习题1.2多媒体教案及点评

1.2.2 第一课时

函数的表示法

【学习目标】

明确函数的三种表示方法(解析法、列表法和图象法)，了解三种表示方法各自的优点．

在实际情境中，能根据不同的需要来选择恰当的方法表示函数．

1．解析法

用_数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．

练习 1：某种钢笔的单价是 10 元，买 x(x∈{1,2,3,4})支钢笔需要 y 元，则 y 关于 x 的函数表达式为 ．

y＝10x，x∈{1,2,3,4} 练习2：已知f(x)＝x2＋x＋1，则f(2)＝________32；f[f(2)]

＝__57______.

解析：f(2)＝(2)2＋2＋1＝3＋2；

∵f(2)＝22＋2＋1＝7，∴f[f(2)]＝f(7)＝72＋7＋1＝57.

2．图象法

以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f(x)的图象，这种用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法．

【问题探究】

1．已知 f(x)＝x2－x＋1，则 f(x＋1)＝x2＋x＋1 2．已知 f(x＋1)＝x2－x＋1，则 f(x)＝x2－3x＋3

题型 1 作函数的图象

【例 1】

作出下列函数的图象：

(1)y＝2x＋1(x∈Z)；

(2)y＝x2－2x－2(0≤x≤3)；

(3)y＝|x－1|；

思维突破：作函数的图象，首先应分析函数定义域，在定义域内对解析式进行化简．作函数的图象一般有两种思路：一是利用描点法；二是转化为基本函数，利用基本函数图象作复杂函数的图象．

解：(1)∵函数定义域为 x∈Z，∴这个函数的图象是直线

y＝2x＋1 上的所有整点[如图 D8(1)]．

(2)∵0≤x≤3，∴这个函数的图象是抛物线 y＝x2－2x－2 在 0≤x≤3 之间的一段曲线[如图 D8(2)]．

(3)所给函数即射线[如图D8(3)]．

(4)y＝x－1

y＝1－x

x≥1，x<1

是端点为(1,0)的两条1x＝1＋，列表、描点，作图可得其图象，可x－1x－11以由y＝x的图象先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到[如图D8(4)]．

总结：先观察函数的定义域，在定义域内化简函数式，转化为熟悉的函数，然后利用列表描点法或利用基本函数图象去作复杂函数的图象．

【变式与拓展】

1．小明骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是（）

A

B

C

D 解析：时间越长，离学校越远，A 显然错误；

途中因交通堵塞停留了一段时间，距离不变，D 错误；

开始时匀速行驶，后为了赶时间加快速度行驶，后面的直线应该陡一些．故选

C. 题型 2 待定系数法求函数的解析式

【例 2】

已知二次函数 y＝f(x)的最大值为 13，且 f(3)＝f(－1)＝5，求

f(x)的解析式．

解：方法一：利用二次函数的一般式求解．

设

f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由条件知，点(3,5)，(－1,5)，(1,13)在

f(x)的图象上，

9a＋3b＋c＝5，∴a－b＋c＝5，a＋b＋c＝13.

a＝－2，解得b＝4，c＝11.

∴f(x)＝－2x2＋4x＋11. 方法二：利用二次函数的顶点式求解．

由

f(3)＝f(－1)，可知：对称轴为

x＝1，

又最大值为

13，故可设

f(x)＝a(x－1)2＋13. 将

x＝3，f(x)＝5 代入，得

a＝－2. ∴f(x)＝－2(x－1)2＋13，

即

f(x)＝－2x2＋4x＋11. 总结：对于求二次函数解析式的问题，应注意已知条

件，选择恰当的待定形式．

【变式与拓展】

2．已知

f(x)是一次函数，且

f[f(x)]＝4x＋3，求

f(x)的解析式．

解：设

f(x)＝ax＋b，则

f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a2x＋ab＋b. ∴a2x＋ab＋b＝4x＋3. 2a＝4，∴ab＋b＝3，

a＝2，解得b＝1

a＝－2，或b＝－3.

故所求的函数为 f(x)＝2x＋1 或 f(x)＝－2x－3. 题型 3 换元法求函数的解析式

【例 3】

已知 f(x＋1)＝x2－1，求 f(x)的解析式．

解：方法一：f(x＋1)＝x2－1 ＝(x＋1)2－2x－2＝(x＋1)2－2(x＋1)，

令

t＝x＋1，则有

f(t)＝t2－2t，

故

f(x)＝x2－2x. 方法二：令

x＋1＝t，则

x＝t－1. 代入原式，有

f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t，

所以

f(x)＝x2－2x. 【变式与拓展】

3．设 f(x＋2)＝2x＋3，则 f(x)＝( B )

A．2x＋1

B．2x－1

C．2x－3

D．2x＋7 题型 4 赋值法求函数的解析式

1【例4】

已知f(x)＋2fx＝2x＋1，求f(x)的解析式．

总结：本题是通过赋值法构造方程组，通过变量替换

1解：∵f(x)＋2fx＝2x＋1，①

112以x替换上式中的x，得fx＋2f(x)＝x＋1，②

4∴由①－②×2，得－3f(x)＝2x＋1－x－2，

4＋x－2x2即f(x)＝. 3x【变式与拓展】

4．已知12f(x)＋fx＝x，求f(x)的解析式．

1解：已知2f(x)＋fx＝x，

①

111将①中变量x换成x，得2fx＋f(x)＝x，

②

121联立①②，消去fx，得f(x)＝3x－3x. 

[方法·规律·小结] 1．函数图象．

(1)在直角坐标系下，判断一个曲线是不是某函数的图象，

只需验证过曲线上任一点作垂直于 x 轴的直线，若此直线与图

象有唯一的交点，则曲线是函数的图象．

(2)作函数图象的方法：

①描点作图法：其步骤是列表、描点和连线三大步，作图

时要考虑定义域，必须在定义域内作图；

②图象变换法：利用基本初等函数的图象，通过平移、旋

转等变换作出所求图象，这是在画草图时常用到的重要方法．

2．在函数 f(x)中，符号 f 表示一种对应关系，可以是解析

式，可以是图象，也可以是图表．