信息技术应用 用计算机绘制函数图象第一课时教学设计

1.3.2

奇偶性

东至三中：高庆文

教学分析

本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的.教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念.因此教学时，充分利用信息技术创设教学情景，会使数与形的结合更加自然. 值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念.教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y=x与y=2x-1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明. 三维目标

1.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力. 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想. 重点难点

教学重点:函数的奇偶性及其几何意义. 教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式. 课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？（学生发现：图象关于y轴对称.）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究. 思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x2和y=x3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性. 推进新课

新知探究

提出问题

①如图1-3-2-1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.

图1-3-2-1 ②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？

x f(x)=x2

x f(x)=|x| -3

-3

-2

-2

-1

表1 -1

表2 ③请给出偶函数的定义？

④偶函数的图象有什么特征？

⑤函数f(x)=x2,x∈［-1,2］是偶函数吗？

⑥偶函数的定义域有什么特征？

⑦观察函数f(x)=x和f(x)=0

1

2

3

0

1

2

3

1的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？

x活动：教师从以下几点引导学生: ①观察图象的对称性. ②学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数. ③利用函数的解析式来描述. ④偶函数的性质：图象关于y轴对称. ⑤函数f(x)=x2,x∈［-1,2］的图象关于y轴不对称；对定义域［-1,2］内x=2，f(-2)不存在，

即其函数的定义域中任意一个x的相反数-x不一定也在定义域内，即f(-x)=f(x)不恒成立. ⑥偶函数的定义域中任意一个x的相反数-x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称. ⑦先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质. 给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）；（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称；（4）可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；（5）函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质. 讨论结果: ①这两个函数之间的图象都关于y轴对称. ②

x f(x)=x2

-3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9

表1 x f(x)=|x| -3 3 -2 2 -1 1 表2 这两个函数的解析式都满足：

f(-3)=f(3); f(-2)=f(2); f(-1)=f(1). 可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内一个x，都有f(-x)=f(x). ③一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数. ④偶函数的图象关于y轴对称. ⑤不是偶函数. ⑥偶函数的定义域关于原点轴对称. ⑦一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称. 应用示例

思路1 例1判断下列函数的奇偶性: （1）f(x)=x4；

（2）f(x)=x5；

（3）f(x)=x+（4）f(x)=0 0 1 1 2 2 3 3 1；

x1. x2活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x). 解：（1）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x)，

所以函数f(x)=x4是偶函数. （2）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x), 所以函数f(x)=x4是奇函数. （3）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x，都有11=-(x+)=-f(x)，

xx1所以函数f(x)=x+是奇函数. xf(-x)=-x+（4）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=11==f(x)，

22(x)x所以函数f(x)= 1是偶函数. 2x点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数-x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f(-x)与f(x)的关系；

③作出相应结论：

若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数；

若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数. 变式训练

练习2：判断函数的奇偶性

11fxxx (2)fx2x

x3x4fx3fx2x1

x3 5fxx211x2

6fxx1x1

变式训练

(1)图1为奇函数的局部图像，求f(-2)

(2)图2为偶函数的局部图像，求g(1)

思路2 例1判断下列函数的奇偶性. （1）f(x)=x2,x∈［-1,2］; y321f(x)y

4

g (x)

3

2

1

-4-3-2-101234x-1

-2-3

（1）

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

-1

-2

-3

（2）

(2)x2x2（2）f(x)=；

x1

（3）f（x）=x24+4x2；

1x2x1（4）f（x）=. 21xx1活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法.先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系.在(4)中注意定义域的求法,对任意x∈R，有1x2>x2=|x|≥-x，则1x2+x>0.则函数的定义域是R. 解：（1）因为它的定义域关于原点不对称,函数f(x)=x2,x∈［-1,2］既不是奇函数又不是偶函数. x2x2（2）因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，并不关于原点对称,函数f(x)=既不是奇函x1数又不是偶函数. （3）∵x2－4≥0且4－x2≥0，

∴x＝±2，

即f（x）的定义域是{－2，2}. ∵f（2）＝0，f（－2）＝0, ∴f（2）＝f（－2），f（2）＝－f（2）. ∴f（－x）＝－f（x），且f（－x）＝f（x）. ∴f（x）既是奇函数也是偶函数. （4）函数的定义域是R. ∵f(-x)+f(x)=1x2x11xx121x2x11xx1

2

=1x2(x1)21x2(x1)2(1xx1)(1xx1)22=1x2x22x11x2x22x1(1xx1)(1xx1)22

=0, ∴f（－x）＝－f（x）. ∴f（x）是奇函数. 点评：本题主要考查函数的奇偶性. 定义法判断函数奇偶性的步骤是（1）求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等；（2）当f(-x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(-x)＝-f(x)时，此函数是奇函数；（3）当f(-x)＝f(x)且f(-x)＝-f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；

（4）当f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数. 判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f(-x)+f(x)来判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立.

小检测

练习1. 下列图象是函数图象且具备奇偶性的是(

)

2a,a3,求a值？练习2.如果偶函数的定义域是

课后作业：

P36

练习1,2

P39.A-6