单项式乘以多单项式课堂实录【2】

1.4 整式的乘法(二) ●教学目标

(一)教学知识点

1.经历探索单项式与多项式乘法的运算法则的过程，会进行简单的单项式与多项式的乘法运算. 2.理解单项式与多项式相乘的算理，体会乘法分配律及转化思想的作用. (二)能力训练要求

1.发展有条理思考和语言表达能力. 2.培养学生转化的数学思想. (三)情感与价值观要求

在探索单项式与多项式乘法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和勇气. ●教学重点

单项式与多项式相乘的乘法法则及应用. ●教学难点

灵活运用单项式与多项式相乘的乘法法则. ●教学方法

引导探索法. ●教具准备

投影片三张

第一张：议一议，记作(§1.4.2 A) 第二张：例题，记作(§1.4.2 B) 第三张：练习，记作(§1.4.2 C) ●教学过程

Ⅰ.提出问题，引入新课

［师］整式包括什么？

［生］单项式和多项式. ［师］整式的乘法，我们上一节课学习了其中的一部分——单项式与单项式相乘.你认为整式的乘法还应学习哪些内容呢？

［生］单项式与多项式相乘或多项式与多项式相乘. ［师］很好！我们这节课就接着来学习整式的乘法——单项式与多项式相乘. Ⅱ.利用面积的不同表示方式或乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，探索单项式与多项式相乘的乘法法则

出示投影片(§1.4.2 A)——议一议

为支持北京申办奥运会，京京受画家的启发曾精心制作了两幅画，我们已欣赏过.宁宁也不甘落后，也作了一幅画，如图1－17：

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图1－17 (1)宁宁也作了一幅画，所用纸的大小与京京的相同，她在纸的左右两边各留了x米的空白，这幅画的画面面积是多少？

一方面，可以先表示出画面的长与宽，由此得到画面的面积为 ；

另一方面，也可以用纸的面积减去空白处的面积，由此得到画面的面积为 . 这两个结果表示同一画面的面积，所以 . (2)如何进行单项式与多项式相乘的运算？

［师］从“议一议”可知求出宁宁画的画面面积有两种方法.一种是直接用画面的长和宽来求；一种是间接地把画面的面积转化为纸的面积减去空白处的面积.下面我们就用这两种方法分别求出画面的面积. ［生］根据题意可知画面的长为(mx－x－x)即(mx－x)米，宽为x米，所以画面的面积为x(mx－x)米. ［生］纸的面积为x·mx=mx米，空白处的面积为2x·x=x米，所以画面的面积为(mx－x)米. ［师］x(mx－x)与mx－x都表示画面的面积，它们是什么关系呢？

［生］它们应相等，即x(mx－x)=mx－x. ［师］观察上面的相等关系，等式左边是单项式x与多项式(mx－x)相乘，而右边就是它们相乘后的最后结果，你能用乘法分配律、同底数幂的乘法性质来说明上面等式成立的原因吗？

［生］乘法分配律a(b+c)=ab+ac.所以x(mx－x)就需用x去乘括号里的两项即mx和－x,再把它们的积相加，即x(mx－x)=x·(mx)+x·(－x)=mx－x. ［师］你能用上面的方法计算下面的式子吗？3xy(xy－2xy+y),并说明每一步的理由. 22［生］3xy(xy－2xy+y) 22=3xy·(xy)+3xy·(－2xy)+3xy·y——乘法分配律

32223=3xy－6xy+3xy——单项式乘法的运算法则

［师］根据上面的分析，你能用语言来描述如何进行单项式与多项式相乘的运算吗？

［生］单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加. ［生］其实，单项式与多项式相乘，就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，这样新知识就转化成了我们学过的知识. ［师］看来，同学们已领略到了数学的“韵律”非常重要的一种思想.我们在处理一些问题时经常用到它，例如新知识学习转化为我们学过的、熟悉的知识；复杂的知识转化为几个简单的知识等. 我们通过画面面积的不同表达方法和乘法分配律，得出了单项式乘以多项式的运算法第

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2222218181814142181422142214214214214214141414142142

则：单项式与多项式相乘

，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，下面我们来看它的具体运用. Ⅲ.练一练，明确单项式乘多项式每一步的算理，体会由单项式与多项式相乘向单项式与单项式相乘的转化

出示投影片(§1.4.2 B) ［例1］计算：

22(1)2ab(5ab+3ab); (2)(ab－2ab)·ab; (3)－6x(x－3y); (4)－2a(ab+b). 解：(1)2ab(5ab+3ab) 22=2ab·(5ab)+2ab·(3ab)——乘法分配律

2332=10ab+6ab——单项式与单项式相乘

(2)(ab－2ab)·ab

=(ab)·ab+(－2ab)·ab——乘法分配律

=ab－ab——单项式与单项式相乘

(3)－6x(x－3y) =(－6x)·x+(－6x)·(－3y)——乘法分配律

2=－6x+18xy——单项式与单项式相乘

(4)－2a(ab+b) =－2a·(ab)+(－2a)·b——乘法分配律

=－ab－2ab——单项式与单项式相乘

［师］通过上面的例题，我们已明白每一步的算理.单项式与多项式相乘根据前面的练习，你认为需注意些什么. ［生］单项式与多项式相乘时注意以下几点：

1.积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同. 2.运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“+”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“+”连结，最后写成省略加号的代数和的形式. ［例2］计算：6mn(2－mn)+(－mn). 分析：在混合运算中，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项. 解：原式=6mn×2+6mn·(－mn)+mn

