单项式乘以单项式教案2

4

整式的乘法

1.经历探索整式乘法运算法则的过程,会进行简单的整式乘法运算.

2.理解整式乘法运算的算理,体会乘法分配律的利用和转化思想.

由实例引入整式乘法运算,让学生体会整式乘法运算的必要性,探索整式乘法运算的法则,并会应用.

将单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘转化为单项式与单项式相乘,渗透事物间相互联系的观点,同时通过整式乘法的运算,进一步培养学生耐心、细致的学习习惯.

【重点】

整式乘法运算.

【难点】

整式乘法运算.

第课时

1.经历探索单项式乘法法则的过程,理解单项式乘法法则.

2.能够熟练进行单项式乘法的计算.

在探索单项式乘法的运算法则的过程中,发展学生的观察、猜测、归纳、验证等能力.

体验探究数学问题的过程,体验转化的思想方法,获得成功的体验.

【重点】

单项式与单项式相乘的运算法则及其应用.

【难点】

灵活地进行单项式与单项式相乘的运算.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P14~15.

导入一:

[过渡语]

同学们一定玩过拼图游戏吧,下面是由九块长为a cm,宽为b cm的小长方形拼成的一幅画,若不计每个小块间的空隙,谁能快速计算出这幅画的面积呢?

[处理方式]

学生独立思考,教师指导,容易得到拼成的大长方形的长和宽分别是3a和3b,然后计算面积为3a·3b.

想一想,3a·3b的计算和我们学过的什么知识有关?

[设计意图]

通过拼图游戏,激发学生学习兴趣,引出了单项式乘法,使学生体会到数学知识来源于生活,点明本节课课题,使学生充分感受数形结合思想.

导入二:

[过渡语]

上学期我们学习了整式的相关概念,其实整式的运算和数的运算是一样的.下面我们先来看看生活中有关整式的运算.

京京用两张同样大小的纸,精心制作了两幅画.如下图所示,第一幅画的画面大小与纸的大小相同,第二幅画的画面在纸的上、下方各留有x m的空白.

(1)第一幅画的画面面积是多少平方米?第二幅呢?你是怎样做的?

(2)若把图中的1.2x改为mx,其他不变,则两幅画的面积又该怎样表示呢?

[处理方式]

认真观察两幅图,思考面积的表示方法.教师参与学生的活动,帮助学生完成面积的表示.

解:(1)第一幅画的画面的长、宽分别为1.2x

m、x

m,所以它的面积是x·1.2x米;第二幅画的画面的长、2宽分别为1.2x m, m,即x m,所以它的面积是x·1.2x米.

222(2)如果用mx来代替1.2x,就可得第一幅画的画面面积是x·mx米;第二幅画的画面面积是mx·x米.

【思考】

怎样进一步计算x·mx及mx·x呢?

师:从这节课开始我们就来研究整式的乘法,我们先来学习单项式与单项式相乘.

[设计意图]

通过实际生活中的例子让学生由求图形面积的列式,发现表示图形面积的式子是两个单项式的积,目的是培养学生的自主发现及解决问题的能力,养成良好的学习习惯,从而引出本节课要学习的内容.

探究活动1

单项式与单项式相乘

思路一

计算:3a·3b=

.

[处理方式]

先让学生计算,然后根据自己的求解过程尝试回答.

师:通过3a·3b=9ab的运算,大家研究一下单项式乘单项式的法则.

生1:这里3a的3和a之间是乘法运算,同样3b的3和b之间也是乘法运算.

生2:3a与3b之间也是乘法运算.

生3:乘法不是有交换律和结合律吗,数字3和数字3相乘,字母a和字母b相乘,很简单.

师:总结得很好,那么如果遇到mx·x这样的式子,需要怎么运算?

生1:数字与数字相乘,同底数幂与同底数幂相乘.

生2:同底数幂相乘时要运用同底数幂的法则运算,然后所有幂和数字相乘,mx·x=m·x·x=mx.

2归纳法则:

单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式.

[设计意图]

学生运用乘法交换律、结合律等知识探索单项式乘单项式的运算法则,并理解运算法则及其探索过程,而不仅仅是背法则,使学习知识的过程同时成为提高学生分析和解决问题能力的过程.

思路二

[过渡语]

同学们仔细想一想,如何利用学过的知识来探究单项式与单项式相乘的运算?

1.课件展示导入二的情境图和问题.

x·mx=

.

mx·x=

.

[处理方式]

学生分组合作,讨论交流,教师巡视过程中观察学生完成的情况,帮助有困难的学生解决问题.对于解决思路比较好的学生给予鼓励.

教师展示解题过程,让学生对照自己的做法,加以对比,并说出做题的依据.

解:x·mx

=m·(x·x)——乘法交换律、结合律

2=mx.——同底数幂乘法运算性质

mx·x

=2·(x·x)——乘法交换律、结合律

=mx.——同底数幂乘法运算性质

议一议:如何进行单项式乘单项式的运算?

[处理方式]

小组之间合作探究,然后教师归纳总结.

(1)单项式乘单项式,系数相乘,相同字母的幂分别相乘.

(2)单独的字母连同它的指数不变,作为积的因式.

2.师生共同归纳.

(板书)单项式与单项式相乘的步骤:

(1)系数相乘;

(2)相同字母的幂相乘;

(3)其余字母连同它的指数不变,作为积的因式.

[设计意图]

互动环节让学生经历知识的形成过程,在互动中发现规律,获得真知,体验和分享学习的乐趣,提升基本技能和分析能力.

