2.2.1 函数的单调性名师教学设计2

课 题：函数的单调性

一、课标分析

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终，并且是高考中的热点。《函数的单调性》的课标教学要求是：从结合实际问题出发，让学生感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。

二、教材分析

（1）函数的单调性起着承前启后的作用。一方面，初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分运用，函数的单调性与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系；函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。

（2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，学习函数，要经常观察、分析、归纳、猜想、迭代的思想，还要综合运用前面的知识解决函数的单调性中的一些问题，这些都有助于学生数学能力的提高。

（3）函数的单调性有着广泛的实际应用。在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。

因此“函数的单调性”在中学数学内容里占有十分重要的地位。它体现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用，为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。

三、学生分析

从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么.从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的。

从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。

从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描1

述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。

四、教学目标

知识目标：（1）通过已学过的函数，理解函数的单调性；

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

（3）熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性。

能力目标：通过概念的教学，培养学生观察、联想、比较、分析、综合、抽象、概括的逻辑思维能力，使其能体验和感悟数学的一般思维方法. 德育目标：通过形式化与符号化对函数单调性的描述，促使学生养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯. 五、重点难点

重点：函数的单调性定义（从形到数，从文字语言到符号语言）；

难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性。

六、方法策略

教师是教学的主体、学生是学习的主体，通过双主体的教学模式方法：

启发式教学法——以设问和疑问层层引导，激发学生，启发学生积极思考，逐步从常识走向科学，将感性认识提升到理性认识，培养和发展学生的抽象思维能力。

探究教学法——引导学生去疑；鼓励学生去探；

激励学生去思，培养学生的创造性思维和批判精神。

合作学习——通过组织小组讨论达到探究、归纳的目的。

七、教具选择

板书与多媒体的有机整合展示，通过对图形的直观体验理解概念，化解难点，帮助学生更容易找寻其中的规律，获得更大的创新空间。

2

八、

教学过程

教学教学教学环节

时间

目的

导

入

新

课

1 分

钟

情景导入

教学方法

教学呈现

教师引言：德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”。

思考1:观察“艾宾浩斯遗忘曲设计意图

说明

用实物投影将“艾宾浩斯遗忘曲线”进行展示

明确学习启

内容且向学生渗透发

引出

线”，你能发现什么规律？

研究函数式

课题

我们发现随着时间t的增加，问题的一记忆保留量y在不断减少；从图般方法。

象上来看，从左至右图象是在逐渐下降的。

（板书课题：函数的单调性）

对函数的单调性有感性的认识

1.函数的单调性

问题1：请学生画出下列函数检查学生演

的图象。[实物投影] 对函数图示

象的掌握法

（1）yx1

（2）yx2

问题2：以上函数图象中哪部分从左到右看是上升的，哪部分是从左向右看是下降的？

问题3：你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？

并能说出“图象呈逐渐下降趋势”的意思吗？

从图像引出“随着自变量的增大函数值增大”，为进一步转化成符号语言做准备

教师提出“单调增函数、单调减函数”两名词；请学生看教材对单调增、减函数的具体定义。

教师板书定义，讲清几个关键词“任意”“都有”

3

对函数图象的增、减情况用动画演示，增加直观性、提高学生兴趣

让学生口述

教师板书

新

授

课

10 分

钟

情况

考察学生的观察能力，培养学生的数学表达能力

让学生自己去领悟、思考、记忆概念

启

发

式

教学

教学教学环节

时间

目的

理解增、减函数的定义

新

授

课

教学呈现

设计意图

教学方法

探

究

教

学

合

作

学

习

说明

问题4：如何用数学符号语言定义函数所具有的这种性质？

方案1：在区间0,上取强化自变量1，2,∵1<2, f1f2

教学重点，∴fx在0,上, 图象逐渐

加强对知上升

识的记忆

方案2:在区间0,上取

无数组自变量，验证随着x的增把握大，fx也增大。

概念的本方案3:在0,内取任意质

的x1,x2且x1x2时，都有

f(x1)f(x2)

