3.3 幂函数教案和学案内容

幂函数

江阴长泾中学

吴文辉

教学目标：

知识目标：了解幂函数的概念，会画出五个具体幂函数的图像，根据上述幂函数的图象了解幂函数的变化情况和性质；

能力目标：了解几个常见幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式的大小；

情感态度目标：体会幂函数变化规律及蕴含其中的对称性，感悟数学的美，培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。

教学难点：画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象变化的规律。

教学过程：

一、

问题情景

师：同学们，前面我们学过了函数的概念和图像，研究了函数的奇偶性、单调性等性质，还学习了指数函数，对数函数等一些基本的函数，还存在其它类型的函数吗？我们来看下面的几个问题。

将下列问题中的y表示成x的函数

问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，那

么她需要付的钱数y(元)和购买的蔬菜量x(千克)之间有何关系？(y=x) 问题2：如果正方形的边长为x，那么正方形面积y＝

？(y=x2) 问题3：如果正方体的边长为x，那么正方体体积y＝

？(y=x3) 问题4：如果正方形场地的面积为x，那么正方形的边长y＝

？(yxx) 1x1) x12问题5：如果某人x秒内骑车行进1km，那么他骑车的平均速度y＝

？(y通过观察，提问：你能发现这几个函数解析式有什么共同特征吗?

（学生讨论，类比指、对数函数定义，由学生给出幂函数定义）

二、构建数学

一般地，形如

y = x a (a∈R),的函数称为幂函数，其中x是自变量，a为常数．

总结归纳：幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等

函数，同样也是一种用“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．

概念辨析：

判断下列函数哪些是幂函数？

(1)yx4

(2)y3x

(3)yx2

(4)y2x

(5)y13

(1)yx2

2x

(√，√，×，×，√，×)

三、例题精讲

例１．写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性。

(1) y=x

3

定义域是R，它是奇函数．

(2) y=x

定义域是0,，它是既不是奇函数也不是偶函数．

(3)y=x

– 2

定义域是,00,，它是偶函数．

师：根据函数的解析式，我们可以得到函数的某些性质，但要能更直观地去了解一个函数，作出函数的图像是很有效的手段。

12四、学生探究

1．

试在坐标系中画出y=x

，y=x

，y=x的图象。

(学生利用已发的作图纸作图，教师巡视，辅导部分学生，找同学到黑板上板演) 教师多媒体展示y=x

2

，y=x

3

，y=x以及y=x的图象。总结函数的共性：

(1)图象都过（0，0）点和（1，1）点；

(2)在第一象限内，函数的图象随着x的增大而上升，在[0，+∞)上是增函数。

师：通过以上的讨论，我们发现对于α的四个不同取值，我们发现了共性，那么这一性质我们能否做一推广？

生：推广至α>0情形。

师：了解了α>0的幂函数的图象和性质，接下来能不能用刚才研究的方法来研究α<0的时候的幂函数的图象和性质. 2．试在标系中画出y=x

-1

，y=x

-2的图像。

(学生作图，教师巡视，辅导部分学生，请学生上黑板板演)

122312

归纳：函数yx(α<0)的性质。

（1）图象都过（1，1)点；

（2）在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，即在（0，+∞）上是减函数。

（3）在第一象限，图象向上与y 轴无限接近，向右与

x

轴无限接近。

例2：比较下列各组数的大小

(1)1.3____1.421212(2)0.261_____0.2712(3)(5.2)_____(5.3)(4)0.7_____0.7212（<，>，>，>）

解后反思：两个数比较大小，何时用幂函数模型，何时用指数函数模型？

五、拓展延伸：

试写出函数y=x的定义域并指出其单调区间。

13四、课堂小结：

1．幂函数概念，常见幂函数的图像，幂函数图像变化情况和性质；

2．应用常见幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小。

3．数形结合，从特殊到一般的数学思想。

五、布置作业：

基础作业：《课本》P73 习题2.4

研究性作业：归纳总结幂函数图象的性质，能否发现更多的性质和规律。