3.试一试.

233ab·2ab

23=(3×2)·(a·a)·(b·b)(系数与系数、相同字母的幂分别相乘)

34=6ab(同底数幂乘法运算性质).

探究活动2

法则应用

(教材例1)计算.

(1)2xy·xy;

2(2)- 2ab·(- 3a);

22(3)7xyz·(2xyz).

[处理方式]

学生独立解决,教师深入到学生之中进行观察,对于发现的问题进行指导,让学生及时纠正.找三位同学到黑板上板书,展示刚才的学习成果.

展示成果:

23

解:(1)原式=23·(x·x)·(y·y)

2=xy.

23(2)原式=[(- 2)×(- 3)]·(a·a)·b

33=6ab.

2222(3)原式=7xyz·4xyz

2222=(7×4)·(x·x)·(y·y)·(z·z)

343=28xyz.

[设计意图]

设计例题的主要目的是让学生体会单项式的乘法法则,第(1)小题纯粹是体会法则;第(2)小题是提醒学生注意系数是负数时,计算时要注意符号,书写时要注意加括号,还要注意单独的幂不要漏掉;第(3)小题应注意运算顺序,不要直接相乘,因为这里的后一项还有积的乘方的运算,要先进行.

计算.

(1)(- 5ab)·(- 2a);

234(2)2a·(- 2a)+(2a)·5a.

[处理方式]

学生独立完成后,交流解题情况,教师巡视指导,规范书写格式,并及时引导学生完成练习.

222+24解:(1)(- 5ab)·(- 2a)=(- 5)·(- 2)ab=10ab.

2342355(2)2a·(- 2a)+(2a)·5a=2a·(- 8a)+10a=- 6a.

[设计意图]

在应用法则的过程中,引导学生进行解题后的反思,进一步体会整式乘法法则,起到巩固练习和规范解题过程的作用.这些将促使学生知识水平和能力水平的同时提高.

[知识拓展]

1.对于只在一个单项式里出现的字母,不要把这个因式丢掉,要连同它的指数一起写在积的因式里.

2.单项式的乘法法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用.

3.单项式乘单项式的结果仍是一个单项式.

22

1.单项式乘单项式的原理是乘法的交换律和结合律.

2.单项式乘单项式的法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式.

3.单项式乘单项式的注意事项:

(1)对于只在一个单项式里出现的字母,不要把这个因式丢掉,要连同它的指数一起写在积的因式里.

(2)单项式的乘法法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用.

(3)单项式乘单项式的结果仍是一个单项式.

1.计算(2a)·a的结果是

(

)

237A.3a B.4a

C.a D.4a

解析:(2a)·a=8a·a=4a.故选B. 23677762.若(

)×3xy=3xy,则(

)中应填的单项式是(

)

A.xy

B.3xy

C.x

D.3x

解析:将选项中单项式分别代入,只有C选项符合.故选C. 2323.计算:3ab·2ab=

.

2324444解析:3ab·2ab=6ab.故填6ab.

4.如果单项式- 3xy与- xy2n322n33n- 2m2是同类项,则这两个单项式的积是

.

是同类项,所以2n=2,且3=3n- 2m,解得n=1,m=0,所以单项式- 3xy23解析:因为单项式- 3xy与- xy23n- 2m与- xy的积是5xy.故填5xy.

2346465.下面的计算对不对?如果不对,应怎样改正?

(1)4a·2a=8a;

448(2)2x·3x=6x;

222(3)3x·4x=12x;

3412(4)3y·4y=12y.

解析:根据单项式乘单项式的法则进行判断.

5解:(1)不对,原式=8a.

(2)对.

4(3)不对,原式=12x.

7(4)不对,原式=12y.

234236.计算:(- xyz)·(- xy).

23423解:(- xyz)·(- xy)

481263=xyz·(- xy)

101112=- xyz.

326

探究活动1

单项式与单项式相乘

探究活动2

法则应用

例1 例2 第1课时

一、教材作业

【必做题】

教材第15页习题1.6知识技能第1题.

【选做题】

教材第15页习题1.6问题解决第2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下面计算错误的是

(

)

325A.3a·(- 2a)=- 6a

224B.(3a)·2a=18a

326C.3a·2a=6a

224D.(- 3a)·(- 2a)=6a

322.计算2x·x的结果等于

(

)

256A.2 B.x C.2x

D.2x

23.计算:(- 2.5x)·(- 4x).

【能力提升】

4.(聊城中考改编)下列运算正确的是

(

)

235A.a+a=a

326B.(- a)=a

2222C.ab·3ab=3ab

326D.- 2a·a=- 2a

m+1n+12n2m535.若ab·ab=ab,则m+n的值为多少?

【拓展探究】

6.已知x=4,y=- ,求代数式xy·14(xy)·x的值.

225【答案与解析】

3252243251.C(解析:选项A中3a·(- 2a)=- 6a,结果正确;选项B中(3a)·2a=18a,结果正确;选项C中3a·2a=6a,224结果错误;选项D中(- 3a)·(- 2a)=6a,结果正确.故选C.)

3252.C(解析:2x·x=2x.故选C.)

2333.解:(- 2.5x)·(- 4x)=(- 2.5)×(- 4)×x=10x.

4.B(解析:A.a与a不是同类项,不能合并,故本选项错误;B.(- a)=a,正确;C.应为ab·3ab=3ab,故本选项错325误;D.应为- 2a·a=- 2a,故本选项错误.故选B.)

m+1n+12n2mm+1+2nn+1+2m5.解:因为ab·ab=ab=a5b3,所以m+2n+1=5,2m+n+1=3,所以m+2n=4,①

2m+n=2,②

由①+②得3m+3n=6,则m+n=2.

