2.1.1 函数的概念和图象优秀课堂实录

2．1

函数的概念

2．1.1

函数的概念和图象

第1课时

函数的概念和定义域

【课标要求】

1．理解函数的概念；

2．了解构成函数的要素；

3．会求一些简单函数的定义域．

【核心扫描】

1．理解函数的概念，会求一些简单函数的定义域．(重点)

2．函数概念的理解．(难点)

自学导引

1．设A，B是两个

，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的

，在集合B中都有

的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为

．

2．在函数y＝f(x)，x∈A中，

组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域，

组成的集合C＝{f(x)|x∈A}叫做函数y＝f(x)的值域，且有C⊆B. 想一想：初中阶段和高中阶段两种函数概念有何相同点，有何不同点？

提示

初中阶段和高中阶段两种函数概念的相同点是：

(1)两种表示的定义域和值域完全相同．

(2)对应关系本质上也是一样的．

(3)都是描述变量之间的依赖关系．

两种函数概念的不同点是：

(1)高中学的函数用集合的观点说明变量．

(2)高中学的函数用对应关系表示变化过程．

(3)表示法的不同：初中学的函数的表示法比较单一，但直观、生动．高中学的函数的概念更具一般性．

名师点睛

1．符号：y＝f(x)表示y是x的函数，是一个整体符号，不是f与x的乘积．f(x)不一定是解析式，还可以是图象或表格，对于常数a和自变量x，f(a)与f(x)既有区别又有联系，f(x)表示自变量是x的函数，f(a)表示当x＝a时f(x)的一个特殊值．

2．对应法则f，定义域A和值域C＝{y|y＝f(x)，x∈A}是函数的三要素．构成函数的三要素是相辅相成的，缺一不可，其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征，是联系自变量x与函数值y的纽带．一般来说，当函数的定义域和对应法则确定后，其值域也随之确定．

3．函数的定义域

函数的定义域是函数三要素之关键，函数定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值范围，具体来说，常有以下几种情况：

(1)f(x)为整式时，定义域为实数集．

(2)f(x)为分式时，定义域为使分母不为零的实数的集合．

1

(3)f(x)是二次根式(偶次根式)时，定义域为使被开方数非负的实数的集合．

(4)如果函数是一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集．

(5)由实际问题建立的函数，除了要考虑其解析式有意义外，函数的定义域还要符合实际问题的要求. 例题精讲

题型一

判断一个对应关系是否是函数

【例1】

由下列式子是否能确定y是x的函数？

(1)x2＋y2＝2；

(2)x－1＋y－1＝1；

(3)y＝x－2＋1－x. [思路探索]

判断一个对应关系是不是函数，要看两点：①A中的任意一个元素在B中是否有唯一的元素与之对应，即存在的对应可以是“一对一”，“多对一”，而不能是“一对多”，②A，B是否都是非空数集．

解

(1)由x2＋y2＝2，得y＝±2－x2，因此由它不能确定y是x的函数，如当x＝1时，由它所确定的y值有±1两个．

(2)由x－1＋y－1＝1，得y＝(1－x－1)2＋1，所以当x在{x|x≥1}中任取一个值时，由它可以确定唯一的y值与之相对应，故由它可以确定y是x的函数．

x－2≥0，(3)由得x∈∅，故由它不能确定y是x的函数．

1－x≥0

规律方法

判断由一个式子是否能确定y是x的函数的方法：对于由式子有意义确定的x的取值集合中的一个x的值，由式子是否可以确定唯一的一个y值与之相对应．

【训练1】

判断下列对应是否为从集合A到集合B的函数：

1

(1)A＝R，B＝{0,1}，对应关系：f：x→y＝0

xx＜，；

(2)A＝B＝R，对应关系f：x→y＝±x；

1(3)A＝Z，B＝Q，对应关系f：x→y＝. x解

(1)对于A中任意一个非负数在B中都有唯一元素1与之对应，对于A中任意一个负数在B中都有唯一元素0与之对应，所以是函数．

(2)集合A中的负数，在B中没有元素与之对应，并且对A中的正数，在B中都有两个数与之对应．故不是函数．

(3)集合A中的0元素在B中没有元素和它对应，故不是函数．

题型二

求函数的定义域

【例2】

求下列函数的定义域．

2

3(1)y＝2＋；

(2)y＝3－x·x－1；

(3)y＝(x－1)0＋x－22. x＋1[思路探索]

