多项式乘以多项式教案和课堂实录

第3课时

多项式与多项式相乘

教学目标

【知识与技能】

在具体情境中了解多项式乘法的意义，会利用法则进行简单的多项式乘法运算. 【过程与方法】

经历探索多项式与多项式乘法法则的过程，理解多项式与多项式相乘的运算算理，体会乘法分配律的作用及转化思想在解决问题过程中的应用，发展学生有条理的思考和语言表达能力. 【情感态度】

在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信心. 【教学重点】

熟悉多项式与多项式乘法法则. 【教学难点】

理解多项式与多项式相乘的算理. 教学过程

一、情景导入，初步认知

1.如何进行单项式乘多项式的运算？你能举例说明吗？

2.计算：

（1）(3mn)2·(m2+mn-n2); （2）2a2-a(2a-5b)-b(2a-b). 【教学说明】单项式乘以多项式运算是多项式乘以多项式运算的基础，所以帮助学生回忆单项式乘多项式的运算非常重要. 二、思考探究，获取新知

下图1-1是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得长方形（图1-2）的面积可以怎样表示？

学生独立思考后，全班交流，主要产生了四种解法：

方法一：长方形的长为（m+a），宽为（n+b）,所以面积可以表示为(m+a)(n+b)；

方法二：长方形可以看做是由四个小长方形拼成的，四个小长方形的面积分别为mn，mb，an，ab，所以长方形的面积可以表示为mn+mb+an+ab；

方法三：长方形可以看做是由上下两个长方形组成的，上面的长方形面积为b（m+a），下面的长方形面积为n（m+a）,这样长方形的面积就可以表示为n（m+a）+b（m+a），根据上节课单项式乘多项式的法则，结果等于nm+na+bm+ba；

方法四：长方形可以看做是由左右两个长方形组成的，左边的长方形面积为m（b+n），右边的长方形面积为a（b+n）,这样长方形的面积就可以表示为m（b+n）+a（b+n），根据上节课单项式乘多项式的法则，结果等于mb+mn+ab+an. 将四种方法的过程板书到黑板上，由于求的是同一个长方形的面积，于是我们得到：

（m+a)(n+b)=n(m+a)+b(m+a)=m(b+n)+a(b+n)=mn+mb+an+ab 教师引导学生观察这个等式，并启发性的将等式板书为以下形式：

(m+a)(n+b)=n(m+a)+b(m+a) 或（m+a)(n+b)=m(b+n)+a(b+n) 或（m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab 【教学说明】

引导学生通过观察、实验、类比、归纳获得数学猜想.在上一课时中，学生已经有了利用图形面积探究法则的经验，因此用不同方法计算同一图形面积猜想出多项式乘法法则并不困难，顺利引出新课. 观察上面的过程，回答下列问题：

1.你能说出（m+a)(n+b)=n(m+a)+b(m+a) 这一步运算的道理吗？

2.结合这个算式（m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab，你能说说如何进行多项式与多项式相乘的运算？

3.归纳总结多项式与多项式相乘的运算法则.

【归纳结论】

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 三、运用新知，深化理解

1.见教材P18例3. 2.下列说法不正确的是（D）

A.两个单项式的积仍是单项式；

B.两个单项式的积的次数等于它们的次数之和；

C.单项式乘以多项式，积的项数与多项式项数相同；

D.多项式乘以多项式，合并同类项前，积的项数等于两个多项式的项数之和. 3.下列多项式相乘的结果是a2-a-6的是（B）

A.（a-2）（a+3）；

B.（a+2）（a-3）；

C.（a-6）（a+1）；

D.（a+6）（a-1）. 4.下列计算正确的是（C）

A.a3·(-a2)=a5；

B.(-ax2)3=-ax6；

C.3x3-x(3x2-x+1)=x2-x；

D.(x+1)(x-3)=x2+x-3. 5.若（x+m）（x+n）=x2-6x+5，则（A）

A.m，n同时为负；

B.m，n同时为正；

C.m，n异号；

D.m，n异号且绝对值小的为正. 6.要使(x-3)·M=x2+x+N成立，且M是一个多项式，N是一个整数，则（C）

A.M=x-4,N=12；

B.M=x-5,N=15；

C.M=x+4,N=-12；

D.M=x+5,N=-15.

7.计算：

(1)(3x+1)(x-2)；

(2)(a2+3)(a-2)-a(a2-2a-2)；

(3)(x-5)(x+2)；

(4)(x+5)(x-2)；

(5)(x-5)(x-2)；

(6)(x+5)(x+2). 答案：

(1)3x2-5x-2；(2)5a-6；(3)x2-3x-10；

(4)x2+3x-10；(5)x2-7x+10；(6)x2+7x+10. 8.若（mx+y）（x-y）=2x2+nxy-y2，求m，n的值. 解：左边=mx2-mxy+xy-y2=mx2+(1-m)xy-y2

∴m=2，n=1-m

∴n=-1 9.对于任意自然数，试说明代数式n（n+7）-（n-3）（n-2）的值都能被6整除. 解：n（n+7）-（n-3）（n-2）=n2+7n-n2+5n-6=12n-6=6（2n-1）. 因为n为自然数，

所以6（2n-1）一定是6的倍数. 【教学说明】让学生通过不同形式的多项式相乘，灵活应用法则，针对解决不同问题时遇到的问题，积累解题经验.对于掌握程度比较好的学生，需要设置一些具有挑战性的题目，激发他们学习的动力. 四、师生互动,课堂小结

1.本节课学习了哪些知识？

2.领悟到哪些解决问题的方法？感触最深的是什么？

3.对于本节课的学习还有什么困惑？

布置作业

1.布置作业:教材“习题1.8”中第1、2、3题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 教学反思

整式的乘法共由三课时组成，这一板块的知识前后衔接紧密、环环相扣,因

此在这三课时中都采用了先回顾，再呈现问题情境的引入方法实现“温故知新”.但是在教学过程中，我们不应仅仅让学生感受知识需要“温故知新”，更应该让他们体会到解决这些“新”都是用了同样的数学思想方法——转化.这三课时法则的探索在难度上是逐渐深入的，在方法和思路上却又是统一的，通过这三课时的学习，应让学生体会：当他们遇到新问题时，可以效仿之前用到的数学思想方法来解决，从而真正掌握数学学习方法，提高数学学习能力.