2332622336.解:xy·14(xy)·x=225·(x·x·x)·(y·y)=xy,当x=4,y=- 时,xy=(xy)·x=×2522848444×4=8.

4

根据乘法交换律和结合律得到单项式乘单项式法则的内容,通过类比的思想方法,由数的运算引出式的运算规律,体现了数学知识间具体与抽象、从特殊到一般的内在联系,符合学生的认知规律,并在得出结论的过程中,与学生一起探讨,注重学生的参与,从课堂上做习题的情况来看,学生掌握的比较好.整堂课中学生参与性较强,气氛活跃,知识落实到位.

在整个教学过程中,部分学生对于符号不能正确做出判断,主要是漏掉括号或者去括号错误;还有的学生对混合运算中符号及各种运算法则混淆不清,运用还不够熟练.对这些问题的解决除了加强基本法则运用之外,还应对于综合题目多加练习,以达到巩固提高的目的.

教学中要多尊重学生的个体差异,尊重学生在展示过程中所表现出的不同水平,对学习有困难的学生,教师要给予及时的关照和帮助,尽量给他们以发言的机会,鼓励他们主动参与学习,发表看法,要肯定他们的点滴进步,以增强他们的兴趣和信心,而不能每次都由优等生进行总结.

随堂练习(教材第15页)

53233751035解:(1)10xy.

(2)12ab.

(3)6ab.

(4)2yz.

(5)- 32xy.

(6)2abc.

习题1.6(教材第15页)

知识技能

1.解:(1)- 8xy.

(2)abc.

(3)2xy.

(4)xyz.

(5)xyz.

(6)- 2abc.

问题解决

22.解:(1)4y·2x+x(4y- 2y)+y·(4x- 2x- x)=11xy(m).a·11xy=11axy(元).

(2)[2(2x+4y)+2(4x- 22x+2y)]h=(8x+12y)·h(m).b·(8hx+12hy)=(8x+12y)bh(元).

24464334753845

计算:(- 2xy2z3)2·(- x2y)3.

〔解析〕

在进行单项式乘单项式的运算时,如果单项式是乘方的形式,首先要算出结果,然后再进行单项式的乘法运算.

23223解:(- 2xyz)·(- xy)

24663=4xyz·(- xy)

26436=4×(- 1)·(x·x)·(y·y)·z

876=- 4xyz.

第课时

1.通过探索单项式与多项式相乘的运算法则的过程,在具体情境中了解单项式与多项式相乘的意义,理解运算法则.

2.会利用法则进行单项式与多项式的乘法运算.

理解单项式乘多项式运算的算理,发展学生有条理的思考能力和语言表达能力.

在探索单项式与多项式乘法运算法则的过程中获得成就感,激发学习数学的兴趣.

【重点】

单项式与多项式相乘的运算法则及其应用.

【难点】

灵活运用单项式与多项式相乘的运算法则.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P16~17.

导入一:

[过渡语]

上节课我们学习了单项式乘单项式,哪位同学能举例说明它是怎样计算的?

[处理方式]

先想一想,同桌间互相说一说单项式与单项式相乘的法则:把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式.

问题1 计算.

2232(1)- m·m;

(2)(xy)·xy;

362(3)(- 2ab)·(- 6abc);

(4)2xy·3yx.

[处理方式]

学生独立在练习本上写出解题过程,教师巡视过程中帮助有困难的学生,找部分学生板书解题过程.

4454723解:(1)- m.

(2)xy.

(3)12abc.

(4)6xy.

问题2 本章我们学习的内容是整式的乘除,整式包括什么?

(1)单项式和多项式统称整式.

(2)几个单项式的和叫做多项式,整式乘法除了单项式乘单项式外,还应该有单项式乘多项式和多项式乘多项式.

问题3 京京精心制作的两幅画我们上节课已欣赏过.宁宁不甘落后,也制作了一幅画(教师课件展示),所用纸的大小与京京的相同,她在纸的左右两边各留了x m的空白,这幅画的画面面积是多少?

[处理方式]

学生在练习本上表示这幅画的面积,教师巡视,发现学生的不同表示方法.几位学生展示自己的结果并说明自己的思考方法.

生1:面积为x生2:面积为【思考】

如何计算x·平方米;

平方米.

呢?

导入二:

这就是我们这节课要研究的单项式与多项式相乘的问题.

[设计意图]

利用上节课学习过的知识学生很容易得到答案,激发学生学习兴趣.

[过渡语]

上节课我们学习了单项式与单项式相乘.请同学们利用学过的法则完成下面的题目.

1.计算.

(1)3ab·2abc·abc;

22(2)·(- 2mn).

24[处理方式]

首先引导学生回忆单项式乘单项式的运算法则,然后让两学生板书,其余学生在练习本上完成,小组交流,发现问题,师生共同纠正.

2.写一个多项式,并说明它的次数和项数.

(m+n- p的次数为一次,项数为三项)

3.师:整式包括什么?

生:单项式和多项式.

师:整式的乘法,上一节课学习了其中的一部分——单项式与单项式相乘.整式的乘法还应包括哪些内容呢?

生:单项式与多项式相乘及多项式与多项式相乘.

师:我们这节课就接着来学习整式的乘法中单项式与多项式相乘.

