2.1 圆锥曲线课堂实录【3】

2.2 椭

圆

2.2.1 椭圆的标准方程

学习目标：1.了解椭圆标准方程的推导．(难点)2.掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程．(重点、易混点)3.能用标准方程判定曲线是否是椭圆．

[自

主

预

习·探

新

知] 教材整理

椭圆的标准方程

阅读教材P30～P31思考上面内容，完成下列问题．

标准方程

焦点在x轴上

焦点在y轴上

x2y2＋＝1(a＞b＞0) a2b2y2x2＋＝1(a＞b＞0) a2b2图象

焦点坐标

(－c,0)，(c,0)

(0，－c)，(0，c) a，b，c的关系

a2＝b2＋c2

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)椭圆的标准方程中，“标准”的条件是椭圆的焦点在坐标轴上，且两焦点关于原点对称．(

) (2)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a＝b＋c.(

) 222x2y2(3)方程＋＝1(m＞0，n＞0)是椭圆的方程．(

) mn(4)椭圆＋＝1的焦点在x轴上．(

) 46(5)设椭圆＋y＝1的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，则PF1＋PF2＝2.(

) 4(6)椭圆＋＝1的焦点坐标是(±2,0)．(

) 128[解析] (1)(2)明显正确；

x2y2x22x2y2x2y2(3)＋＝1中，当m＝n>0时方程表示圆，故错误；

mn(4)方程y的分母大于x的分母，故椭圆的焦点在y轴上，故错误；

(5)方程＋y＝1中，a＝2，所以PF1＋PF2＝4.所以错误；

4(6)因为a－b＝12－8＝4，所以c＝2，即焦点坐标为(±2，0)，故正确．

2222x221

[答案] (1)√

(2)√

(3)×

(4)×

(5)×

(6)√

[合

作

探

究·攻

重

难]

椭圆标准方程的求法

求满足下列条件的椭圆的标准方程．

(1)椭圆的焦距为2，且过点P(－5，0)；

35(2)两个焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，并且经过点P－，. 22 [精彩点拨]

求椭圆的标准方程关键是确定焦点的位置及a，b的值，若不能确定焦点位置，则要根据焦点在x轴上还是y轴上分类讨论．

x2y2[自主解答]

(1)①若椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．

ab∵c＝1，点P(－5，0)在椭圆上，

52＝1，∴aa2－b2＝1，

a＝5，解得2b＝4.2

故椭圆的标准方程为＋＝1. 54x2y2y2x2②若椭圆的焦点在y轴上，设其标准方程为2＋2＝1(a>b>0)，

ab52＝1，则有ba2－b2＝1，

a＝6，解得2b＝5.2

故椭圆的标准方程为＋＝1. 65y2x2故所求椭圆的方程是＋＝1或＋＝1. 5465x2y2y2x2y2x2(2)法一：∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．

ab由椭圆的定义知

2a＝－3＋5＋2＋222222－3＋5－2＝210，

22222∴a＝10.又c＝2，∴b＝a－c＝6，

∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. 106y2x2y2x2法二：设所求椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)，

ab2

5－322依题意得＋＝1，aba－b＝4，222222

x2a＝10，解得2b＝6，2

∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. 106y2y2x2法三：设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>2)，

aa－42594435∵点－，在椭圆上，∴2＋2＝1，

aa－42254222整理得2a－25a＋50＝0，解得a＝(舍)，a＝10，

2∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. 106

[名师指津]

用待定系数法求椭圆的标准方程，一般解题步骤可归纳为

y2x2

[再练一题] 1．求满足下列条件的椭圆的标准方程．

(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；

1(2)坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B，

3. 2x2y2[解]

(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，因为ab252222椭圆经过点(5,0)，所以2＝1，a＝25，又c＝4，b＝a－c＝25－16＝9，所以椭圆方程为a＋＝1. 259x2y2x2y2(2)法一：①若椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，把A，B两ab3

04a＋b＝1，点坐标代入得13＋4ab＝1，2222

2a＝1解得2b＝42

(舍去)．

y2x2②若椭圆的焦点在y轴上，设其标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)把A，B两点的坐标代入ab40a＋b＝1，得31＋a4b＝1，2222

a＝4，解得2b＝1.

2故椭圆的标准方程为＋x＝1. 4y22综上，所求椭圆的标准方程为＋x＝1. 4法二：设所求椭圆方程为mx＋ny＝1(m＞0，n＞0且m≠n)，

4n＝1，把A、B两点坐标代入得m＋3n＝1，4故所求椭圆的标准方程为＋x＝1. 42y22

m＝1，解得1n＝，4

y22

椭圆标准方程的识别

已知方程x·sin α－y·cos α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆．

(1)若椭圆的焦点在x轴上，求α的取值范围；

(2)若椭圆的焦点在y轴上，求α的取值范围. [精彩点拨]

(1)已知方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．

22x2y2(2)对于椭圆方程＋＝1(m>0，n>0，m≠n)可由m，n的大小确定椭圆焦点的位置，列mn出三角不等式后求α的范围．

[自主解答]

将椭圆方程x·sin α－y·cos α＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为22x21sin α＋y21－cos α＝1(0≤α≤2π)．

