2.2.1 函数的单调性优秀公开课教案

§2.2

函数的单调性与最值

最新考纲

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

考情考向分析

以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数

减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的定义

任意两个自变量的值x1，x2

当x1f(x2)，那么就就说函数f(x)在区间D上是增函数

说函数f(x)在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提

条件

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

自左向右看图象是下降的

结论

知识拓展

函数单调性的常用结论

M为最大值

M为最小值

fx1－fx2fx1－fx2(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，>0⇔f(x)在D上是增函数，<0⇔f(x)在D上是x1－x2x1－x2减函数．

a(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为[－a，0)和(0，xa]．

(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．

题组一

思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)

×

) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(

×

) 1(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(

×

) x(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．(

√

) 题组二

教材改编

2．[P39B组T1]函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是____________．

答案

[1，＋∞)(或(1，＋∞)) 23．[P31例4]函数y＝在[2,3]上的最大值是________．

x－1答案

2 4．[P44A组T9]若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．

答案

(－∞，2] 解析

由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2. 题组三

易错自纠

5．函数y＝log1(x24)的单调递减区间为________．

2答案

(2，＋∞) 6．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[3，＋∞)，则a的值为________．

答案

－6 aa－，＋∞，令－＝3，得a＝－6. 解析

由图象(图略)易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是221x，x≥1，7．函数f(x)＝的最大值为________．

2－x＋2，x＜1答案

2 1解析

当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1x时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.

题型一

确定函数的单调性(区间)

命题点1

给出具体解析式的函数的单调性

典例

(1)(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(

) A．(－∞，－2)

C．(1，＋∞)

答案

D 解析

由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2. 设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．

要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．

∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，

∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．

故选D. (2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．

答案

[－1,0]，[1，＋∞) 解析

由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，

二次函数的图象如图．

B．(－∞，1) D．(4，＋∞)

由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．

命题点2

解析式含参数的函数的单调性

1典例

判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在[1,2]上的单调性．

x1解

函数f(x)＝ax2＋(1

x证明：设1≤x1＜x2≤2，则

112f(x2)－f(x1)＝ax22＋－ax1－

x2x11ax1＋x2－＝(x2－x1)x1x2，

由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0,2＜x1＋x2＜4，

111＜x1x2＜4，－1＜－＜－. x1x24又因为1＜a＜3，

所以2＜a(x1＋x2)＜12，

1得a(x1＋x2)－＞0，

x1x2从而f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，

故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．

引申探究

如何用导数法求解本例？

312ax－1解

因为f′(x)＝2ax－2＝，

xx2因为1≤x≤2，∴1≤x3≤8，

又1＜a＜3，

所以2ax3－1＞0，

所以f′(x)＞0，

1所以函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在[1,2]上是增函数．

x思维升华

确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．

2x跟踪训练

(1)(2017·郑州模拟)函数y＝()1323x1的单调递增区间为(

) A．(1，＋∞)

3－∞，

B.4

1，＋∞

C.2答案

B 3，＋∞

D.41t2－∞，3. 解析

易知函数y＝为减函数，t＝2x－3x＋1的单调递减区间为43∴函数y＝()2x1323x13－∞，. 的单调递增区间是4(2)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(

) A．[1,2]

C．(0,2]

答案

A 2x－2x，x≥2，解析

由题意得，f(x)＝2

－x＋2x，x<2，B．[－1,0] D．[2，＋∞)

当x≥2时，[2，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间；

当x<2时，(－∞，1]是函数f(x)的单调递增区间，

[1,2]是函数f(x)的单调递减区间．

题型二

函数的最值

1x1．函数f(x)＝3－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．

答案

3 1x解析

由于y＝3在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3. x，x≤1，2．已知函数f(x)＝6则f(x)的最小值是________．

x＋－6，x＞1，x答案

26－6 解析

当x≤1时，f(x)min＝0，当x＞1时，f(x)min＝26－6，当且仅当x＝6时取到最小值，又26－6＜0，所以f(x)min＝26－6. 3．(2017·浙江)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(

) A．与a有关，且与b有关

B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关

D．与a无关，但与b有关

答案

B 解析

方法一

设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点，

2

2则m＝x21＋ax1＋b，M＝x2＋ax2＋b. 2∴M－m＝x2－x21＋a(x2－x1)，

显然此值与a有关，与b无关．

故选B. 方法二

由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故与b无关．随着a的变动，相当于图象左右移动，则M－m的值在变化，故与a有关，故选B. 思维升华