[设计意图]

单项式乘多项式最终转化为单项式乘单项式,所以帮助学生理解单项式与多项式的联系非常重要.问题的设计是让学生从宏观上把握所学知识间的关系,不仅回顾了上节课所学知识,而且自然地复习了有关多项式的知识,为本节课的学习奠定了基础.

探究活动1

单项式乘多项式的运算法则

思路一

结合图片,由导入一的问题3回答下列问题:

(1)画面的面积有几种表达形式?它们之间有什么关系?

(2)你能用学过的有关性质说明上面等式成立的原因吗?

2(3)ab·(abc+2x)和c·(m+n- p)等于什么?你是怎样计算的?

(4)如何进行单项式与多项式相乘的运算?

[处理方式]

(1)先让学生通过不同的计算方式,得到x=mx- x这个等式.

22(2)用乘法分配律、同底数幂的乘法性质说明其成立的原因.在这里要注意面积相等法的渗透.

2222(3)通过探究ab·(abc+2x)=ab·abc+ab·2x和c·(m+n- p)=c·m+c·n- c·p的结果,让学生进一步明确单项式乘多项式的实质就是应用乘法分配律进行计算,并由学生总结得到法则.

(4)用单项式分别去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.

[设计意图]

从实际问题出发,学生通过同一面积的不同表达方式,得到x=mx- x这个等式,22然后再通过乘法分配律验证这一等式,从而很自然地得出单项式乘多项式的法则.在这里重要的是能够理解运算法则及其探索过程,体会运用乘法分配律将单项式乘多项式转化为上节课学习的单项式乘单项式,不必要求学生背诵法则.

思路二

问题1 2你能运用乘法分配律计算ab·(abc+2x)及c·(m+n- p)吗?你是怎样计算的?说明每一步的理由.

解:ab·(abc+2x)

=ab·abc+ab·2x(乘法分配律)

22=abc+2xab(单项式乘法的运算法则).

c2·(m+n- p)

222=c·m+c·n- c·p(乘法分配律).

问题2 根据上面的分析,你能用语言来描述如何进行单项式与多项式相乘的运算吗?

[处理方式]

要求学生先独立思考,再在小组内交流,之后全班交流.

展示交流成果:

(1)单项式与多项式相乘,就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.

(2)单项式与多项式相乘,就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘,这样新知识就转化成了我们学过的知识.

[设计意图]

设置问题是让学生获得更充分的体验,为下面顺利归纳单项式与多项式的乘法法则铺平道路.多数学生明白怎么做,但是组织语言时不够简练,只要意思正确,教师都应加以肯定,再鼓励他们不断精炼语言,最后总结出单项式乘多项式的法则.

探究活动2

单项式乘多项式法则的应用

呢?

[过渡语]

同学们通过自己的探索得出单项式与多项式相乘的法则,那么大家能不能用法则来解决问题

(教材例2)计算.

(1)2ab(5ab+3ab);

22(2)22·ab;

(3)5mn(2n+3m- n);

223(4)2(x+yz+xyz)·xyz.

[处理方式]

教师示范性板书(1)(2)两题,其余两题学生独立尝试完成,教师巡视批阅,根据巡视批阅中发现的问题,有针对性地讲解,并分析产生错误的原因.

教师示范性板书:

22解:(1)2ab(5ab+3ab)

22=2ab·5ab+2ab·3ab——单项式乘多项式法则

2332=10ab+6ab.——单项式乘法的运算法则

(2)2·ab

=ab·ab+(- 2ab)·ab——单项式乘多项式法则

=ab+(- ab)——单项式乘法的运算法则

2322=ab- ab.

展示学生解题过程:

22(3)5mn(2n+3m- n)

2222=5mn·2n+5mn·3m+5mn·(- n)

22323=10mn+15mn- 5mn.

223(4)2(x+yz+xyz)·xyz

223=2x·xyz+2yz·xyz+2xyz·xyz

232234=2xyz+2xyz+2xyz.

应用法则时要注意的问题:

(1)单项式乘多项式的结果是多项式,积的项数与原多项式的项数相同.

(2)单项式分别与多项式的每一项相乘时要注意积的各项符号的确定:同号相乘得正,异号相乘得负.

(3)不要出现漏乘现象,运算要有顺序.

22追问:若将例题中第(3)题变为(- 5mn)·(2n+3m- n)如何做呢?

[处理方式]

学生分组合作,讨论交流,类比数的运算律共同完成,教师巡视学生完成的情况,帮助学生解决问题.

教师展示解题过程,让学生对照自己的做法,加以对比,并说出做题的依据.

22(- 5mn)·(2n+3m- n)

2222=(- 5mn)·2n+(- 5mn)·3m+(- 5mn)·(- n)

22323=- 10mn- 15mn+5mn.

[知识拓展]

1.单项式与多项式相乘时,一定要按照顺序进行运算,否则容易造成漏项或增项的错误,尤其要注意不要遗忘多项式中的常数项.

2.单项式与多项式相乘的结果是一个多项式,其项数与原多项式的项数相同.

1.单项式与多项式相乘,根据乘法分配律可以转化成单项式与单项式相乘;单项式与单项式相乘,根据乘法交换律和结合律可转化成同底数幂乘法的运算.

2.单项式乘多项式的运算法则:用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.

3.单项式乘多项式的注意事项:

(1)单项式乘多项式的结果是多项式,积的项数与原多项式的项数相同.

(2)单项式分别与多项式的每一项相乘时要注意积的各项符号的确定:同号相乘得正,异号相乘得负.

(3)不要出现漏乘现象,运算要有顺序.

1.判断题.