已知函数解析式，求函数的定义域是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围．

解

(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋所以这个函数的定义域为{x|x∈R，且x≠2}．

3－x≥0，(2)要使函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3.

x－1≥0，3才有意义，

x－2

所以这个函数的定义域为{x|x∈R，且1≤x≤3}．

x－1≠0，(3)要使函数有意义，当且仅当2解得x＞－1，且x≠1，所以这个函数的定义域为≥0，x＋1{x|x＞－1，且x≠1}．

规律方法

求函数定义域的问题可以归纳为解不等式问题，如果一个函数需要几个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得x的范围的交集，利用数轴便于问题的解决．求函数的定义域时不应化简解析式；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

【训练2】

求下面函数的定义域：

x＋1(1)y＝2x＋3＋；(2)f(x)＝x－1|x|－x0

. x≥－2，2x＋3≥0，解

(1)要使函数有意义，需满足

即x－1≠0，

3x≠1.

3∴原函数定义域为{x|x≥－且x≠1}．

2x＋1≠0，x≠－1，(2)要使函数有意义，需满足

即∴x＜0且x≠－1，

|x|－x≠0，|x|≠x，

∴原函数定义域为{x|x＜0且x≠－1}．

题型三

判断两个函数是否为相同函数

【例3】

(14分)判断下列各组函数是否表示相同的函数．

x(1)f(x)＝x2与g(x)＝(x)2；(2)f(x)＝与g(x)＝1；(3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1. x审题指导

两个函数相同当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关．

3

【题后反思】

判断两个函数是否为相同的函数时，不仅要看函数的表达式化简后是否相同，还要看定义域是否相同．

x243【训练3】

下列函数：①f(x)＝；②f(x)＝(x)4；③f(x)＝|x|；④f(x)＝x3.其中与y＝x表x示相同函数的是________．

x243解析

①f(x)＝＝x(x≠0)；②f(x)＝(x)4＝x(x≥0)；③f(x)＝|x|(x∈R)；④f(x)＝x3＝x(x∈R) x3所以f(x)＝x3与y＝x表示相同函数，故填④.答案

④

方法技巧

求抽象函数的定义域

函数f(x)与f(g(x))中的“x”含义不同，它是用同一字母来表示的两个不同函数的自变量，因此它们的取值范围不一定相同，但它们之间又有联系，即f(x)中的“x”与f(g(x))中的“g(x)”取相同的值时，它们所对应的函数值相等．

函数f(g(x))的定义域是由外函数的定义域、内函数的值域以及内函数的定义域共同确定的，即对于函数f(g(x))：

(1)如果函数f(x)的定义域为A，则f(g(x))的定义域是使函数g(x)∈A的x的取值范围；

(2)如果f(g(x))的定义域为A，那么函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域．

【示例】

已知函数f(x)的定义域为[1,4]，求f(2x＋1)的定义域．

[思路分析]

函数f(x)的定义域是[1,4]，就是指自变量x的取值范围是[1,4]，所以在函数f(2x＋1)中，2x＋1的取值范围也是[1,4]，即2x＋1满足1≤2x＋1≤4，从而解此不等式，得f(2x＋1)的定义域．

3解

因为f(x)的定义域是[1,4]，所以f(2x＋1)中的2x＋1满足1≤2x＋1≤4，解得0≤x≤. 23所以f(2x＋1)的定义域为[0，]．

2方法点评

(1)f(g(x))的定义域为[a，b]，指的是x的取值范围[a，b]，而不是g(x)的取值范围为[a，b]，所以函数的定义域是对x且只对x而言．(2)在同一对应法则f下，f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)两者的范围应该是一致的，因此，f(x)与f(g(x))的定义域是不一样的，要正确区分. 4

课后检测作业

2.1.1.1函数的概念和定义域

双基达标

限时15分钟

11．对应f：x→，x∈R________(填“是”或“不是”)函数．

x解析

因为x＝0时没有元素与之对应．答案

不是

2．设f：x→ax－1为从集合A到B的函数，若f(2)＝3，则f(3)＝________. 解析

∵f(2)＝3，∴2a－1＝3，解得a＝2，∴f(3)＝3a－1＝5.答案

5 3．在对应法则：x→y，y＝|x|＋b，x∈R，y∈R中，若2→5，则－2→________，________→6.

