2.2.2 椭圆的几何性质ppt配用优秀教学设计

第5课 椭圆的几何性质

一、教学目标

1．熟练掌握椭圆的几何性质，会利用几何性质解决简单的问题；

2．能够依据椭圆的几何性质获得参数间的关系，并能够处理与其它曲线进行综合的简单问题．

二、知识梳理

1．阅读教材第33页~36页，熟悉椭圆的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率），会从椭圆方程及图形两个角度研究某些性质；

2.椭圆的离心率是反映了椭圆形状的一个重要量，它与ba之间满足一个什么关系，试从这个角度说明椭圆的扁圆程度，要求离心率关键要寻找何种等式？

3.阅读第35页例1，在画出椭圆前，先把其方程化成函数形式的，思考：椭圆方程与函数的关系？

4.阅读第35页例2，思考：ac,ac是椭圆上的点到某一焦点的最小与最大距离吗？你能证明吗？

要点解析

1．熟练掌握由椭圆方程求出6点、短轴长、长轴长、离心率、焦距、通径长、焦准距，两准距、等基本量；

2．椭圆的变量范围主要应用于：（1）构造某一函数时作为定义域考虑，（2）在求离心率范围时作为构造不等关系的依据；

3.椭圆的特征三角形是什么？其中哪个量对应于离心率？椭圆上点从某一长轴的端点出发向短轴端点运动过程中它对两个焦点形成的张角如何变化？形成的焦点三角形的面积如何变化？你能证明吗？

4.求椭圆的离心率及离心率的范围其实质是去寻找含a,b,c的齐次等式与齐次不等式，建立等量关系与不等关系通常有哪些手段呢？

5.在椭圆的焦点三角形中研究问题一般离不开使用第一定义，有时还会结合正（余)弦定理解决问题；

6、涉及椭圆上点到焦点距离时一般会想到焦半径公式：r左=aex0,r右=a-ex0，此公式来源于椭圆的第二定义。

三、诊断练习

题1．若焦点在x轴上的椭圆x22y2m1的离心率为12，则m_____________．

32【分析与点评】焦点在x轴上的椭圆，对应的a,b,c一目了然，列出方程求解得【变式】：若椭圆x2．

2y2m1的离心率为12，则m ．

32分析：显然应分焦点在x轴、y轴两种情况讨论求解，结果为2．题2．若椭圆的标准方程是x2或83．

4y281,则此椭圆的准线方程为 ．

a2【分析与点评】利用前面所讲的“定位，定量”后，将数字带入公式y答案为：y4

c即可．

题3．椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是 【分析与点评】让学生画出图形，结合图形确定出基本性质，要让学生注意长轴、短轴的概念，注意与长第47课 椭圆的几何性质

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半轴、短半轴的区别，

题4．过椭圆xa22yb221(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为 ．

【分析与点评】

(1)容易求出P点纵坐标，也就得出PF1长度，由于F1PF260，所以PF2PF1PF22a3ba22ba2根据定义有3(ac)a22，于是有e33．

222(2)求离心率时如何对条件进行转化？——消去b，寻求a,c的关系式，消元途径—bac．

【变式】：已知椭圆的长轴长不小于短轴长的4倍，则椭圆的离心率的范围是 ．

【分析与点评】（1）条件a4b怎样转化？ 结合上例，平方得a16b16(ac)，e22222ca221516

得0e154．

（2）也可让学生在题4的基础上直接通过图像猜想结论，使学生了解参数a,c变化后，e的变化情况

（3）离心率问题是考察中常见的题型，教师应引导学生归纳总结求离心率的方法与技巧. 有关离心率问题，往往得到含a,b,c的方程或不等式，化简方法：利用关系bac消去b，得到a,c的关系式。若得到的是a,c的二次齐次式，可两边同除a，直接化为e的一元二次方程（或不等式），再解之．

要点归纳

（1）强化解析几何的作图（简图）意识，通过图像自行给出相应的四线（两条对称轴、两条准线）；六点（两个焦点、四个顶点），准线方程以及离心率

（2）注重归纳总结求解椭圆问题的一般步骤通常是“定位，定量”

（3）总结求解离心率问题的实质是求出参数a,c的比例关系（或不等式）．

四、范例导析

2222x2y26例1：已知点M(6，2)在椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)上，且椭圆的离心率为. ab3(1)求椭圆C的方程；

(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)，求△PAB的面积．

ab[解] (1)由已知得c6＝，a3a＝b＋c，222262＋2＝1，

a＝12，解得2b＝4.2

故椭圆C的方程为x212＋＝4y21. (2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0)．

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y＝x＋m，由xy12＋4＝1，22

消去y，整理得4x＋6mx＋3m－12＝0，

22则x0＝x1＋x221313＝－m，y0＝x0＋m＝m，即D－m，m. 44442－m4因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PD⊥AB，即PD的斜率k＝＝－1，