423812(1)3a·(2a- 2a)=6a- 6a.

2322322(

)

(2)a·(a+a+2)=a+a+1.

(

)

(3)- x·(2y- xy)=- 2xy+xy.

(

)

2(4)(- 2x)·(ax+b- 3)=- 2ax- 2bx- 6x.

222234236(

)

7232解析:(1)错,正确运算为3a·(2a- 2a)=6a- 6a;(2)错,正确运算为a·(a+a+2)=a+a+a;(3)对;(4)错,正确运算为(- 2x)·(ax+b- 3)=- 2ax- 2bx+6x.

2答案:(1)✕

(2)✕

(3)√

(4)✕

2.下列运算正确的是

(

)

22346A.3x(5x- x)=15x- 3x

2B.- a(2a- b)=- 2a- ab

23C.- 3x(2xy- 3y)=- 6xy+9xy

D.- 2(a- 3b)=- 2a+3b

223452解析:选项A错误,3x(5x- x)=15x- 3x;选项B错误,- a(2a- b)=- 2a+ab;选项C正确;选项D错误,- 2(a- 3b)=- 2a+6b.故选C.

3.计算.

232(1)(- 3x)·(2x+x- 1);

(2)232·(- 6xy).

2解:(1)(- 3x)·(2x+x- 1)

23222=(- 3x)·2x+(- 3x)·x+(- 3x)·(- 1)

542=- 6x- 3x+3x.

(2)=232·(- 6xy)

2·(- 6xy)+y·(- 6xy)+(- x)·(- 6xy)

2222432=2xy- 9xy+6xy.

22534.已知ab=- 6,求- ab(ab- ab- b)的值.

253解:- ab(ab- ab- b)

253=(- ab)·ab+(- ab)·(- ab)+(- ab)·(- b)

36242=- ab+ab+ab

23222=(- ab)+(ab)+ab.

223222当ab=- 6时,原式=(- ab)+(ab)+ab

32=[- (- 6)]+(- 6)+(- 6)

=216+36- 6=246.

探究活动1

单项式乘多项式的运算法则

探究活动2

单项式乘多项式法则的应用

例题

第2课时

一、教材作业

【必做题】

教材第17页习题1.7知识技能第1题.

【选做题】

教材第17页习题1.7问题解决第3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.计算2xy·222的结果是

23(

)

A.2xy- 6xy+2xy

2323B.xy- 3xy+y

23233C.xy+6xy+2xy

23223D.xy- 6xy+2xy

2.一个长方体的长、宽、高分别是3x- 4,2x,x,则它的体积是

3232A.3x- 4x

B.6x- 8x

22C.x D.6x- 8x

223.计算:(2x- 3xy+4y)·(- xy)=

.

224.计算:3a(a- 2a+1)- 2a(a- 3).

【能力提升】

2345.当x=2时,代数式x·(2x)- x(3x+8x)的值是多少?

25236.已知xy=3,求2xy(xy- 3xy- 4x)的值.

【拓展探究】

2m3523n7.若(- 2xy)·(- xy+3xy)=2xy- 6xy,求m,n的值.

【答案与解析】

(

)

1.D(解析:2xy·2=xy- 6xy+2xy.故选D.)

32232232.B(解析:长方体的体积=长×宽×高=(3x- 4)·2x·x=6x- 8x.)

3223222232233.- 2xy+3xy- 4xy(解析:(2x- 3xy+4y)·(- xy)=2x·(- xy)- 3xy·(- xy)+4y·(- xy)=- 2xy+3xy- 4xy.3223故填- 2xy+3xy- 4xy.)

22323234.解:3a(a- 2a+1)- 2a(a- 3)=3a- 6a+3a- 2a+6a=a+3a.

2342325525225.解:x·(2x)- x(3x+8x)=x·8x- (3x+8x)=8x- 3x- 8x=- 3x.当x=2时,原式=- 3×2=- 12.

52363422232226.解:2xy(xy- 3xy- 4x)=2xy- 6xy- 8xy=2(xy)- 6(xy)- 8xy=2×27- 6×9- 8×3=54- 54- 24=- 24.

2m3523n2+m234523n7.解:因为(- 2xy)·(- xy+3xy)=2xy- 6xy,所以2xy- 6xy=2xy- 6xy,所以m+2=5,n=4,所以m=3,n=4.

教学时注重选择了有层次的例题和练习,渗透了类比、转化、整体代入等重要的数学思想方法.课堂上充分利用学习小组,组织学生开展合作学习,教师通过对小组进行评价,激发学生的竞争意识,让课堂学习更高效.

例题的处理并不是单一的教师讲,学生听,而是先让学生独立尝试解决.事实上,教师提前就预料到了学生容易出现哪些错误,但只有让学生在解决问题的过程中亲身经历错误,才能真正提高解决问题的能力.

教学时发现学生存在以下问题:一是前面学习的幂的运算性质容易混淆,二是运算能力及解题技巧还有所欠缺,在计算单项式的系数与多项式每项的系数相乘时,符号的确定上容易出错.在下一步的教学中应加强训练,不断提高学生的计算能力.

学生对于应用单项式乘多项式法则问题不大,但是做错题的比例很大,原因是幂的三个运算法则及合并同类项在混合应用时,学生特别容易出错,这方面还要利用以后多项式乘多项式的教学让学生更加熟练应用各种法则,明确每一步的算理.

随堂练习(教材第17页)

解:(1)am+an.

(2)b+3ab- ab.

(3)xy- xy.

(4)4efd+4efd.

