小结课件配套优秀公开课教案设计

1.3 函数的基本性质

1.3.1 单调性与最大（小）值

一、考点聚焦

1．增函数和减函数

证明函数的单调性其步骤为：

（1）取值：设x1,x2为该区间内任意的两个值，且x1x2；

（2）作差变形：作差f(x1)f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方式变形；

（3）定号：确定最值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论。

（4）判断：根据定义作出结论。

［注意］在用定义法证明不等式时，为了确定符号，一般是将f(x1)f(x2)尽量分解出x1x2因式，再将剩下的因式化成积商的形式，或化成几个非负实数的和等，这样有利于该因式的符号的确定。

2．单调性与单调区间

（1）这个区间可以是整个定义域。

（2）这个区间也可以是定义域的真子集。

（3）有的函数不具有单调性。

1 (x为有理数),如函数y的定义域为R，但不具有单调性；再如yx1,xZ，它的0 (x为无理数)定义域不是区间，也不能说它在定义域上具有单调性。

函数单调性的常用判断方法

（1）图象法：先作出函数图象，利用图象直观判断函数的单调性。

（2）直接法：就是对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间。

［注意］当单调递增（或递减）区间由几个区间组成时，一般情况下不能取它们的并集，而应该用“和”或“，”连接。

3．函数的最大（小）值

（1）函数最大值的定义

对于最大值定义的理解

①M首先是一个函数值，它是值域的一个元素。如f(x)x2(xR)的最大值为0，有f(0)0，注意对（1）②中存在一词的理解；

②对于定义域内全部元素，都有f(x)M成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式；

③这两条缺一不可，若只有（1）①，M不是最大值，如f(x)x2(xR)，对任意xR，都有f(x)1成立，但1不是最大值；否则大于零的任意实数都是最大值了；最大值的核心就是不等式f(x)M，故不能只有（1）①；

④若将（1）中的“f(x)M”改为“f(x)M”，则需将最大值定义中的“最大值”改为“最小值”。这就是函数f(x)的最小值的定义。

二、点击考点

［考题1］二次函数yax2bxc的单调性如何？

［解析］由二次函数的图象可知：

bb]上递减，在[,)上递增；

2a2abb（2）当a0时，二次函数yax2bxc在(,]上递增，在[,)上递减。

2a2ak［点评］同样可以知道：一次函数ykxb，反比例函数y的单调性为：当k0时，xk函数ykxb在R上递增，函数ykxb在R上递减，函数y在(,0)和(0,)上递x（1）当a0时，二次函数yax2bxc在(,增。

［考题2］求下列函数的增区间与减区间。

x(2x)（1）yx22x3；（2）y. |x1|1［解析］（1）令f(x)x22x3(x1)24.先做出f(x)的象，保留其在x轴及x轴上方，就得到y|x22x3|的图象，如所示。由图象易得：

递增区间是[3,1]和[1,).

递减区间是(,3]和[1,1].

（2）当x10且x11时，得x1且x2，函数yx.

当x10且x11时，

得x1且x0时，函数yx2.

∴增区间是(,0)和(0,1)；减区间是(1,2)和(2,).

［点评］利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间。

［考题3］（1）求函数yxx1的最小值；

（2）已知A[1,b](b1)，对于函数f(x)的值。

图图1(x1)21，若xA时，f(x)A，求b2x和yx1［解析］（1）由x0，且x10得，函数的定义域为[1,).而函数y在[1,)上都是增函数。则得yxx1也是增函数，当x1时，它取得最小值，所以yxx1的最小值为1。

1（2）函数f(x)(x1)21表示开口向上,顶点坐标是(1,1),对称轴是x1的抛物线。

2因此，当x[1,b]时，f(x)是增函数。

∴当xb时，f(x)取最大值f(b)，而f(b)[1,b]，

故f(b)b，即(b1)21b.

整理得b24b30，解得b1,b3.

∵b1，∴b3.

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［点评］有关二次函数的问题，要特别注意二次函数的对称轴是否在给定的区间上？应该截取二次函数图象的哪一部分？从而解决问题。

［考题4］（1）证明函数f(x)x在定义域上是减函数。

（2）证明函数f(x)x3x在R上是增函数。

［解析］（1）f(x)x的定义域为[0,)，设0x1x2，则x2x10，且f(x2)f(x1)(x2)(x1)x1x2.

(x1x2)(x12)x1x2x1x2x1x2.

∵x1x20,x1x20，

∴f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1).

∴f(x)x在它的定义域[0,)上是减函数。

（2）设x1x2，则x2x10，

33f(x2)f(x1)(x2x2)(x1x1)

332xxx2)(xx)

(x2x1)(x2x1)(x2x1)(x2212112xxx21)(x2x1)(x2211

x1232(x2x1)[(x2)x11].24x32∵(x21)2x110，∴f(x2)f(x1)0，

24即f(x2)f(x1).∴f(x)x3x在R上是增函数。

［点评］在“作差变形”的过程中，我们昼化成几个最简因式的乘积，也可以把其中的因式化成几个完全平方式的和形式，这也是值得学习的解题技巧，在判断因式的正负号时，经常采用这种方法。

10，且g(x)f(x)c*（cf(x)为常数）在区间[a,b]上是减函数，判断并证明g(x)在区间[b,a]上的单调性。

［例5］已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)［分析］从所求结果入手，设bx1x2a，只要再判断g(x1)与g(x2)的大小即可。

［解］设bx1x2a，

则bx1x2a，∵g(x)在区间[a,b]上是减函数，

∴g(x1)g(x2)，即f(x1)cf(x2)c，

10，

则f(x1)f(x2).又∵f(x)f(x)∴011，即f(x1)f(x2).

f(x1)f(x2)∴f(x1)cf(x2)c，即g(x1)g(x2), ∴g(x)在区间[b,a]上是减函数。

［考题6］已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(a21)，求a的取值范围。

［分析］充分利用单调性构造关于a的不等式，同时注意定义域的限制。

［解析］由题意可知11aa211，

11a,即1aa21,解得0a1.

a211m［点评］（1）对于抽象函数一类问题的考查着重在基本的性质和理论知识上，有时亦可举出满足条件的特例函数来帮助解答或寻找思路。（2）要注意化归和转化的数学思想的应用。