=12mn－2mn+mn

=12mn－mn

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2226222322222222321212223212232121213232212122221341232134142614267426

［例3］已知ab=－6,求－ab(ab－ab－b)的值. 2532分析：求－ab(ab－ab－b)的值，根据题的已知条件需将ab的值整体代入.因此需灵活运用幂的运算性质及单项式与多项式的乘法. 253解：－ab(ab－ab－b) 253=(－ab)·(ab)+(－ab)(－ab)+(－ab)(－b) 36242=－ab+ab+ab

23222=(－ab)+(ab)+ab

2当ab=－6时

23222原式=(－ab)+(ab)+ab

32=［－(－6)］+(－6)+(－6) =216+36－6 =246 Ⅳ.课时小结

［师］这节课我们学习了单项式与多项式的乘法，大家一定有不少体会.你能告诉大家吗？

［生］这节课我最大的收获是进一步体验到了转化的思想：单项式与多项式相乘，根据乘方分配律可以转化成单项式与单项式相乘；而上节课我们学习的单项式与单项式相乘，根据乘法交换律和结合律又可转化成同底数幂乘法的运算，……

［师］同学们可回顾一下我们学过的知识，哪些地方也曾用过转化的思想. ［生］我们学习有理数运算的时候，就曾用过，例如有理数乘法法则就是利用同号得正，异号得负确定符号后，再把绝对值相乘，而任何数的绝对值都是非负数，因此有理数的乘法运算就是在确定符号后转化成0和正整数、正分数的运算. ［师］转化思想是我们数学学习中的一种非常重要的数学思想，在将来的学习中，他会成为我们的得力助手. Ⅴ.课后作业

1.课本习题第1、2题. 2.回顾转化思想在以前数学学习过程中的应用. Ⅵ.活动与探究

已知A=987654321×123456789, B=987654322×123456788. 试比较A、B的大小. ［过程］这么复杂的数字通过计算比较它们的大小，非常繁杂.我们观察就可发现A和B的因数是有关系的，如果借助于这种关系，用字母表示数的方法，会给解决问题带来方便. ［结果］设a=987654321, a+1=987654322; b=123456788, b+1=123456789,则

A=a(b+1)=ab+a; B=(a+1)b=ab+b. 而根据假设可知a>b,所以A>B. ●板书设计

1.4 整式的乘法(二) ——单项式与多项式的乘法

一、议一议

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1.用不同的方法表示画面的面积. 一方面，画面面积为x(mx－x)米；

一方面，画面面积为(mx－x)米. 所以x(mx－x)=mx－x

2.用乘法分配律等说明上式成立

14221421422142x(mx－x) =x·(mx)+x·(－x)——乘法分配律

=mx－x——单项式与单项式相乘

综上所述，可得

单项式与多项式相乘单项式与单项式相乘再把积相加

转化乘法分配律21414142二、练一练

例1.(由师生共同分析完成) 例2.(由师生共同分析完成) 例3.(由师生共同分析完成) ●备课资料

一、参考练习

1.选择题

mnnm(1)12(xy)－10(xy)的结果是(其中m、n为正整数)( ) mnnmA.2x－y

B.2x－y

mnmnn－10mnmC.2xy

D.12xyxy

(2)下列计算中正确的是( ) 236A.3b·2b=6b

426B.(2×10)×(－6×10)=－1.2×10

22245C.5xy·(－2xy)=20xy

m+122m4m+2D.(a)·(－a)=－a(m为正整数) (3)2xy·(－3xy+y)的计算结果是( ) A.2xy－6xy+xy

224B.－xy+2xy

24232C.2xy+xy－6xy

3224D.－6xy+2xy

(4)下列算式中，不正确的是( ) ．．．A.(xx)·(－2xy)=－2xy+4xy－2xy

nn－12n－1B.(x)=x

nn－22n－2n+1nC.x(xx－y)=xx－xy

22n4nD.当n为任意自然数时，(－a)=a

2.计算

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n－2n－1+1n+1n243222123

(1)(－4xy)·(－xy)+(－3xy)

3k+221－k2(2)［2(x+y)］·［5(x+y)］·［4(x+y)］

2223(3)(2xyz)·(－xyz)+(－xyz)·(5yz)·(－3z) 322322(4)(xy+xy+1)·(－3xy)·(－4xy) 22n(5)(x+2xy+y)·(xy)

n+1nn－2nn－1(6)－ab·(a－1bab) 3.求证：对于任意自然数n,代数式n(n+7)－n(n－5)+6的值都能被6整除. 答案：1.(1)D (2)C (3)C (4)B 3222.(1)13x2y4 (2)800(x+y)9

(3)11x3y4z5

(4)－36x6y7－36x5y8－36x3y5

(5)xn+2yn+2xn+1yn+1+xnyn+2

(6)－a2nbn+1+2a2n+1bn+1+an+1b

3.(略)

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