11.1 反比例函数教案（名师）

新课标(SK)

数学

八年级下册

第11章

反比例函数

11．1

反比例函数

教材的地位

和作用

知识与技能

过程与方法

情感、态度

与价值观

重点

难点

易错点

本节内容是在正比例函数、一次函数的基础上展开的，通过类比，实现从正比例函数关系到反比例函数关系的过渡，为进一步学习反比例函数的图像与性质奠定基础

1.理解反比例函数的概念，能判断一个给定函数是否为反比例函数，并能确定比例系数k.

2. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式

经历从实际问题中概括出反比例函数模型的过程，体会反比例函数来源于实际问题

通过学习反比例函数，积极参与交流，并积极发表意见，培养学生的探索能力与合作交流意识

1.理解反比例函数的概念．

2.确定反比例函数的表达式及比例系数k

反比例函数的表达式的确定

忽略反比例函数表达式成立的条件致错

活动1

知识准备

1．已知y与x成正比例，并且当x＝2时，y＝4，求y与x之间的函数表达式．

[答案] y＝2x 2．下列两个变量中，y是x的函数的有哪些？

(1)长方形的宽为3，面积y与长x；

(2)非负数x与它的算术平方根y；

(3)实数x与它的绝对值y. [答案] (1)y＝3x，y是x的函数；(2)y＝x(x≥0)，y是x的函数；(3)y＝|x|，y是x的函数．

3．已知长方形的面积为16，则它的长y与宽x之间所成的比例关系叫什么？成这种关系的两个量有什么特殊数量关系？

[答案] 反比例关系；成反比例关系的两个量的积是一个定值．

活动2

教材导学

1．认识反比例函数关系

教材124页“思考”中：

(1)你认为所得的式子有哪些共同特点？

(2)若y与x满足什么样的关系，则称y是x的反比例函数？

[答案] (1)答案不唯一，如：①都是函数；②都含有分母；③分母都是单独的一个自变量．

k(2)y＝(k为常数，k≠0)．

x◆

知识链接——[新知梳理]知识点一

2．认识反比例函数表达式

(1)教材124页“交流”中的函数表达式中，反比例函数的比例系数k分别是什么？

(2)教材125页例题中，(2)中如果圆锥的高为20 cm，那么它的体积V(cm3)与底面积S(cm2)

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1

教

学

目

标

教学重

点难点

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之间的函数表达式是什么？是反比例函数吗？

k(3)试一试：y＝(k为常数，k≠0)可以利用负指数幂写成不含有分母的形式吗？

x500205000200[答案] (1)y＝中，k＝500；y＝中，k＝20；t＝中，k＝5000；m＝－中，kxxvn＝－200.

20(2)V＝S，它不是反比例函数．

3k1－(3)可以．y＝＝k·＝kx1(k为常数，k≠0)．

xx◆

知识链接——[新知梳理]知识点二

►

知识点一

反比例函数的基本概念

k一般地，形如y＝(k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是xx的函数．

[注意]

(1)反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．

(2)反比例函数的函数值y的取值范围是不等于0的一切实数．

►

知识点二

反比例函数的表示形式

k反比例函数y＝(k为常数，k≠0)可以写成xy＝k(k为常数，k≠0)的形式，也可以写成x－1y＝kx(k为常数，k≠0)的形式．

探究问题一

反比例函数的基本概念

下列关系式中，y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？

123(2)y＝；(2)y＝；(3)y＝－；

15xxx－12＋11x(4)y＝－3；(5)y＝；(6)y＝＋2；

xx31(7)y＝－. 2x[解析] 判断y是不是x的反比例函数，应看两变量x，y的乘积是不是定值k，若xy的值为定值k(k≠0)，则y是x的反比例函数，比例系数即为该定值；若xy的值不是定值，则y与x不是反比例函数关系．

11解：(1)(3)(5)(7)中y是x的反比例函数，它们的比例系数分别是，－3，2＋1，－；152而(2)中等号右边的分母是x－1，不是x，y与x－1成反比例关系，不是y与x成反比例关系；1－3xk对于(4)，等号右边不能化成的形式，它只能转化为的形式，此时分子已不是常数，所xx以(4)不是反比例函数；(6)是一个一次函数，而不是反比例函数.

k－[归纳总结] 识别反比例函数的关键是看表达式是否符合y＝或y＝kx1或xy＝k(k为常x数，k≠0)的形式．

探究问题二

利用反比例函数的意义求字母的值

－已知函数y＝(a－3)x|a|4是反比例函数，求a的值．

－[解析] 根据反比例函数模型y＝kx1(k为常数，k≠0)的形式特点来解决．

解：由题意，得|a|－4＝－1，解得a＝±3.