板书：

一般地，设函数f(x)的定义

域为A，区间IA：如果对于区

间I内的任意两个值x1,x2，当

时都有

x1x2

f(x1)f(x2)[f(x1)f(x2)]，那么就说f(x)在这个区间上是

介绍相关概念，使学生进一步理解单调性的概念。

关键词：“任意”、“都有”同时可举实例帮助学生理解，判断函数在区间[a,b]上的增、减情况

6 分

钟

单调增（减）函数。

y

x

a b o 了解[ 单调

函数、2.单调函数、单调区间

单调[教师口述]：函数是单调增区间函数或是单调减函数，是对定义的概念

域内某个区间而言的。如果函数

yf(x)在某个区间上是单调增函数（单调减函数），那么就说函数yf(x)在这个区间上具有单调性。这一区间叫做yf(x)的单调增（减）区间。

4

教学

教学教学环节

时间

目的

能运用函数单调性的概念结合图象判断函

数的

单调

性并写出单调区间

教学呈现

设计意图

使学生进一步熟悉函数的单调性与函数的图象间的关系,会从函数图象上初步判教学方法

说明

例1：（如图）定义在区间[5,5]上的函数yf(x)的图象，根据图象说出yf(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，yf(x)是单调增函数还是单调减函数。

题目及图形的给出用实物投影

启

发

1、对[设问4]的思考、式

回答可借助于具体函教

数：学

f(x)3x2在R上为增

函数的证明

为例。

谈

话

法

新

授

课

断函数的单Y

调性；并培3 2

养学生运用1

-2 X 数学语言进

-3 -1 O 1 2 3 4 5 行正确表达-5 -4 -1

的能力。

-2

-3

渗透用图象3.函数单调性的证明

教师过渡语言：

要了解函数某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据函数单调性的定义进行证明。

[设问4]：请同学们试想，根据函数单调的定义证明已知函数的单调性的关键在于什么？

5

法研究函数的思想方法

教学

教学

教学

环节

时间

目的

新

授

课

12 分

钟

能运用函数的单调

教学呈现

设计意图

教学

方法

探

究

教

学

讨

论

法

说明

2、例题中的注意点：

①解题格式

②防止循环论证

③作差同“0”比

教师强调，以后若函数在两个区间同时递增，决不能把两区间并起来作为单调递增区间

教师一板一眼地具体板书，并不得遗漏任何一个步骤及细节

例2：证明函数f(x)3x2在提出问题、区间R上是增函数

创设情境，

培养学生板书：证题详细过程。

积极思考、快速把握问题实质的良好思维品质。

加深学生对函数单调性定义的理解，规范解题格性定

义进

行证师生共同归纳用定义法证明函明函数单调的一般步骤：

数在

某一（1）设x1,x2是给定区间上的区间任意两个值，且x1x2；

上的

单调（2）作差f(x2)f(x1)变形，性

一般化成几个因子积的形式（或平

方和形式）；

式

（3）确定f(x2)f(x1)的符培养学生

号；

归纳总结

的能力

（4）下结论。

能灵引导讨论：

调动学生活运物理学中的玻意耳定律 参与讨论、用概告诉我们，对于一定量的气体，当培养学生念证其体积V减小时，压强p将增大。的发散思题

试用函数的单调性证明之。

维、开阔学生解题思路

6

教学

教学教学环节

时间

目的

课

堂

练

习

课

后

小

结

教学呈现

设计意图

教学方法

说明

练习的单调区间易错写成

(,0)(0,)

巩固练习：

函数1y1.画出函数图象，写出定7 单调x分

性的钟

概念义域并写出单调区间：

及证

明的方法

强调3 教学分

目标钟

突出教学重点

1．如果对于定义域内的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时都有f(x1)f(x2)[f(x1)f(x2)]，那么就说f(x)在这个区间上是单调增（减）函数。

2．利用定义证明函数的单调性常通过确定f(x2)f(x1)的符号判断f(x1)与f(x2)的大小。

课本39页：

及时反馈，

检查知识合

的落实情作

况

学

习

的形式

使学生在头脑中的知识结构得到提炼、帮助掌握重点内容

谈

话

法

让学生来小结、回顾

布

置

作

业

课后

培养学生独立解决问题的能力

练

习

法

思考题要求较高作为选做题

进一习题1.3A组 1 2 3 1 步掌思考题：

分

握、axf(x)(a0)

2钟

巩固判断函数x1概念方法

在区间(1,1)上的单调性。

⑴

要实现数学新知的建构学习，教师创设适当的情境是一个十分重要的方面。

当然，情境应符合实际，这里的实际包括数学教学内容的实际，学生知识状况的实

教学

后记

际，学生思维发展的实际等等。

⑵

函数的单调性与很多已有的知识、经验、方法有联系，这些对函数单调性的学习有着积极的意义，同时对函数单调性的理解也使得这些知识的意义得到了扩展。

⑶

概念和意义的综合贯通，不是一次课堂教学所能解决，因此需要在后续教学中多次反思，不断运用。

7