为43∴函数y＝()132x23x1的单调递增区间为(

) 3－∞，

B.43，＋∞

D.4132x23x13－∞，. 的单调递增区间是4(2)函数y＝－(x－3)|x|的单调递增区间是________．

30，

答案

22－x＋3x，x>0，解析

y＝－(x－3)|x|＝2

x－3x，x≤0.

30，. 作出该函数的图象，观察图象知单调递增区间为2

题型二

函数的最值——自主演练

1x1．函数f(x)＝3－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．

答案

3 1x解析

由于y＝3在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3. x，x≤1，2．已知函数f(x)＝6则f(x)的最小值是________．

x＋－6，x＞1，x答案

26－6 解析

当x≤1时，f(x)min＝0，当x＞1时，f(x)min＝26－6，当且仅当x＝6时取到最小值，又26－6＜0，所以f(x)min＝26－6. 1111，2上的值域为，2，则a＝________. 3．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，若f(x)在22ax2

2答案

5111解析

由反比例函数的性质知函数f(x)＝－(a>0，x>0)在2，2上单调递增，

ax11f＝，22所以f2＝2，



即11a－2＝2，11－2＝，a2

2解得a＝. 5思维升华

求函数最值的五种常用方法及其思路

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．

(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．

(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．

题型三

函数单调性的应用

命题点1 比较大小

典例

已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x21－，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(

) －x1)<0恒成立，设a＝f2A．c>a>b

B．c>b>a

C．a>c>b

D．b>a>c

答案

D 解析

根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a155－＝f，且2<<3，所以b>a>c. ＝f222命题点2 解函数不等式

典例

已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为____________．

答案

(－3，－1)∪(3，＋∞) a－a>0，解析

由已知可得a＋3>0，a2－a>a＋3，2

解得－33，

所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．

命题点3

求参数范围

x－5典例

(1)(2018·郑州模拟)函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(

) x－a－2A．a＝－3

B．a＜3

C．a≤－3

D．a≥－3 3a－1x＋4a，x＜1，(2)已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是(

) logx，x≥1a

A．(0,1)

11C.7，3

答案

(1)C

(2)C 10，

B.31D.7，1

x－a－2＋a－3a－3解析

(1)y＝＝1＋，

x－a－2x－a－2a－3＜0，由题意知得a≤－3. a＋2≤－1，

∴a的取值范围是a≤－3. 3a－1＜0，(2)由f(x)是减函数，得0＜a＜1.3a－1×1＋4a≥loga1，

1111∴≤a＜，∴a的取值范围是7，3. 73思维升华

函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

(1)比较大小．

(2)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．

(3)利用单调性求参数．

①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；

②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；

③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．

2－ax＋1，x<1，fx1－fx2跟踪训练

(1)如果函数f(x)＝x满足对任意x1≠x2，都有>0成立，x1－x2a，x≥1

那么a的取值范围是________．

3答案

2，2

解析

对任意x1≠x2，都有fx1－fx2＞0. x1－x2所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．

2－a＞0，所以a＞1，2－a×1＋1≤a，

3解得≤a＜2. 2

3故实数a的取值范围是2，2. 1(2)(2017·珠海模拟)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f2＝0，则不等式f(log1x)>0的解集为________________．

910

答案

x311－＝－f＝0，

解析

由题意知，f22f(x)在(－∞，0)上也单调递增．

1－1，

∴f(log1x)＞f或f()＞flogx12299

11∴log1x＞或－＜log1x＜0，

22991解得0＜x＜或1＜x＜3. 310

四、训练内化

（一）基础训练

1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是(

) A．递减函数

C．先递减再递增

答案

C 解析

作出函数y＝x2－6x＋10的图象(图略)，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的．

2．(2017·河南中原名校第一次质检)函数y＝log1(x2x6)的单调递增区间为(

) 2B．递增函数

D．先递增再递减

1A.2，3

1，＋∞

C.2答案

A 1－2，

B.21－∞，

D.2解析

由－x2＋x＋6＞0，得－2＜x＜3，故函数的定义域为(－2,3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝log1t，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋62在(－2,3)上的单调递减区间．

1利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为2，3，故选

A. 3．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是(

) 1A．y＝

1－xC．y＝ln(x＋1)

答案

D 1解析

y＝与y＝ln(x＋1)在区间(－1,1)上为增函数；

1－x1x－y＝cos x在区间(－1,1)上不是单调函数；y＝2x＝2在(－1,1)上为减函数．

4．已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上是增函数，则实数a的取值范围是(

) A．(0,1]

C．[1，＋∞)

答案

C 解析

要使y＝log2(ax－1)在(1,2)上是增函数，则a>0且a－1≥0，即a≥1. 1log2，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，5．(2017·天津)已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f5则a，b，c的大小关系为(