求函数最值的五种常用方法及其思路

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．

(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．

(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．

题型三

函数单调性的应用

命题点1

比较大小

典例

已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x21－，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(

) －x1)<0恒成立，设a＝f2A．c>a>b

B．c>b>a

C．a>c>b

D．b>a>c

答案

D 解析

根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a155－＝f，且2<<3，所以b>a>c. ＝f222命题点2

解函数不等式

典例

若f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是(

) A．(8，＋∞)

C．[8,9]

答案

B 解析

2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，

由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，

B．(8,9] D．(0,8)

因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，

x>0，所以有x－8>0，解得8

求参数范围

x－5典例

(1)(2018·郑州模拟)函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(

) x－a－2A．a＝－3

C．a≤－3

B．a＜3 D．a≥－3

3a－1x＋4a，x＜1，(2)已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是(

) logx，x≥1a

A．(0,1)

11C.7，3

答案

(1)C

(2)C 10，

B.31D.7，1

x－a－2＋a－3a－3解析

(1)y＝＝1＋，

x－a－2x－a－2a－3＜0，由题意知得a≤－3. a＋2≤－1，

∴a的取值范围是a≤－3. 3a－1＜0，(2)由f(x)是减函数，得0＜a＜1.3a－1×1＋4a≥loga1，11∴≤a＜，

7311∴a的取值范围是7，3. 思维升华

函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

(1)比较大小．

(2)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．

(3)利用单调性求参数．

①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；

②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；

③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．

跟踪训练

(1)已知函数f(x)＝x|2x－a|(a>0)在区间[2,4]上单调递减，则实数a的值是________．

答案

8 解析

f(x)＝x|2x－a|＝a－x2x－a，x≤2ax2x－a，x>，2

(a>0)，

≤2，4aa，，所以作出函数图象(图略)可得该函数的单调递减区间是42a2≥4，a

解得a＝8. 1(2)(2017·珠海模拟)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f2＝0，则不等式f(log1x)>0的解集为________________．

910

答案

x3

11－＝－f＝0，

解析

由题意知，f22f(x)在(－∞，0)上也单调递增．

1－1，

logx∴f(log1x)＞f或f()＞f1229911∴log1x＞或－＜log1x＜0，

22991解得0＜x＜或1＜x＜3. 310

1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(

) A．y＝x＋1

C．y＝2x

－B．y＝(x－1)2

D．y＝log0.5(x＋1) 答案

A 解析

函数y＝x＋1的增区间是(－1，＋∞)，在(0，＋∞)上为增函数，故选A.

2．(2017·河南中原名校第一次质检)函数y＝log1(x2x6)的单调递增区间为(

) 21A.2，3

1，＋∞

C.2答案

A 1－2，

B.21－∞，

D.2解析

由－x2＋x＋6＞0，得－2＜x＜3，故函数的定义域为(－2,3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝log1t，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋62在(－2,3)上的单调递减区间．

1利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2,3)上的单调递减区间为2，3，故选A. log2x，x≥1，3．已知函数f(x)＝则“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的(

) x＋c，x<1，

A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A 解析

若函数f(x)在R上递增，

则需log21≥c＋1，即c≤－1. B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

由于c＝－1，即c≤－1，但c≤－1不能得出c＝－1，

所以“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的充分不必要条件．

4．已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上是增函数，则实数a的取值范围是(

) A．(0,1]

C．[1，＋∞)

答案

C 解析

要使y＝log2(ax－1)在(1,2)上是增函数，则a>0且a－1≥0，即a≥1. 1log2，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，5．(2017·天津)已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f5则a，b，c的大小关系为(

) A．a

C．c

答案

C 解析

∵f(x)在R上是奇函数，

11log2＝f－log2＝f(log25)．

∴a＝－f55B．b

D．c

B．[1,2] D．[2，＋∞)

又f(x)在R上是增函数，

且log25＞log24.1＞log24＝2＞20.8，

∴f(log25)＞f(log24.1)＞f(20.8)，∴a＞b＞c. 故选C. x－a，x≤0，6．设f(x)＝1若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(

