3.4.1 函数与方程优秀获奖教案

§3.4.1（1）

函数与方程

一、教材分析

（一）.内容分析

《函数与方程》是苏教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第4节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，是一节概念课． （二）．地位分析

函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起．

本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．

因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．

二、学情分析

高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图像已经有了一个比较系统的认识与理解．特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位．

三.教学目标分析

1．知识与技能

（1）通过课前练习使学生回顾一元二次方程的解法及有解的条件。

（2）通过探究让学生理解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的关系.

（3）由方程的根与函数的零点的探究，培养转化化归思想和数形结合思想.

2．过程与方法

由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与x轴的交点情况分析，导入零点的概念，引入方程的根与函数零点的关系，从而培养学生的转化化归思想和探究问题的能力.

3．情感、态度与价值观

在体验零点概念形成过程中，体会事物间相互转化的辨证思想，享受数学问题研究的乐趣.

四、教学重点与难点分析

重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法.

难点：数形结合思想，转化化归思想的培养与应用.

五、教学方法分析

在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，合作交流中完成的学习任务.尝试指导与自主学习相结合.

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教学过程

教学环节

引入探究

8 教学内容

师生互动

设计意图

1观察下列三组方程与函数方

程

函

数

师生合作师：方程x2

– 2x

–3 = 0的22x–2x–3 = 0 y=x–2x–3 根为–1，3函数y = x2

– 2x

22x–2x+1 = 0 y=x–2x+1 – 3与x轴交于点(–1，0) x2–2x+3 = 0 y=x2–2x+3 (3，0)利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之生：x2

– 2x + 1 = 0有两个以旧引间的关系

相等根为1.新，导2.一元二次方程的根与二次函数的关系2函数y= x

– 2x + 1与x轴入课题

对于二次函数y

= ax2

+ bx

+ c与二次方程ax2

+ bx

+ 有唯一交点

(1，0).c=0，其判别式△= b2

– 4ac

x2

– 2x + 3 = 0没有实根判别方程ax2 + bx 函数y = ax2 + bx + 函数y = x2

– 2x + 3与x式

+ c = 0的根

c与X轴的交点

轴无交点

△＞0 两不相等实根

两个

△=0 两相等实根

一个

△＜0 没有实根

没有

1.零点的概念对于函数y=f (x),称使

y=f (x)= 0的实数x为函数

y=f (x)的零点判别方程ax2 + bx 函数y = ax2 + 概念形成与理解

8 式

+ c = 0的根

△=0 两相等实根

△＜0 没有实根

bx + c的零点

一个零点

没有零点

△＞0 两不相等实根

两个零点

小结：.函数的零点与方程根的关系方程f (x) = 0有实数根函数y = f (x)的图象与x轴有交点函数y = f (x)的零点

师:我们通俗地称函数与x轴交点的横坐标为函数归纳总的零点。

结

感知概学生思考：函数yf(x)念的零点、方程f(x)0的分析特实数根、函数yf(x)

征的图象与x轴交点的横形成概坐标，三者有什么关系？

念

师：举例说明

1、如右图，请根据函数yf(x)的图像，说出函数的题组一：（求零点:解方程）

零点。

让学生到黑板板书答案，循序渐弄清函数的零点是一个进

数。

让学生掌握求零点的方系统训法：

练

可以通过图像，

可以通过解方程，

深化知可以利用（二次函数）

识

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2、函数f(x)x2x2的零点是（

）

A. (1,0)，(-2,0)

B. 1

C. -2

D. 1和-2

3、函数

4、函数ylog2x的零点是

，函数f(x)ax2x1仅有一个零点，则实数a=_________；

x(x1),x0的零点是

；

yx(x1),x0

1、

能用前面学过的知识判断函数y2xx1是否有零点吗？有多少个？

2、

请在同一坐标系内画出f(x)2x和g(x)x1的图像，若有交点，则写出交点坐标；

3、试一试：把交点的横坐标x0____________，

x代入y2x1，发现y____，

题组二：（求零点个数：画图像）

即f(x0)g(x0)_____.

结论：

函数yf(x)g(x)有________

方程f(x)g(x)0有_______ 让学生实物投影展示，口答问题，掌握零点即函数图象与x轴交点的横坐标，通过画图像解决函数零点个数问题。

注重数形结合思想的运用。以问题讨论代替老师的讲援

yf(x)yg(x)第

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4、方程log2x2x的根的个数是_____________个；

12x1fx）x5、（2012·北京

文科·Ｔ5）函数（的2零点个数为（

）

（A）0

（D）3 6、（2014·福建

文科·Ｔ15）15．函数

（B）1

（C）2

x22,x0fx的零点个数是_________ 2x6lnx,x0思考题：如图为函数yf(x)的图像，探究当k取何值时方程f(x)k的根的个数。

1.函数y4x2的零点是（

）

A.2

B.（-2，0）

C.(,0)

D. 让学生动手练2.若函数yx2m的零点是2，则m

知识强化，主要是题组一习，加和题组二延伸，让学生理深对概

解课堂知识的前提下，进念的说

一步掌握知识

明，培3.若函数f(x)mx2x2只有一个零点，则实数m养思维能力

的值为

4.(2015临汾高一检测) 若函数f(x)x2axb的两121

2四、知识强化

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个零点是2和3，求a,b的值.

5.函数f(x)2xx3的零点个数是

（1）知识方面

零点的概念、求法、判定

（2）数学思想方面

函数与方程的相互转化，即转化思想

借助图象探寻规律，即数形结合思想

学生归纳，老师补充、点评、完善

师：小结：

（1）

找零点的方法：看图、画图、解方程

（2）

转化化归思想和数形结合的思想

回顾、反思、归纳知识，提高自我整合知识的能力

固化知识，提升能力

五、归纳总结

1、

函数

f(x)(x22)(x23x2)的零点个数为（

）. 六、课后作业

A.

1

B. 2

C.

3

D. 4 2、

函数yx2x20的零点为

. 3.、求函数y = –x2

– 2x + 3的零点，并指出y＞0，y = 0时x的取值

4、《学习与评价》P79：1、2、5、7 学生独立完成

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