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关键词：小结与思考课堂实录

正文

常见的两线段之和的最小值问题

麾村中学应慧慧

一、背景知识：

【传说】

早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．

【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；

三角形两边三边关系；

轴对称

；平移；

【解题思路】找对称点，实现折转直

二、将军饮马问题常见模型

1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小

在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，

即PA+PB的和最小.

点同侧

点异侧

练习：

（1）如图,正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为

．

ADMNABMOPNB'

（2）如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为

．

(3)如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足

则点P到A、B两点的距离之和

PA+PB的最小值为

(4)已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5,0），OB=

，P是对角线OB上一动点，D（0,1）.当CP+DP的长度之和最短时，点P的坐标为

2.两动一定型：（垂线段最短）

在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．

练习：

（5）如图，

∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，P是AB上一动点，PQ⊥AC于点Q，则PM+PQ的最小值为

。

（6）如图，在等边∆ABC中，AB=6，N为线段AB上的任意一点，

∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连接BM，MN，则BM+MN的最小值是

（7）如图，在锐角∆ABC中，AB=

，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是

. （8）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别为A(0,0),

B(20,0),

C(20,10). 在线段AC，AB上各有一动点M，N，则当BM+MN最小时，点M的坐标是

三（拓展）常见的周长问题处理的一般方式：

三角形

（1）

两定一动：

（2）

两动一定：

在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．

2.四边形：（两定两动）

MAON在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．

思考题：

OMABN如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，在边BC、CD上分别存在点G、H，则四边形EFGH周长的最小值是

．

AFBEDC

挑战题：

如图，已知M（0, 2），P（6，4），E（a，0），F（a+1,0），求a为何值时，四边形PMEF的周长最小？请说明理由。

yNMOEFx思路点播：

将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？

直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得CD⊥l2,

且

AC＋BD＋CD最短．

资料摘要

小结与思考课堂实录

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关于本教案的常见问题

Q：小结与思考课堂实录是什么类型的资料？

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