完全平方公式的应用优秀教学设计内容

第一章

整式的运算

§1.6 完全平方公式（一）

教学目标

1.知识与技能：

理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进行简单的计算。

2.过程与方法：

通过让学生经历完全平方公式的探求过程，使学生体会数、形结合的优势，熟悉完全平方公式的特征，培养学生的发现能力、求简意识、应用意识、解决问题的能力和创新能力。

3.情感价值观目标：

体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立学习自信心。

教学重难点

重点：体会完全平方公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。

难点：判别要计算的代数式是哪两个数的和(或差)的平方。

教学准备：多媒体课件。

教学过程

一、

回顾与思考

活动内容：复***方差公式

1.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 ; 公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积。

右边是两数的平方差。

2．应用平方差公式的注意事项：弄清在什么情况下才能使用平方差公式。

活动目的：本堂课的学习方向仍是引导鼓励学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式推导出本课新知，进一步发展学生的符号感和推理能力。而这个过程离不开旧知识的铺垫，平方差公式的学习有很多教学环节和形式与本节的学习是类似的，其中包含的基本知识与基本能力也仍是本节的精神主旨，因

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而复习很有必要。

二、情境引入

活动内容：出示幻灯片，提出问题。

一块边长为a米的正方形实验田，由于效益比较高，所以要扩大农田，将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种（如图）。

用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较。

活动目的：数学源自于生活，通过生活当中的一个实际问题，引入本节课的学习。从而在学生运用旧知计算和比较实验田的面积当中引出完全平方公式。由于实验田的总面积有多种表示方式，通过对比这些表示方式可以使学生对于公式有一个直观的认识。同时在古代人们也是通过类似的图形认识了这个公式。在列代数式解决问题的过程当中，通过自主探究和交流学到了新的知识，学生的学习积极性和主动性得到大大的激发。

三、初识完全平方公式

活动内容：1. 通过多项式的乘法法则来验证(a+b)2=a2+2ab+b2的正确性。并利用两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式：(a-b)2=a2-2ab+b2. 2.引导学生利用几何图形来验证两数差的完全平方公式。

3.分析完全平方公式的结构特点，引导学生用自己的语言来描述完全平方公式。

结构特点：左边是二项式（两数和（差））的平方；

右边是两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍。

语言描述：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的两倍。

活动目的：第一个活动是让学生在上面讨论的基础上，从代数运算的角度运用多项式的乘法法则，推导出两数和的完全平方公式，并且进一步推导出两数差的完全平方公式。在教学中学生有条理的思考和语言表达能力得以培养。

第二个活动使学生再次从几何的角度来验证两数差的完全平方公式。从而学生经历了几何解释到代数运算，再到几何解释的过程，学生的数形结合意识得以

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培养，并且从不同的角度推导出了公式，并且加以巩固。

第三个活动在前面的基础上，加以总结，使得学生从形式上初步地认识了完全平方公式。

四、再识完全平方公式

活动内容：

例1 用完全平方公式计算：

(1) (2x−3)2

； (2) (4x+5y)2 ; (3) (mn−a)2

2. 总结口诀：首平方，尾平方，首尾两倍夹中央。

3. 巩固练习。

（1）计算：

(x2y)2

； (2xyx)2

； (n+1)2-n2

；

（2）纠错练习：指出下列各式中的错误，并加以改正：

(1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1；

(3) (a−1)2＝a2−2a−1.

活动目的：应用完全平方公式进行简单的计算。同时例1三个题目的设计上有一定的梯度，从而总结出进行简单计算的一般口诀，并加以巩固落实。

五、又识完全平方公式

活动内容：1. 例2 利用完全平方公式计算：

(1) (-1-2x)2

； (2) (-2x+1)2

2. 进一步完善口诀：首平方，尾平方，首尾两倍夹中央，加减看前方，和是加差是减。

活动目的：例2是对课本内容的补充，从而使得学生从更深的一个角度来认识完全平方公式，防止解题时中间项的符号出现问题，并能在解题中通过灵活的变形来运用公式，解决问题。并对上面总结的口诀进行进一步的完善。

六、课堂小结

活动内容：1. 完全平方公式和平方差公式不同：

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形式不同．

结果不同：完全平方公式的结果是三项，即 (a ±b)2＝a2

±2ab+b2; 平方差公式的结果是两项， 即(a+b)(a−b)＝a2−b2. 2. 解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。 3. 口诀：平方，尾平方，首尾两倍夹中央，加减看前方，和是加差是减。

活动目的：课堂小结并不只是课堂知识点的回顾，要尽量让学生畅谈自己的切身感受，教师对于发言进行鼓励，进一步梳理本节所学，更要有所思考，达到对所学知识巩固的目的。

七、布置作业

教材习题1.13 ：第1题. 完全平方公式

第2课时 【教学目标】

知识技能目标

熟记完全平方公式,并能说出公式的结构特征,能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算,会在多项式、单项式的混合运算中,正确运用完全平方公式进行计算. 过程性目标