332224432242习题1.7(教材第17页)

知识技能

32232233231.解:(1)10x- 15x+20x.

(2)- 6x+18xy.

(3)- ab- 2ab.

(4)xy- 3xy.

2.解:(1)S阴=π·问题解决

23.解:n(n+1)=n+n(枚).

通过创设情境,以问题为载体给学生提供探索的空间,引导学生积极探索.教学环境的设计与展开,都以问题的解决为中心.教学时还要引导学生发现各知识点之间的联系,善于应用转化思想,化未知为已知,形成较完整的知识结构.

π·=πa.

(2)S阴=ab- (b- t)(a- t)=at+bt- t.

22

先化简,再求值:2x(x- y)- y(4x- y)+2xy,其中x=2,y=- 3.

〔解析〕

利用单项式乘多项式展开,再合并同类项,最后代入求值.

解:2x(x- y)- y(4x- y)+2xy

=2x- 2xy- 4xy+y+2xy

=2x- 4xy+y,

2222当x=2,y=- 3时,

原式=2×4- 4×2×(- 3)+9=8+24+9=41.

第课时

1.通过探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程,在具体情境中了解多项式与多项式相乘的意义,理解运算法则.

2.会利用法则进行多项式与多项式的乘法运算.

理解多项式乘多项式运算的算理,发展学生有条理的思考能力和语言表达能力.

在探索多项式与多项式乘法运算法则的过程中,获得成就感,激发学习数学的兴趣.

【重点】

多项式与多项式相乘的运算法则及应用.

【难点】

灵活运用多项式与多项式相乘的运算法则.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P18~19.

导入一:

问题1 1.如何进行单项式乘多项式的运算?你能举例说明吗?

2.计算.

222(1)(3mn)·(m+mn- n);

2(2)2a- a(2a- 5b)- b(2a- b).

[处理方式]

教师提出问题,引导学生复习上节课所学的单项式乘多项式.大多数学生能够熟练说出单项式乘多项式的运算法则,通过练习发现个别学生在计算时出错,主要是第(2)小题中的符号处理出现错误.通过教师与学生共同订正,使学生的认识有进一步的提高.

[设计意图]

单项式乘多项式运算是多项式乘多项式运算的基础,所以帮助学生回忆单项式乘多项式的运算非常必要.课前通过单项式乘多项式的热身活动,帮助学生唤起对旧知识的记忆,重温探索法则的过程中所积累的活动经验.

问题2

小明家承包了一块如图所示的长方形基地,准备在这块地上种四种不同的蔬菜,你能用几种方法表示这块地的面积?

生1:这是一个长方形,面积应为长乘宽,即(m+b)(a+n).

生2:还可以看成是四个小长方形的面积和,即ma+mn+ab+bn.

师:同学们观察得很仔细,通过这两种方法计算这块地的面积,你有什么新的发现?这就是我们这节课所要学习的内容——多项式乘多项式.

[设计意图]

利用图形学生很容易得到不同的答案,激发学生的学习兴趣.

导入二:

[过渡语]

本节课首先请同学们来做一个拼图游戏,大家有没有兴趣?

请同学们拿出准备好的长方形卡片,选取其中的两张,用它们拼成更大的长方形,尽可能采用多种拼法.

[处理方式]

小组合作拼图.

【思考】

问题1 分别列代数式表示所拼成长方形的面积,你能发现什么?并说出其中包含什么运算.

展示学生拼图:

(1)拼出的长方形如图(1)所示,面积为m(a+n)=ma+mn,含有单项式乘多项式运算.

(2)拼出的长方形如图(2)所示,面积为m·2n=2mn,含有单项式乘单项式运算.

(3)拼出的长方形如图(3)所示,面积为b(a+n)=ba+bn,含有单项式乘多项式运算.

(4)拼出的长方形如图(4)所示,面积为n(m+b)=nm+nb,含有单项式乘多项式运算.

(5)拼出的长方形如图(5)所示,面积为a(m+b)=am+ab,含有单项式乘多项式运算.

问题2 将四个图形进一步摆拼,会得到更大的长方形,试一试,也许你们会有新的发现.

拼出的长方形如图所示,面积为(m+b)(a+n),含有多项式乘多项式运算.

师:(m+b)(a+n)运算的结果是什么?这就是我们本节课所要研究的多项式乘多项式的运算.

[设计意图]

此环节让学生在小组内合作完成,增强了趣味性,以上设计将拼图游戏分为两个层次,首先让学生选择两个图形摆拼,得出单项式乘单项式运算及单项式乘多项式运算,一方面是对前两节课单项式乘单项式运算及单项式乘多项式运算的几何解释及法则的复习,更重要的是为本节课用这种方法探究多项式乘多项式的运算打下基础.在活动中培养了学生的观察、操作能力.

探究活动1

多项式乘多项式的运算法则

思路一

某校为了迎接省级规范化学校验收,领导决定扩大学校中心花园的绿地面积.如图所示,把一块原长a米、宽m米的长方形绿地增长了b米,加宽了n米.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积?

[处理方式]

让学生先观察图形,小组讨论后回答,然后教师板书出学生得到的结果,即:

方法1:先分别求出四个小长方形的面积,再求它们的和,即(am+an+bm+bn)平方米.

方法2:先计算大长方形的长和宽,然后利用长乘宽得出大长方形的面积,即(a+b)(m+n)平方米.

由于上述两种计算结果表示的是同一个量,因此(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.

讨论(a+b)(m+n)展开的结果.(教师适当提醒)

(1)把(a+b)看成一单项式时,(a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n=am+bm+an+bn.