又因为a－3≠0，即a≠3，所以a＝－3. －[归纳总结] 理解y＝kx1(k为常数，k≠0)是反比例函数，再根据自变量所对应的次数相等列方程，解方程即可．

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探究问题三

根据条件确定反比例函数表达式

已知y是x的反比例函数，当x＝2时，y＝6.

(1)写出y与x之间的函数表达式；

(2)求当x＝4时y的值．

k

[解析] 因为y是x的反比例函数，所以可设y＝，再把x＝2和y＝6代入上式就可求x出常数k的值．

kk解：(1)设y＝，由题意，知6＝，解得k＝12，

x212则y与x之间的函数表达式为y＝.

x12(2)当x＝4时，y＝＝3. 4[课堂小结]

[反思] 已知函数y＝－(m＋2)xm－5是反比例函数，试确定m的值．

[解析] 根据反比例函数的定义，比例系数k不为0，且自变量x的指数为－1列关系式求解．

m≠－2，m＋2≠0，[答案] 由题意，知2解得

m＝±2.m－5＝－1，所以m＝2. 一、选择题

1．下列函数表达式中，y不是x的反比例函数的是(

) x－1A．xy＝－3

B．y＝

31－C．y＝4x1

D．y＝

3x[答案] B 2．[教材125页例题变式]

甲地与乙地相距5 km，某人以平均速度y km/h从甲地向乙地行走，设他全程所需时间为t h，则变量t是y的(

) A．正比例函数

B．反比例函数

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C．一次函数

D．以上都不对

[答案] B

3．下列叙述错误的是(

) A．正方形的周长l＝4a，周长l与边长a成反比例

33B．式子y＝－中，y是x的反比例函数，且k＝－

2x23C．式子y＝－也可以看成y是2x的反比例函数，k＝－3 2xD．式子xy＝－3可表示y是x的反比例函数，也可表示x是y的反比例函数

[答案] A

4．计划修建铁路s km，铺轨天数为a天，每日铺轨长度为b km，则下列三个结论正确的是(

) ①当s一定时，a是b的反比例函数；

②当a一定时，s是b的反比例函数；

③当b一定时，a是s的反比例函数．

A．①

B．②

C．③

D．①②③

[答案] A

5．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例．已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m，则y与x之间的函数表达式为(

) 4001A．y＝

B．y＝

x4x1001C．y＝

D．y＝

x400x[答案] C

6．下列关系中说法不正确的是(

) 1A．在y＝－1中，y＋1与x成反比例

x1B．在xy＝－2中，y与成正比例

x1C．在y＝2中，y与x成反比例

2xD．在xy＝－3中，y与x成反比例

[答案] C

二、填空题

531a7．下列函数：①y＝2x－1；②y＝－；③y＝x2＋8x－2；④y＝3；⑤y＝；⑥y＝.xx2xx其中y是x的反比例函数的有________(填序号)．

k－[解析] ②⑤

根据反比例函数的形式y＝或y＝kx1(k为常数，k≠0)，可以判定②⑤是x反比例函数．

－8．若函数y＝kx12k是反比例函数，则k＝________．

[答案] 1

－[解析] 由反比例函数的形式y＝kx1(k为常数，k≠0)可知1－2k＝－1，解得k＝1. 9．如果y与x成反比例，z与y成正比例，那么z与x成__________．

[答案] 反比例

k1[解析] 分别利用反比例和正比例的定义进行解题．设y＝(k1≠0)，z＝k2y(k2≠0)，则zxk1k1k2＝·k2＝. xx三、解答题

－10．当k为何值时，y＝(k＋2)x|k|3是反比例函数？

－解：由反比例函数的形式y＝ax1(a为常数，a≠0)，

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得|k|－3＝－1且k≠－2，所以k＝2.

－即当k＝2时，y＝(k＋2)x|k|3是反比例函数．

[待定系数法求函数表达式]

已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当1x＝1时，y＝3；当x＝－1时，y＝1.求当x＝－时，y的值．

22解：∵y1与x成正比例，y2与x成反比例，

k2∴设y1＝k1x2(k1≠0)，y2＝(k2≠0)，

xk2∴y＝k1x2＋.

x把x＝1，y＝3；x＝－1，y＝1分别代入上式，得

3＝k1＋k2，k1＝2，解得

1＝k－k，k＝1，2121∴y＝2x2＋.

x121113当x＝－时，y＝2×－2＋＝－2＝－.

2122－2k[点评] (1)y与x2成正比例，即y＝kx2(k≠0)，y与x成反比例，即y＝(k≠0)．(2)当一x个问题中有两个函数关系时，相同字母表示相同未知数，而这里正比例函数与反比例函数的比例系数不一定相等，所以用k1，k2区别两个未知数．

WORD版电子资源，详见光盘之“教学备课资源”相应内容

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