回顾与思考板书设计及意图

第3课时

角平分线的性质

1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点) 2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)

一、情境导入

问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．

问题1：怎样修建道路最短？

问题2：往哪条路走更近呢？

二、合作探究

探究点一：角平分线的性质

【类型一】

利用角平分线的性质证明线段相等

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，∠FDC＝∠BDE.试说明：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.

解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即DE＝DC.再根据△CDF≌△EDB，得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质可得△ADC和△ADE全等，从而得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行求解．

解：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.∵在△CDF和△EDB∠C＝∠DEB＝90°，中，∵DC＝DE，∴△CDF≌△EDB(ASA)．∴CF＝EB；

∠FDC＝∠BDE，(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴∠CAD＝∠EAD，∠ACD＝∠AED∠CAD＝∠EAD，＝90°.在△ADC和△ADE中，∵∠ACD＝∠AED，∴△ADC≌

AD＝AD，△ADE(AAS)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.

方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条垂线段相等．

【类型二】

角平分线的性质与三角形面积的综合运用

如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(

)

A．6

B．5

C．4

D．3 解析：过点D作DF⊥AC于F.∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，11∴S△ABC＝×4×2＋AC×2＝7，解得AC＝3.故选D. 22方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．

【类型三】

角平分线的性质与全等三角形综合

如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.试说明：CE＝CF. 解析：由△DEC≌△DFC得出CD平分∠EDF，根据角平分线的性质，得出CE＝CF.

解：∵CD是∠ACG的平分线，∴∠ECD＝∠FCD.在△DEC和△DFC中，∵∠DEC＝∠DFC＝90°，∠ECD＝∠FCD，

DC＝DC，∴△DEC≌△DFC(AAS)，∠EDC＝∠FDC.又∵DE⊥AC，DF⊥CG，∴CE＝CF. 方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．

【类型四】

角平分线的性质与线段垂直平分线性质的综合运用

如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.

(1)找出图中相等的线段；

(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．

解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可得△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.

解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，AC＝BC＝AD＝BD；

AC＝AD，(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵OC＝OD，∴△AOC≌△AOD(SSS)，AO＝AO，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF. 方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．

【类型五】

角平分线的性质与等腰三角形的性质综合的探究性问题

如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D.

(1)请你写出图中所有的等腰三角形；

(2)请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．

(3)如果BC＝10，求AB＋AE的长．

解析：(1)由△ABC是等腰直角三角形，BE为角平分线，可得△ABE≌△DBE，即AB＝BD，AE＝DE，所以△ABD和△ADE均为等腰三角形．由∠C＝45°，ED⊥DC，可知△EDC也是等腰三角形；(2)BE是∠ABC的平分线，AE⊥AB，DE⊥BC，根据角平分线定理可知△ABE关于BE与△DBE对称，可得出BE⊥AD；(3)根据(2)，可知△ABE关于BE与△DBE对称，且△DEC为等腰直角三角形，可推出AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.

解：(1)△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；

(2)AD与BE垂直．理由如下：由BE为∠ABC的平分线，知∠ABE＝∠DBE.又∵∠BAE＝∠BDE＝90°，BE＝BE，∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合，∴A、D是对称点，∴AD⊥BE；

(3)∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠DBE，∵DE⊥BC，EA⊥AB，∴∠BAE＝∠BDE.∠ABE＝∠DBE，在△ABE和△DBE中，∠BAE＝∠BDE，∴△ABE≌△DBE(AAS)，∴AB＝BD，AE＝DE.BE＝BE，又∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°.又∵ED⊥BC，∴△DCE为等腰直角三角形，∴DE＝DC＝AE，即AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10. 探究点二：角平分线的画法

如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，1F两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交2CD于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数．

解析：根据AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°.再根据尺规作图得出AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．

解：∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°.又∵∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°.由尺1规作图知AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB＝∠CAB＝30°. 2方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM是∠BAC的角平分线是解题的关键．

三、板书设计

1．角平分线的性质：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

2．角平分线的作法

本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练