3m－3＋4解得m＝2.此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，

则|AB|＝2|x1－x2|＝2·x1＋x22－4x1x2＝32. 319,所以△PAB的面积为S＝|AB|·d＝. 222又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝

x2y22例2、已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，2)在C上．

ab2(1)求C的方程；

(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

a2－b2242x2y222(1)由题意有＝，2＋2＝1，解得a＝8，b＝4.所以C的方程为＋＝1. a2ab84(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM). 将y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0. 84故xM＝x2y2x1＋x22＝－2kbbyM1，y＝k·x＋b＝.于是直线OM的斜率k＝＝－，

MMOM2k2＋12k2＋1xM2k1即kOM·k＝－.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值

2例3 设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率

e32，已知点P(0,)到这个椭圆上的点的最远距23离为7求这个椭圆方程．

【教学处理】此题涉及分类讨论的数学思想，可以先让学生独立思考并解题，指名学生回答解题思路，再结合具体情况让学生讨论，然后请学生板书并订正点评．

【引导分析与精讲建议】

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1、由离心率得出关系式a2b，可设方程2、使用消元法带入方程可得PM2x224b2yb221．

23(y12)4b3(byb)．

123、绝大多数学生没有分类讨论，教师应在这里让学生充分发言讨论。最后形成共识要分b与b12

两种情况讨论求解. 【变式】：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆与点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 . 【分析与点评】可问学生F1PF2为等腰直角三角形这个条件怎么处理?分析得PF2F1F2方法一：如何计算PF2？利用直角三角形解得PF2b222PF1, b2a（注：该结论在双曲线中同样成立）后面可得

a2c，利用前面知识化为e2e10，结果为b2221．

【点评】：

该方法涉及的PF2a这个结论学生需要知道如何推导，这也是个常考题型．

方法二：考虑到所给直角三角形刚好是焦点三角形，结合椭圆的定义，还可做如下处理e2c2aF1F2PF1PF221。该方法在解离心率问题非常有效．

【点评】：建议教师让两组学生分别计算，看看那个效果好？指出这两种方法是解决离心率问题的常用方法．

五、解题反思

1、椭圆的几何性质是高考中考察较多的问题．明确解椭圆问题主要是“定位，定量”，前者是指通过判断比较得出椭圆的图形（及焦点所在坐标轴），后者是指得到参数a,b,c的具体数值．

2、要注意数形结合思想和化归思想在解题中的应用，如例2，例3等。此外待定系数法也是常见方法．

3、求解离心率问题通常的方法总结。即方法1通过消去b,由a,c的关系式（或不等式）求离心率．方法2利用焦点三角形，计算e2c2aF1F2PF1PF2(sinF1PF2sinPF2F1sinPF1F2)．

4、强化作简图的意识，这也是解解析几何的常用工具．

六、课后训练：

11、直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，4则该椭圆的离心率为 如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，

bc1即bc＝a·，所以e＝＝

2a2x2y22、已知圆M：x＋y＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：2＋＝1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于xa322轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为 圆M的方程可化为(x＋m)＋y＝3＋m，则由题意得m＋3＝4，即m＝1(m<0)，

∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1,0)．又直线l过椭圆C的左焦点，且垂直于x轴，

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22222

∴直线l的方程为x＝－c.又∵直线l与圆M相切，∴c＝1，∴a－3＝1，∴a＝2. →→x2y23、已知F1，F2是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2. ab若△PF1F2的面积为9，则b＝ →→2222由定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，且PF1⊥PF2，∴|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4c，

∴(|PF1|＋|PF2|)－2|PF1||PF2|＝4c，∴2|PF1||PF2|＝4a－4c＝4b，∴|PF1||PF2|＝2b. 112∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×2b＝9，因此b＝3. 222222222→→4、若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为 43→→→→2由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则OP＝(x，y)，FP＝(x＋1，y)，∴OP·FP＝x(x＋1)＋y＝x2y2x＋y＋x.又∵＋＝1，∴y2＝3－x2，∴OP·FP＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2. 43→→∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，OP·FP有最大值6 22x2y234→→1414x2y25、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．

ab(1)求椭圆C1的方程；

(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y＝4x相切，求直线l的方程. (1)椭圆C1的左焦点为F1(－1,0)，所以c＝1，

01222又点P(0,1)在曲线C1上，所以2＋2＝1，得b＝1，则a＝b＋c＝2，

2ab所以椭圆C1的方程为＋y＝1. 2(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，

x22x＋y2＝1，由2y＝kx＋m，2

消去y得(1＋2k)x＋4kmx＋2m－2＝0. 222因为直线l与椭圆C1相切，

所以Δ1＝16km－4(1＋2k)(2m－2)＝0，整理得2k－m＋1＝0. ①

y＝4x，由y＝kx＋m，2222222

消去y得kx＋(2km－4)x＋m＝0. 222222因为直线l与抛物线C2相切，所以Δ2＝(2km－4)－4km＝0，整理得km＝1. 2k＝，2综合①②，解得m＝2，

2k＝－，2或m＝－2.

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所以直线l的方程为y＝22x＋2或y＝－x－2. 2第47课 椭圆的几何性质

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