习题1.2含PPT的教学设计及点评

第1讲

函数及其表示

【2013年高考会这样考】

1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法．

2．考查分段函数的简单应用．

3．由于函数基础性强，渗透面广，所以也会与其他章节题目结合来考查．

【复习指导】

对函数概念的理解是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，不易理解，应做适量练习，通过练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误．重点解决：(1)求函数的定义域；(2)求函数解析式的基本方法；(3)分段函数及其应用．

基础梳理

1．函数的概念

(1)函数的定义

一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则．

(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

2．函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

3．映射的概念

设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．

4．分段函数

解析

由函数的概念知：D正确．

答案

D 3．(2011·广东)函数f(x)＝A．(－∞，－1)

C．(－1,1)∪(1，＋∞)

1＋x＞0，解析

由题意知：

1－x≠0，即x＞－1且x≠1. 答案

C log3x，x＞0，4．(2012·西安模拟)已知函数f(x)＝x则ff2，x≤0，1＋lg(1＋x)的定义域是(

)．

1－xB．(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)

19＝(

)．

11A．4

B.4

C．－4

D．－4

11解析

∵f9＝log39＝－2，

11∴ff9＝f(－2)＝2－2＝4. 答案

B 5．(2011·浙江)设函数f(x)＝解析

由已知得：答案

－1

考向一

求函数的定义域

【例1】►(2011·江西)若f(x)＝，则f(x)的定义域为(

)．

1log22x＋11B.－2，＋∞

1D.－2，2

14，若f(a)＝2，则实数a＝________. 1－x4＝2，则a＝－1. 1－a1

A.－2，0

1C.－2，0∪(0，＋∞)

[审题视点] 根据解析式的结构特征，由分式的分母不能为零、对数的真数大于

零列出自变量满足的不等式组，解之即可．

解析

要使函数式有意义，x必须满足：

2x＋1＞0，1log2x＋1≠0，2

1x＞－，2即

x≠0.

1所以f(x)的定义域为－2，0∪(0，＋∞)．

答案

C

求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：①分式中，分母不为零；②偶次根式，被开方数非负；③对于y＝x0，要求x≠0；④对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1；⑤由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束．

【训练1】

函数y＝lg4－x的定义域是________．

x－34－x＞0，x＜4，解析

由得

x－3≠0x≠3.所以函数的定义域为{x|x＜4且x≠3}．

答案

{x|x＜4且x≠3} 考向二

求函数的解析式

11【例2】►(1)已知fx＋x＝x3＋x3，求f(x)；

2(2)已知fx＋1＝lg x，求f(x)．

11[审题视点] (1)若把x＋x看做一个整体，只要把右边配凑成用x＋x表示的代数式，再利用代换即可求出f(x)；(2)采用换元法．

1111解

(1)∵fx＋x＝x3＋x3＝x＋x3－3x＋x，

∴f(x)＝x3－3x(x≥2或x≤－2)．

222(2)令x＋1＝t(t＞1)，则x＝，∴f(t)＝lg. t－1t－1

∴f(x)＝lg2(x＞1)．

x－1

函数解析式的求法

(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式，此时要注意g(x)的范围；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数可用待定系数法)；

(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．

【训练2】

(1)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的解析式．

12(2)已知3f(x)＋5fx＝x＋1，求函数f(x)的解析式．

解

(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

∵f(0)＝0，∴c＝0，

又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，

∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1. 即2ax＋a＋b＝x＋1，

2a＝1，∴a＋b＝1，

1a＝2，∴1b＝2，

11∴f(x)＝2x2＋2x. 11(2)以x替换原等式中的x，则3fx＋5f(x)＝2x＋1. 12＝＋1，3fx＋5fxx故1＋5fx＝2x＋1，3fx16x＝＋3，9fx＋15fx即1＋25fx＝10x＋5.15fx两式相减整理，

531得f(x)＝8x－8x＋8(x≠0)．

考向三

分段函数求值

12x，x≥4，【例3】►(2011·长沙模拟)已知函数f(x)＝fx＋1，x＜4，则f(2＋log23)的值为(

)．

1111A.24

B.12

C.6

D.3

[审题视点] 根据f(x)＝f(x＋1)(x＜4)，将自变量x化到[4，＋∞)上，再求解．

解析

∵2＋log23＜4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)．

11111而3＋log23＞4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝8×3＝124. 答案

A

(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子

集，然后再代入相应的关系式．

(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决．

x2＋1，x＜1，【训练3】

已知函数f(x)＝2

x＋ax，x≥1，

若f(f(0))＝4a，则实数a等于(

)．

14A.2

B.5

C．2

D．9 解析

∵f(0)＝20＋1＝2，∴f(f(0))＝f(2)＝22＋2a. 又f(f(0))＝4a，∴22＋2a＝4a，∴a＝2. 答案

C

报告1——忽视函数的定义域

【问题诊断】

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，考生容易忽视定义域，导致错误．

【防范措施】

研究函数的任何问题时，把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则．

1【示例】►

求函数y＝log3(x2－3x)的单调区间．

1错因

忽视函数的定义域，把函数y＝logt的定义域误认为R导致出错．实录

3设t＝x2－3x. 3∵函数t的对称轴为直线x＝2，

33故t在－∞，2上单调递减，在2，＋∞上单调递增．

1∴函数y＝log3(x2－3x)的单调递增区间

33是－∞，2，单调递减区间是2，＋∞. 正解

设t＝x2－3x，由t＞0，得x＜0或x＞3，即函数的定义域为(－∞，0)∪(3，＋∞)．

3函数t的对称轴为直线x＝2，

故t在(－∞，0)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．

11而函数y＝log3t为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数y＝log3(x2－3x)的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是(3，＋∞)．

【试一试】

求函数f(x)＝log2(x2－2x－3)的单调区间．

[尝试解答]

由x2－2x－3＞0，得x＜－1或x＞3，

即函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．

令t＝x2－2x－3，则其对称轴为x＝1，故t在(－∞，－1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．

又y＝log2t为单调增函数．

故函数y＝log2(x2－2x－3)的单调增区间为(3，＋∞)，单调减区间为(－∞，－1)．