(2)把(m+n)看成一单项式时,(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn.

师生共同归纳:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.

用公式表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.

[设计意图]

通过老师的提示把其中一个多项式当成一个整体变成单项式乘多项式,把未知一步一步转化为已掌握的知识,让学生认识知识的产生过程,加深对知识的理解,通过用文字语言表示法则,训练学生语言表达能力,也是字母语言向文字语言的转化,进一步体会转化的思想.

思路二

问题1 如图(1)所示的是一个长和宽分别为m,n的长方形绿化带,如果它的长和宽分别增加a,b,所得长方形绿化带(如图(2)所示)的面积可以怎样用代数式表示?

[处理方式]

学生独立思考后,全班交流,主要产生了以下四种解法.

方法一:长方形的长变为(m+a),宽变为(n+b),所以面积可以表示为(m+a)(n+b).

方法二:长方形可以看做是由上、下两个长方形组成的,上面的长方形面积为b(m+a),下面的长方形面积为n(m+a),这样长方形的面积就可以表示为n(m+a)+b(m+a),根据上节课单项式乘多项式的法则,可知结果等于nm+an+bm+ba.

方法三:长方形可以看做是由左、右两个长方形组成的,左边的长方形面积为m(b+n),右边的长方形面积为a(b+n),这样长方形的面积就可以表示为m(b+n)+a(b+n),根据上节课单项式乘多项式的法则,可知结果等于mb+mn+ab+an.

方法四:长方形可以看做是由四个小长方形拼成的,四个小长方形的面积分别为mn,mb,an,ab,所以长方形的面积可以表示为mb+mn+ab+an.

将四种方法的过程板书到黑板上,由于求的是同一个长方形的面积,于是我们得到:

(m+a)(n+b)=n(m+a)+b(m+a)=m(b+n)+a(b+n)=mb+mn+ab+an.

式子的最左边是两个多项式相乘,最右边是相乘的结果,由此得到多项式与多项式的乘法法则.

[设计意图]

引导学生通过观察、实验、类比、归纳获得数学猜想.在上一课时中,学生已经有了利用图形面积探究法则的经验,因此用不同方法计算同一图形面积猜想出多项式乘法法则并不困难.

问题2 教师设置三个层层递进的问题:

1.你能说出(m+a)(n+b)=n(m+a)+b(m+a)这一步运算的道理吗?

2.结合算式(m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab,你能说说如何进行多项式与多项式相乘的运算吗?

3.归纳总结多项式与多项式相乘的运算法则.

[处理方式]

学生独立思考,顺利完成前两个问题.在教师的启发引导下,学生归纳总结,得到多项式乘多项式的法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.

[设计意图]

学生利用图形面积得出数学猜想,进一步进行验证,发展推理能力.这里设置了三个层层递进的思考题,目的是进一步加强学生对算理的认识.问题1设置的比较简单,学生很容易答出把(m+a)看做是一个整体,利用单项式乘多项式法则或者利用乘法分配律即可得到.设置问题2的目的是以具体的题目为依托,直观总结如何进行多项式与多项式相乘的运算,为下一步抽象概括多项式乘多项式的法则做好铺垫,扫清障碍.

探究活动2

多项式乘多项式法则的应用

[过渡语]

同学们已经明确了多项式乘多项式的法则,你能运用所学的知识解决下列问题吗?

1.例题讲解.

(教材例3)计算.

(1)(1- x)(0.6- x);

(2)(2x+y)(x- y).

[处理方式]

先让学生说出(1)的过程,老师板书,再找学生板书(2)的过程.教师巡视批阅,根据巡视中发现的问题进行有针对性的讲解.

教师板书(1)的解题过程:

(1)(1- x)(0.6- x)

2=1×0.6- 1×x- x×0.6+x

2=0.6- x- 0.6x+x

2=0.6- 1.6x+x.

学生板书(2)的解题过程:

(2)(2x+y)(x- y)

2=2x·x- 2xy+yx- y

22=2x- 2xy+xy- y

22=2x- xy- y.

2.例题仿练.

计算:(x- 3y)(x+3y).

[处理方式]

学生自主思考问题后,两生板演,教师巡视批阅,点拨有困难的学生进行解题,根据巡视中发现的问题进行有针对性的讲解.

学生板书:

(x- 3y)(x+3y)

=x·x+x·3y- 3y·x- 3y·3y

22=x+3xy- 3xy- 9y

22=x- 9y.

3.总结强调.

运用多项式与多项式相乘的法则时应注意:

(1)多项式与多项式相乘,要防止漏项;

(2)由于运算量较大,书写繁杂,所以应特别注意符号问题,多项式的每一项都包含它前面的符号;

(3)多项式乘多项式,仍得多项式;

(4)最后的结果应合并所有的同类项.

[知识拓展]

1.要正确理解法则中的两个“每一项”的含义.

2.多项式与多项式相乘,在合并同类项之前,积的项数是两个多项式的项数之积,例如二项式乘三项式,其积在没合并同类项前是六项.

1.多项式的乘法法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.

2.运用多项式与多项式相乘的法则时应注意:

(1)多项式与多项式相乘,要防止漏项;

(2)由于运算量较大,书写繁杂,所以应特别注意符号问题,多项式的每一项都包含它前面的符号;

(3)多项式乘多项式,仍得多项式;

(4)最后的结果应合并所有的同类项.

1.已知(x+3)(x- 8)=x+px+q,则p=

,q=

.