) A．a

C．c

答案

C 解析

∵f(x)在R上是奇函数，

11log2＝f－log2＝f(log25)．

∴a＝－f55又f(x)在R上是增函数，

且log25＞log24.1＞log24＝2＞20.8，

∴f(log25)＞f(log24.1)＞f(20.8)，∴a＞b＞c. 故选C. x－a，x≤0，6．设f(x)＝1若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(

) x＋＋a，x＞0.xA．[－1,2]

C．[1,2]

答案

D 1解析

∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0.当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2x＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，

B．[－1,0]

D．[0,2]

2B．y＝cos x

D．y＝2x

－B．[1,2]

D．[2，＋∞) B．b

D．c

需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，

∴a的取值范围是0≤a≤2.故选D. 7．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为________．

答案

[3，＋∞) 解析

设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，

解得x≤－1或x≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，

所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．

1，x>0，8．设函数f(x)＝0，x＝0，－1，x<0，答案

[0,1) 解析

由题意知

x，x>1，g(x)＝0，x＝1，－x2，x<1，2

g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．

函数g(x)的图象如图所示，其单调递减区间为[0,1)．

ax＋19．设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是______________．

x＋2a答案

[1，＋∞) ax＋2a2－2a2＋12a2－1解析

f(x)＝＝a－，

x＋2ax＋2a∵函数f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数，

222a－1>0，2a－1>0，∴即即a≥1. －2a≤－2，a≥1，

1x2＋2a－2，x≤1，10．已知函数f(x)＝若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范xa－a，x>1，围为________．

答案

(1,2] 1解析

由题意，得12＋a－2≤0，则a≤2，又y＝ax－a

(x>1)是增函数，故a>1，所以a的2取值范围为1

x＋1解

设x1，x2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x1

22且f(x1)－f(x2)＝－－－x＋1

x1＋122x2＋1－x1－12x2－x1＝－＝－. x1＋1x2＋1x1＋1x2＋1由0≤x10，(x1＋1)(x2＋1)>0，

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

故f(x)在区间[0,2]上是增函数．

因此，函数f(x)＝－2在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是x＋12f(0)＝－2，最大值是f(2)＝－. 312．函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．

ax－2－2a＋2，

解

f(x)＝42a①当≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数．

2∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2. 由a2－2a＋2＝3，得a＝1±2. ∵a≤0，∴a＝1－2. a②当0<<2，即0

2af(x)min＝f2＝－2a＋2. 1由－2a＋2＝3，得a＝－∉(0,4)，舍去．

2a③当≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数，

2f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18. 由a2－10a＋18＝3，得a＝5±10. ∵a≥4，∴a＝5＋10. 综上所述，a＝1－2或a＝5＋10.

（二）能力提高

13．已知函数f(x)＝x|2x－a|(a＞0)在区间[2,4]上单调递减，则实数a的值是________．

答案

8 解析

f(x)＝x|2x－a|＝a－x2x－a，x≤2aax2x－a，x＞，2

(a＞0)，作出函数图象(图略)可得该函数的单调≤2，4aa，，所以递减区间是42a2≥4，

解得a＝8. x2－4x＋3，x≤0，14．已知f(x)＝2不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数－x－2x＋3，x>0，

a的取值范围是____________．

答案

(－∞，－2) 解析

二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，

∴该函数在(－∞，0]上单调递减，

∴x2－4x＋3≥3，同样可知函数y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减，

∴－x2－2x＋3<3，∴f(x)在R上单调递减，

∴由f(x＋a)>f(2a－x)得到x＋a<2a－x，

即2x

∴2(a＋1)

∴实数a的取值范围是(－∞，－2)．

（三）提升训练

15．函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1

x11＋f1＝________. ①f(0)＝0；②f＝f(x)；③f(1－x)＝1－f(x)．则f32383答案

4解析

由①③，令x＝0，可得f(1)＝1. 111由②，令x＝1，可得f＝f(1)＝. 32211111令x＝，可得f9＝2f3＝4. 3112＝1，

由③结合f＝，可知f3232

令x＝23，可得f29＝12f23＝14，

因为19<18<29且函数f(x)在[0,1]上为非减函数，

所以f18＝14，

所以f13＋f18＝34. x216．已知函数f(x)＝＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．

(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．

解

(1)当a＝112时，f(x)＝x＋2x＋2，

任取1≤x1

则f(x)－f(x)＋112)＝(x1－x22x－112x2

＝x1－x22x1x2－12x，

1x2∵1≤x11，∴2x1x2－1>0. 又x1－x2<0，∴f(x1)

∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数，

∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72. (2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x2＋2x＋ax>0恒成立，

则2x＋2x＋a>0，2

即a>－x＋2x，

等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在x≥1，[1，＋x≥1，最大值．

φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，

∴当x＝1时，φ(x)取得最大值φ(1)＝－3. ∴a>－3，故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．

∞)上的