) x＋＋a，x＞0.xA．[－1,2]

C．[1,2]

答案

D 1解析

∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0.当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2x＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，∴a的取值范围是0≤a≤2.故选D. 7．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为________．

答案

[3，＋∞) 解析

设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．

所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．

1，x>0，8．设函数f(x)＝0，x＝0，－1，x<0，答案

[0,1) x，x>1，解析

由题意知g(x)＝0，x＝1，－x2，x<1，22

B．[－1,0] D．[0,2]

g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．

函数g(x)的图象如图所示，其单调递减区间为[0,1)．

2－x＋4x，x≤4，9．(2017·潍坊模拟)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递logx，x＞4.2

增，则实数a的取值范围是________．

答案

(－∞，1]∪[4，＋∞) 解析

作函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，

即a≤1或a≥4.

1x2＋2a－2，x≤1，10．已知函数f(x)＝若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范ax－a，x>1，围为________．

答案

(1,2] 1解析

由题意，得12＋a－2≤0，则a≤2，又y＝ax－a

(x>1)是增函数，故a>1，所以a的2取值范围为1

x－a(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；

(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．

(1)证明

设x1＜x2＜－2，

2x1－x2x1x2则f(x1)－f(x2)＝－＝. x1＋2x2＋2x1＋2x2＋2因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，

所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．

(2)解

设1＜x1＜x2，

x1x2则f(x1)－f(x2)＝－

x1－ax2－a＝ax2－x1. x1－ax2－a

因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，

所以a≤1.综上所述，0＜a≤1. 12．函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．

ax－2－2a＋2，

解

f(x)＝42

a①当≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数．

2∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2. 由a2－2a＋2＝3，得a＝1±2. ∵a≤0，∴a＝1－2. a②当0<<2，即0

2af(x)min＝f2＝－2a＋2. 1由－2a＋2＝3，得a＝－∉(0,4)，舍去．

2a③当≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数，

2f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18. 由a2－10a＋18＝3，得a＝5±10. ∵a≥4，∴a＝5＋10. 综上所述，a＝1－2或a＝5＋10.

fx13．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)x上一定(

) A．有最小值

C．是减函数

答案

D a解析

由题意知a<1，又函数g(x)＝x＋－2a在(|a|，＋∞)上为增函数，故选D. x2x－4x＋3，x≤0，14．已知f(x)＝2不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数－x－2x＋3，x>0，B．有最大值

D．是增函数

a的取值范围是____________．

答案

(－∞，－2) 解析

二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，

∴该函数在(－∞，0]上单调递减，

∴x2－4x＋3≥3，同样可知函数y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减，

∴－x2－2x＋3<3，∴f(x)在R上单调递减，

∴由f(x＋a)>f(2a－x)得到x＋a<2a－x，

即2x

∴2(a＋1)

∴实数a的取值范围是(－∞，－2)．

15．函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1

x11＋f1＝________. ①f(0)＝0；②f＝f(x)；③f(1－x)＝1－f(x)．则f32383答案

4111解析

由①③，令x＝0，可得f(1)＝1.由②，令x＝1，可得f＝f(1)＝. 32211111令x＝，可得f9＝2f3＝4. 3112＝1，

由③结合f＝，可知f323221212令x＝，可得f9＝2f3＝4，

3112因为<<且函数f(x)在[0,1]上为非减函数，

98911所以f8＝4，

113所以f3＋f8＝4. ax＋－2，其中a是大于0的常数．

16．(2018·石家庄模拟)已知函数f(x)＝lgx(1)求函数f(x)的定义域；

(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；

(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．

x2－2x＋aa解

(1)由x＋－2>0，得>0，

xx当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，

定义域为(0，＋∞)；

当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；

当01＋1－a}．

a(2)设g(x)＝x＋－2，

x当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，

2ax－ag′(x)＝1－2＝2>0恒成立，

xx

a所以g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函数．

xax＋－2在[2，＋∞)上是增函数．

所以f(x)＝lgxaax＋－2在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg. 所以f(x)＝lgx2a(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．

x所以a>3x－x2，

令h(x)＝3x－x2，

39x－2＋在[2，＋∞)上是减函数，

而h(x)＝3x－x2＝－24所以h(x)max＝h(2)＝2，

所以a>2.