222解析:因为(x+3)(x- 8)=x- 8x+3x- 24=x- 5x- 24=x+px+q,所以p=- 5,q=- 24.

答案:- 5

- 24 2.计算:(2a- 3b)(a+5b).

解:(2a- 3b)(a+5b)

22=2a+10ab- 3ab- 15b

22=2a+7ab- 15b.

2

3.计算:(3a- 2)(a- 1)- (a+1)(a+2).

解:(3a- 2)(a- 1)- (a+1)(a+2)

22=3a- 3a- 2a+2- (a+3a+2)

22=3a- 5a+2- a- 3a- 2 2=2a- 8a.

24.先化简,再求值:(a+2b)+(b+a)(b- a),其中a=- 1,b=2.

2解:(a+2b)+(b+a)(b- a)

22=(a+2b)(a+2b)+b- a

2222=a+4ab+4b+b- a

2=5b+4ab.

当a=- 1,b=2时,原式=12.

探究活动1

多项式乘多项式的运算法则

探究活动2

多项式乘多项式法则的应用

例题

第3课时

一、教材作业

【必做题】

教材第19页习题1.8知识技能第1题.

【选做题】

教材第19页习题1.8问题解决第2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.三个连续奇数,若中间一个为n,则它们的积为

(

)

23A.6n- 6n B.4n- n

33C.n- 4n

D.n- n

2.多项式与多项式相乘,先用一个多项式的

乘另一个多项式的

,再把所得的

相加.

3.计算.

(1)(x+2)(x+3);

(2)(a- 4)(a+1);

(3).

24.已知(2x+a)(5x- 2)=10x+6x+b,求a,b的值.

【能力提升】

25.(金华中考)先化简,再求值:(x+5)(x- 1)+(x- 2),其中x=- 2.

326.已知x+3y=0,求x+3xy- 2x- 6y的值.

【拓展探究】

227.已知(3x- 2x+1)(x+b)中不含x项,求b的值.

【答案与解析】

31.C(解析:因为三个连续奇数,中间一个为n,所以前一个为n- 2,后一个为n+2,所以乘积为(n- 2)·n·(n+2)=n- 4n.故选C.)

2.每一项

每一项

积

3.解:(1)(x+2)(x+3)=x+5x+6.

(2)(a- 4)·(a+1)=a- 3a- 4.

(3)2222=y+y- y- =y- y- .

224.解:(2x+a)(5x- 2)=10x- (4- 5a)x- 2a=10x+6x+b,所以- (4- 5a)=6,- 2a=b,所以a=2,b=- 4.

22225.解:(x+5)(x- 1)+(x- 2)=x+4x- 5+(x- 2)(x- 2)=2x- 1,当x=- 2时,原式=2×(- 2)- 1=7.

3232226.解:x+3xy- 2x- 6y=(x+3xy)- (2x+6y)=x(x+3y)- 2(x+3y)=(x- 2)(x+3y),因为x+3y=0,所以原式=0.

7.解:(3x- 2x+1)(x+b)=3x·x+3x·b- 2x- 2x·b+x+b=3x+(3b- 2)x+(1- 2b)x+b,因为积中不含x项,所以22223223b- 2=0,所以3b=2,所以b=.

教师放手让学生总结归纳,形成良好的学习氛围,体现了新课程的理念,使课堂情感化和趣味化.通过多项式乘多项式的法则,把这个问题转化为单项式乘单项式,而单项式乘单项式又转化为数的乘法与同底数幂的乘法,体现新知识与已学知识间的联系,注意转化的思想方法.整堂课中学生参与性较强,气氛活跃,知识落实到位.

要留给学生足够的时间展示自己,学生在练习中的错误,让学生自己加以纠正,以加深印象,防止今后同样错误的发生.

教学中要继续注重引导学生自我探索与自我发现,注重挖掘教材中的能力增长点,挖掘教材的内涵,着眼于学生终身发展的需要,为学生的终身发展打下良好基础.

随堂练习(教材第19页)

222222解:(1)m- 4n.

(2)2n- n- 15.

(3)x+4xy+4y.

(4)acx+(ad+bc)x+bd.

习题1.8(教材第19页)

知识技能

221.解:(1)ax+ay+2bx+2by.

(2)3ab+b+10a+15.

(3)- 2x- 5x- 3.

(4)- 6m+m+2.

(5)x- 2xy+y.

(6)4x- 12x+9.

问题解决

2.解:(1)(10n+4)(10n+6)=100n(n+1)+24(n为自然数).

(2)在124×126中,n=12,所以124×126=15624.

(3)略.

联系拓广

23.解:(a+b+c)·(c+d+e)=ac+ad+ae+bc+bd+be+c+cd+ce.

以学生活动为主,通过精心设计的问题导语,启发、点拨、引导学生进行观察、探究、讨论、对比、归纳、发现、创造等参与活动,指导学生在课堂实践活动中自主探索,合作交流,获得知识,提高技能,培养创造意识.

222

在多项式x5a+x3b+xc- 3中,当x=3时,多项式的值为5,求当x=- 3时,多项式的值.

〔解析〕

将x=3代入xa+xb+xc- 3后,得到一个新的关于a,b,c的代数式的值,进而可得到当x=- 3时多项式的值.

53解:由题意得3a+3b+3c- 3=5,

53所以3a+3b+3c=8,

53所以(- 3)a+(- 3)b+(- 3)c- 3 53=- (3a+3b+3c)- 3=- 8- 3=- 11.

故当x=- 3时,多项式的值为- 11.

53