平方差公式的应用特级教师教学实录

教 案

平方差公式

安乐中学 商斌

一、课题说明

北师大版数学七年级（下）第一章“整式的运算”第7节.从多项式乘法到乘法公式是从一般到特殊的认识过程的范例.把具有特殊形式的多项式相乘连同结果写成公式的形式，就是乘法公式.平方差公式是学生学习的第一个乘法公式，引导学生观察、分析公式的结构特征，理解公式中字母的广泛意义，正确运用公式进行计算，将对后继公式的学习有着知识与方法的迁移. 二、教学目标

1、经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力. 2、会推导平方差公式，能用公式进行简单的计算. 3、了解平方差公式的几何背景，培养良好的学习情感. 三、教学重点

平方差公式的应用. 四、教学难点

（1）学生原有的认知结构是影响学习新知识的重要因素.对于数学公式，他们能说出诸如三角形面积S=1/2ah，路程S=vt……，并且知道前者是用来计算面积，后者是算路程的，学习公式的目的很明确.但对于平方差公式（a+b）（a-b）= a2-b2，引入是为了简化多项式乘法，没有这种认识之前，学生对左右两边都是多项式的“公式”还不认可，这会增加教学的困难. （2）数学公式都有其产生的背景、引入的目的、形成的过程和自身的结构特征，这些教材上是无法一一阐述的.我们教学时往往不去刻意创设学习情景，营造公式产生的氛围，引导学生经历公式的探索过程，而是照本宣科，生搬硬套，过

于直接的教学不利于化解难点. （3）数学公式中字母的高度概括性、广泛应用性及换元思想的渗透，对七年级学生的思维水平还难适应，（a+b）（a-b）= a2-b2；（1+2x）（1-2x）= 1-4x2；（-4a-1）（4a-1）=1-16a2 都是用平方差公式，102×98也能用平方差公式，使得习惯于机械模仿和解题程序化的学生思维受阻，造成困难. 五、教与学的过程

（一）经历探索过程，表述你的发现

1、自学“做一做”：用学过的知识计算下列题目：

(1) (x+2) (x-2)

(2) (1+3a) (1-3a)

(3) (x+5y) (x-5y)

(4) (y+3z) (y-3z) 与你以往计算结果有什么不同？你发现有什么规律吗？用自己的语言试着说给同组的同学听. 2、任选两个二项式相乘，积在合并同类项以后会有几项?请举例说明.怎样的两个二项式相乘，积恰好也是二项?为什么会这样？积又有什么特征

(当乘式恰是两个数之和以及这两个数之差时，积就是二项式.这是因为具备这种形式的两个二项式相乘，积的四个项中出现互为相反数的两项，合并后只剩两项，积的特征是乘式中这两个数的平方差.) 3、教师点拨.某些特殊形式的多项式相乘，我们需把它写成公式，以便遇到类似形式的多项式相乘时能直接运用公式写出结果，简化中间计算过程.例(a+b)(a-b)＝a2-b2，在多项式运算中应用非常广泛，用起来非常便捷，我们把它记做公式，叫乘法的平方差公式

（两数和与这两数差的积，4、请用语言叙述平方差公式，并与课本对照等于他们的平方差.）

（二）直接运用公式计算，体会a、b含义.

例1利用平方差公式计算：

①(5 +6 x) (5-6x) ；

②(x-2y ) (x+2y) ；

③(-m+n) (-m-n) 例2利用平方差公式计算：

①（-1/4x-y ) (-1/4x+y) ；

②(ab+8) (ab-8) ；

③（m+n）（m-n）+3n2 教师教学例1例2时，先引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生读出本题中谁代表公式中的a，谁代表b，然后让学生独立做完，再与课本解题过程对正，不明白的地方请教组长.例2 ①（-1/4x-y ) (-1/4x+y) 学生会有两种解法，一是先提负号使两乘式首项为正，随后看出是两数和与这两数差相乘的形式，再用平方差公式写出结果；二是把-1/4a看成一个数a，把y看成另一个数b，直接用平方差公式写出结果.教师指出两种解法都很正确，解法2直接抓住平方差公式的特征，运算简捷. （三）完成随堂问题，进行联系拓广. 随堂练习与知识技能是例题的巩固，让学生独立完成一半题目.联系拓广（1）需正确识别an代表a，（2）两次用公式，经点拨学生也能会做.在此基础上可补充以下两题，让学有余力的学生选做. (1)(x＋y－z)(x＋y＋z)；

(2)(a－b＋c)(a＋b＋c)．

（四）操作拼图游戏

，引导验证公式. 如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形（图1）.

1.请表示图中阴影部分的面积. 2.小颖将阴影部分拼成了一个长方形（图2），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？

3.比较1、2的结果，你能验证平方差公式吗? （1、S= a2-b2，2、 S = (a+b)(a-b) ，3、 a2-b2 = (a+b)(a-b) .通过以上操作、观察总结，使学生了解平方差公式的几何解释，从另一角度说明平方差公式的合理性.）

（五）变式迁移，发展思维水平. 学生完成“想一想”，并与学伴交流. 由易到难的三组题目，每组对比着计算，“规律”会在学生头脑中渐渐清晰：79=80-1，81=80+1，79×81=（80-1）（80+1）=802-1，从而简化运算.如果还有学生看不出规律或者意识不到总结规律的必要，教师可增加题组并提高难度，例1007×993，“逼”他们找规律，用简法.至于用字母表示这一规律（a-1）（a+1）= a2-1，且利用平方差公式证明是不难做到的.这样由特例进行归纳、建立猜想、用符号表示、给出证明，让学生经历这一重要的数学探索过程，认识总结数学规律的一种模式，是非常有价值的. 学生按照例题格式完成例3、例4以及随堂练习. （六） 谈收获，形成知识网络. 1、 用文字和符号叙述平方差公式.

2、 公式中的字母a、b可以是数字、单项式、多项式等. 3、公式的结构特征：左边是两个乘式都是二项式，它们分别是两个数的和与这两个数的差；右边的积是乘式中两个数的平方差. （七）当堂完成作业，验收学习效果. 习题1.11，1.12知识技能和问题解决选做1/2，教师批改学习组长，组长再批改其他同学，并给有问题的同学讲解. 六、设计特色

1、提供丰富的题组，引导学生观察、猜想、归纳、抽象等，经历数学公式的生成过程. 2、自主学习、当堂达标，学生通过自学、与学伴交流及优生帮教获得知识、发展能力，课堂效率高，课下负担轻.