解析

由2→5得b＝3；故x＝－2时，y＝5；y＝6时，x＝±3.答案

5

±3 4．函数y＝2－x＋x－2的定义域是________．

2－x≥0解析

要使原式有意义，则，解得x＝2，即函数定义域是{2}．答案

{2} x－2≥0

5．记函数f(x)＝3－x的定义域为A，则A∩N中有________个元素．

解析

由3－x≥0，得x≤3，即A＝{x|x≤3}，所以A∩N＝{0,1,2,3}，有4个元素．答案

4 6．求下列函数的定义域：

(1)y＝3x－2；

(2)y＝2x－33＋9－x. 2x＋13x－2≥023233解

(1)使函数有意义，则满足，解得x≥，且x≠，故函数定义域为[，)∪(，323222x－3≠0

＋∞)．

32x＋1≥011(2)使函数有意义，则满足，解得－＜x≤9，故函数定义域为(－，9]．

229－x≥0综合提高

限时30分钟

7．函数y＝f(x)的图象与直线x＝2的公共点有________个．

解析

当x＝2在函数y＝f(x)的定义域中时，公共点是1个；当x＝2不在函数y＝f(x)的定义域中时，公共点是0个．答案

0或1 8．已知A＝{x|x＝n2，n∈N}，给出下列关系式：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x4；⑤f(x)＝x2＋1，其中能够表示函数f：A→A的是________(填上你认为所有正确的关系式序号)．

解析

对于⑤，当x＝1时，x2＋1∉A，故错误；由函数定义可知①②③④均正确．

答案

①②③④

9．给出下列对应：

5

1313(1)A＝{，1，}，B＝{－6，－3,1}，f()＝－6，f(1)＝－3，f()＝1；

2222(2)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；

(3)A＝B＝{1,2,3}，f(x)＝2x－1；

(4)A＝B＝{x|x≥－1}，f(x)＝2x＋1；

(5)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1. 其中是从集合A到集合B的函数是________(填上你认为正确的所有序号)．

解析

由函数的定义判断知(1)(2)(4)(5)都是从集合A到集合B的函数，(3)中集合A中的元素3在集合B中没有元素与之对应，故不是函数．答案

(1)(2)(4)(5) 10．已知函数f(x)＝3－ax(a≠1)，若a＞0，则f(x)的定义域是________．

a－133解析

∵3－ax≥0，∴ax≤3，又a＞0，∴x≤.答案

(－∞，] aa11．已知函数f(x＋1)的定义域为[－2,3]，求函数y＝f(2x－1)的定义域．

解

∵f(x＋1)的定义域为[－2,3]，∴－2≤x≤3，－1≤x＋1≤4，

55∴f(x)的定义域是[－1,4]，由－1≤2x－1≤4，得0≤x≤，∴f(2x－1)的定义域是[0，]．

2212．已知函数f(x)＝2x－8的定义域是集合A，函数g(x)＝＝∅，求实数a的取值范围．

解

要使函数f(x)有意义，则2x－8≥0，解得x≥4，即A＝[4，＋∞)；要使函数g(x)有意义，则a－x＞0，解得x＜a，即B＝(－∞，a)，由A∩B＝∅，∴a≤4，即实数a的取值范围是(－∞，4]．

13．(创新拓展)已知f(x)＝2x＋34kx＋3.(1)若f(x)的定义域为R，求实数k的值；

3－2x的定义域是集合B，且A∩Ba－x(2)是否存在实数k，使得f(x)的定义域为(－∞，－2)，若存在，求出实数k的值，若不存在，说明理由．

解

(1)由题意可得，关于x的不等式4kx＋3＞0的解集为R，所以当k＝0时，3＞0恒成立；即实数k的值是0. 3(2)由题意可得，关于x的不等式4kx＋3＞0的解集为(－∞，－2)，所以k＜0，且－＝－2，4k3解得k＝，故不存在实数k，使得f(x)的定义域为(－∞，－2)．