(1)若方程表示焦点在x轴上的椭圆，

πα∈2，π，11则>－>0，即sin αcos αtan α>－1，

33π所以π<α<π，即α的取值范围是，π. 444

(2)若方程表示焦点在y轴上的椭圆，

π，π，α∈211则－>>0，即cos αsin αtan α<－1，

π3ππ3π所以<α<，即α的取值范围是，. 4242[名师指津]

1．椭圆标准方程形式：左边是“平方＋平方”，分母不等，右边为“1”．

2．焦点在x轴上⇔标准方程中x项的分母较大，焦点在y轴上⇔标准方程中y项的分母较大，因此由椭圆的标准方程判断焦点位置时要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”．

[再练一题] 2．(1)若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是_____．

9－kk－3(2)已知曲线C：22x2y2x2k－53－k＋y2＝－1，则“4≤k＜5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的________条件．

9－k＞0，[解析] (1)据题意可知k－3＞0，9－k＞k－3，所以实数k的取值范围是(3,6)．

(2)将曲线C的方程化为＋＝1，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则k－3＞55－kk－3

解得3＜k＜6，

x2y2－k＞0，即4＜k＜5，故“4≤k＜5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件．

[答案] (1)(3,6) (2)必要不充分

焦点三角形问题

[探究问题] 1．点P是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，|PF1||PF2|的最大值是什么？

[提示]

因为|PF1|＋|PF2|＝2a(定值)，由基本不等式得|PF1||PF2|≤2|PF1|＋|PF2|＝222a＝a2，这时PF＝PF，即P为y轴上的交点时，|PF||PF|取的最大值为a2. 212122．若∠F1PF2＝θ，当θ取最大值时，cos θ的最小值是多少？

5

[提示]

在△PF1F2中，令PF1＝r1，PF2＝r2则

22222r2(r1＋r2)－2r1r2－4c4b－2r1r21＋r2－4cr1＋r2＝2a，由F1F2＝2c，所以cos θ＝＝＝2r1r22r1r22r1r2＝2b2r1r2－1≥2b2r1＋r222b2－1＝2－1，这时θ最大，

2a2b当且仅当r1＝r2时，cos θ取得最小值2－1. 2a3．当P为椭圆与y轴的交点时，若∠F1PF2为锐角，椭圆上是否存在点M，使∠F1MF2＝90°；若∠F1PF2为钝角呢？

[提示]

若∠F1PF2为锐角时，不存在点M，使∠F1MF2＝90°；若∠F1PF2为钝角时，根据椭圆的特点，会存在四个点M，使∠F1MF2＝90°.

x2y2

如图2­2­1所示，已知椭圆的方程为4＋3＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积.

图2­2­1

[精彩点拨]

根据椭圆的标准方程知PF1＋PF2＝4，结合面积公式和余弦定理找到PF1和PF2的关系求解．

[自主解答]

由已知a＝2，b＝3，所以c＝a－b＝4－3＝1，F1F2＝2c＝2，

在△PF1F2中，由余弦定理，得

2222PF22＝PF1＋F1F2－2PF1·F1F2cos 120°，即PF2＝PF1＋4＋2PF1. ①

22由椭圆定义，得PF1＋PF2＝4， 即PF2＝4－PF1. ②

6②代入①解得PF1＝. 511633333∴S＝PF1·F1F2·sin 120°＝××2×＝，即△PF1F2的面积是. 225255△PF1F2[名师指津]

在椭圆中，由三条线段PF1，PF2，F1F2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形.涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出PF1＋PF2＝2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法. [再练一题] 3．若椭圆＋＝1的焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF210064x2y26

的面积是________．

[解析] 由已知得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，|F1F2|＝2c＝12.由余弦定理，知(2c)＝|PF1|＋|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，即144＝(|PF1|＋|PF2|)－3|PF1|·|PF2|，2561643∴|PF1|·|PF2|＝，∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝. 323[答案] 643

3[当

堂

达

标·固

双

基] 1．椭圆＋＝1的焦点坐标为________．

3625[解析] ∵a＝36，b＝25，∴c＝a－b＝11，

故焦点坐标为(11，0)，(－11，0)．

[答案] (11，0)，(－11，0) 2．若方程22222222x2y2x2k－35－k＋y2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．

k－3＞0，[解析] 据题意有5－k＞0，5－k＞k－3，[答案] (3,4)

解得3＜k＜4. 3．若a＝5，c＝2，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为________．

[解析] 由b＝a－c，得b＝25－4＝21.因为焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为25＋＝1. 21[答案] 2222y2x2y225＋＝1 21x24．已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，且F1F2是PF1与PF2的等差中项，则动点P的轨迹方程是________．

[解析] 由条件知PF1＋PF2＝2F1F2＝4，由椭圆定义知，点P轨迹是椭圆，且2a＝4，∴a＝2. ∵c＝1，∴b＝a－c＝3，故动点P的轨迹方程为＋＝1. 43[答案] 222x2y2x2y24＋＝1 35．已知椭圆经过点622，3和点，1，求椭圆的标准方程. 337

[解]

设椭圆的方程为mx＋ny＝1(m>0，n>0，m≠n)．

因为点22622，3和点，1都在椭圆上，

33226m·＋n·(3)＝1，3所以22m·＋n·1＝1，3222

y22m3＋3n＝1，即8m9＋n＝1，

m＝1，解得1n＝，9

所以所求的椭圆的标准方程为x＋＝1. 9

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