能够运用完全平方公式解决简单的实际问题,并在活动当中培养学生数学建模的意识及应用数学解决实际问题的能力,感悟换元变换的思想方法,提高灵活应用乘法公式的能力,体会符号运算对解决问题的作用,进一步发展学生的符号感. 情感态度目标

在学习中使学生体会学习数学的乐趣,培养学习数学的信心,感受数学的内在美. 【重点难点】

重点:

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1.巩固完全平方公式,区分(a+b)2与a2+b2的关系. 2.熟悉乘法公式的运用,体会公式中字母a,b的广泛含义. 难点: 1.区分(a+b)2与a2+b2的关系. 2.熟练乘法公式的运用,体会公式中字母a,b的广泛含义. 【教学过程】

一、创设情境

有一位老人非常喜欢孩子,每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子,老人就给这个孩子一块糖,来两个孩子,老人就给每个孩子两块糖,来三个,就给每人三块糖,……

(1)第一天有a个男孩一起去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖? (2)第二天有b个女孩一起去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖? (3)第三天这(a+b)个孩子一起去看老人,老人一共给了这些孩子多少块糖? (4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多?多多少?为什么? 二、探究归纳

1.探究活动一

内容:利用完全平方公式计算: (1)1022

(2)1972

分析:(1)把1022改写成(a+b)2还是(a-b)2?a,b怎样确定? (2)把1972改写成(a+b)2还是(a-b)2?a,b怎样确定? 归纳发现:1022=(100+2)2

=1002+2×100×2+22

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=10 000+400+4 =10 404 1972=(200-3)2

=2002-2×200×3+32

=40 000-1 200+9 =38 809 2.探究活动二

内容:计算:(x+3)2-x2

学生展示不同的方法: 方法一:(x+3)2-x2=x2+6x+9-x2=6x+9 归纳1:完全平方公式→合并同类项解. 方法二: (x+3)2-x2=(x+3+x)(x+3-x)=(2x+3)·3=6x+9 归纳2:平方差公式→单项式乘多项式. 3.探究活动三

内容:计算:(a+b+3)(a+b-3) 解:(a+b+3)(a+b-3) =[(a+b)+3][(a+b)-3] =(a+b)2-32

=a2+2ab+b2-9 归纳3:将(a+b)看作一个整体,解题中渗透了整体的思想

4.探究活动四

内容:已知:a+b=5,ab=-6,求a2+b2的值

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变式:若条件换成a-b=5,ab=-6,你能求出a2+b2的值吗? 结论:完全平方公式的变形: a2+b2=(a+b)2-2ab a2+b2=(a-b)2+2ab 例题

计算:(x+5)2-(x-2)(x-3) 三、交流反思

教师提问: 1.这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法? 2.对这些内容你有什么体会?与同伴进行交流. 在学生自由发言的基础上,师生共同总结: 1.知识:(1)利用完全平方公式简化数字运算. (2)综合运用平方差公式、完全平方公式简化整式乘法运算. 2.方法:数字的拆分、凑整的方法、优选法

3.思想:整体思想、转化思想

四、检测反馈

1.利用整式乘法公式计算: (1)962

(2)2032

2.计算:(1)(a-b+3)(a-b-3) (2)(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3) (3)(ab+1)2-(ab-1)2

(4)(2x-y)2-4(x-y)(x+2y) 五、布置作业

1.基础训练:教材习题1.12.

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2.联系拓广: 如果把完全平方公式中的字母“a”换成“m+n”,公式中的“b”换成“p”,那么(a+b)2变成怎样的式子?怎样计算(m+n+p)2呢? 六、板书设计

1.完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2

2.完全平方公式的变形: a2+b2=(a+b)2-2ab a2+b2=(a-b)2+2ab 七、教学反思

1.遵循课程标准所提出的“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展”的理念,教学中力求使“自主探索、动手实践、合作交流”成为学生学习的主要方式. 2.为了充分展示数学问题的发生、发展及变化过程,本课采用计算机辅助教学.在整个新课的教学中,采用“动脑想,动手写,会观察,齐讨论,得结论”的学习方法.这样做,增加了学生的参与机会,增强了参与意识,教给了学生获取知识的途径,思考问题的方法,使学生真正成为教学的主体;这样做,使学生“学”有所“思”,“思”有所“得”,这样做,体现了素质教育下塑造“创新”型人才的优势.最后,结合本节课教学内容,选择具有典型性,由浅入深的例题,让学生认知内化,形成能力.通过发展提高,培养学生迁移创新精神,有助于智力的发展.

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