8

6

2．1.1

函数的概念和图象

第1课时

函数的概念和定义域

【课标要求】

1．理解函数的概念；

2．了解构成函数的要素；

3．会求一些简单函数的定义域．

【核心扫描】

1．理解函数的概念，会求一些简单函数的定义域．(重点)

2．函数概念的理解．(难点)

自学导引

1．设A，B是两个

，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的

，在集合B中都有

的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为

．

2．在函数y＝f(x)，x∈A中，

组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域，

组成的集合C＝{f(x)|x∈A}叫做函数y＝f(x)的值域，且有C⊆B. 例题精讲

题型一

判断一个对应关系是否是函数

【例1】

由下列式子是否能确定y是x的函数？

(1)x2＋y2＝2；

(2)x－1＋y－1＝1；

(3)y＝x－2＋1－x. 【训练1】

判断下列对应是否为从集合A到集合B的函数：

1

(1)A＝R，B＝{0,1}，对应关系：f：x→y＝0

xx＜，；

(2)A＝B＝R，对应关系f：x→y＝±x；

1(3)A＝Z，B＝Q，对应关系f：x→y＝. x题型二

求函数的定义域

【例2】

求下列函数的定义域．

3(1)y＝2＋；

(2)y＝3－x·x－1；

(3)y＝(x－1)0＋x－2

x＋1【训练2】

求下面函数的定义域：(1)y＝2x＋3＋；

(2)f(x)＝x－1|x|－x

7

02. x＋1.

题型三

判断两个函数是否为相同函数

【例3】

(14分)判断下列各组函数是否表示相同的函数．

x(1)f(x)＝x2与g(x)＝(x)2；

(2)f(x)＝与g(x)＝1；

(3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1. x

x243【训练3】

下列函数：①f(x)＝；②f(x)＝(x)4；③f(x)＝|x|；④f(x)＝x3.其中与y＝x表x示相同函数的是________．

【示例】

已知函数f(x)的定义域为[1,4]，求f(2x＋1)的定义域．

8

课后检测作业

2.1.1.1函数的概念和定义域

双基达标

限时15分钟

11．对应f：x→，x∈R________(填“是”或“不是”)函数．

x2．设f：x→ax－1为从集合A到B的函数，若f(2)＝3，则f(3)＝________. 3．在对应法则：x→y，y＝|x|＋b，x∈R，y∈R中，若2→5，则－2→________，________→6.

4．函数y＝2－x＋x－2的定义域是________．

5．记函数f(x)＝3－x的定义域为A，则A∩N中有________个元素．

6．求下列函数的定义域：

(1)y＝3x－2；

(2)y＝2x－33＋9－x. 2x＋1

综合提高

限时30分钟

7．函数y＝f(x)的图象与直线x＝2的公共点有________个．

8．已知A＝{x|x＝n2，n∈N}，给出下列关系式：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x4；⑤f(x)＝x2＋1，其中能够表示函数f：A→A的是________(填上你认为所有正确的关系式序号)．

9．给出下列对应：

1313(1)A＝{，1，}，B＝{－6，－3,1}，f()＝－6，f(1)＝－3，f()＝1；

2222(2)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；

(3)A＝B＝{1,2,3}，f(x)＝2x－1；

(4)A＝B＝{x|x≥－1}，f(x)＝2x＋1；

(5)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1. 其中是从集合A到集合B的函数是________(填上你认为正确的所有序号)．

10．已知函数f(x)＝3－ax(a≠1)，若a＞0，则f(x)的定义域是________．

a－111．已知函数f(x＋1)的定义域为[－2,3]，求函数y＝f(2x－1)的定义域．

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12．已知函数f(x)＝2x－8的定义域是集合A，函数g(x)＝＝∅，求实数a的取值范围．

13．(创新拓展)已知f(x)＝2x＋34kx＋33－2x的定义域是集合B，且A∩Ba－x.(1)若f(x)的定义域为R，求实数k的值；

(2)是否存在实数k，使得f(x)的定义域为(－∞，－2)，若存在，求出实数k的值，若不存在，说明理由．

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