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高一数学秋季精英班教材

第五讲

函数的值域及最值

益思对话

知识要点：

1.求函数的值域是函数中常见问题，尤其是在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一普遍问题，它的一种典型处理方法就是建立函数解析式，转化为求函数的值域。

2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识,特别注意定义域对值域的制约作用

方法归纳：

求函数的值域，要重视对应法则的作用，根据各个函数解析式的特点，考虑用不同的方法求解，常见的值域的求法有：

1.配方法：若与二次函数有关，可用配方法；

2.分离常数法：当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；

3.换元法：若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法；

4.单调性法：若容易判断函数的单调性，则用单调性法；

5.均值不等式法：当函数解析式结构与均值不等式有关，可考虑用均值不等式法；

ax2+bx+c

6.判别式法：形如y=2(xR)的函数常用判别式法求值域；

dx+ex+f

7.反解法：形如y=ax+b的函数常用反解法求值域；

cx+d

8.有界性法：形如y=ag(x)+b（g(x)有界）的函数常用有界性法求值域；

cg(x)+d

9.数形结合法：当函数的图象易画出或解析式有明确的几何意义时，可借助于图象或几何意义求解.

益思练场

1．设函数f(x)的定义域为R，有下列三个命题：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值；②若存在x0R，使得对任意xR，且xx0，有fxfx0，则fx0是函数f(x)的最大值；③若存在x0R，使得对任意xR，有fxfx0，则f(x0)是函数fx0的最大值．这些命题中，正确命题的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．函数yx2x的定义域是{0,1,2}，则该函数的值域为( ) A．{－1,0} B．{0,1,2} C．{y|－1≤y≤0} D．{y|0≤y≤2} 21

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113．若函数y＝f(x)的值域是[，3]，则F(x)＝f(x)＋的值域是(

) 2fx11051010

A．[，3]

B．[2，]

C．[，]

D．[3，] 232332x4.函数y＝2(x∈R)的值域是(

) x＋1A．(－∞，1)

B．(0,1)

C．[0,1)

D．[0,1]

5．已知函数fxx22x3，若在[0，m]上有最大值为3，最小值为1，则m的取值范围是 ．

益思精析

x1

③yx22x3

x1【例1】画出下列函数的图象，并求出函数的值域：

①y

2【变式1】已知函数f(x)32|x|，g(x)x2x。构造函数F(x)，定义如下：当f(x)g(x)时，2x1,x02xx,x0

②yF(x)g(x)；当f(x)g(x)时，F(x)f(x)，那么F(x)（ ）

A、有最大值3，最小值－1 B、有最大值3，无最小值

C、有最大值7－27，无最小值 D、无最大值，也无最小值

【例2】求下列函数的值域

2

①y3x1

，

x{1,2,3,4,5}

②yx4x6

，x[1,4)

③y2x1x

④y

x

x11x21⑤y2

⑥y4x

xx2x2

2

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x2,|x|2【变式2】设f(x)，若f[g(x)]的值域是[0,)，则函数yg(x)的值域是

x,|x|1

【例3】（1）求函数y

（2）已知函数f(x)x2x3在[0,a]上的最大值是3，最小值是2，求实数a的取值范围。

2【变式3】已知A[1,b]（b1），对于函数f(x)(x1)1，若xA时有f(x)A，求b的值。

2xx1的值域。

【例4】求函数f(x)x22(a1)x2在区间,4上的值域。

【变式4】求函数y4x11在[a,a1]（a0）上的值域。

x

2【例5】已知二次函数f(x)axbx(a0)满足条件：f(5x)f(x3)且方程f(x)x有等根。

（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m,n(mn)，使得f(x)的定义域为[m,n]，值域为[3m,3n]。

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高一数学秋季精英班教材 【变式5】已知函数f(x)1

1（x0）

x（1）是否存在实数a,b（ab），使得函数yf(x)的定义域、值域都为[a,b]，若存在求出a,b；若不存在，说明理由. （2）若存在实数a,b（ab），使得函数yf(x)的定义域为[a,b]，值域为[ma,mb]，求m的取值范围（m0）。

【例6】在经济学中，函数f(x)的边际函数为Mf(x)，定义为Mf(x)f(x1)f(x)，某公司每月最多生产100台报警系统装置。生产x台的收入函数为R(x)3000x20x（单位元），其成本函数为2C(x)500x4000（单位元），利润的等于收入与成本之差。

（1）求出利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x)；

（2）求出的利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x)是否具有相同的最大值；

（3）你认为本题中边际利润函数Mp(x)最大值的实际意义。

【变式6】

规定记号“*”表示一种运算，即a*b值域是

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abab，其中a,bR，则函数f(x)k*x的

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