信息技术应用 收集数据并建立函数模型优秀教学实录

高三数学第一轮复习 教学设计 成都高新实验中学 刘楠

高中数学必修1 第三章第2节

函数模型及其应用（第一课时）

一、教学目标

（一）知识与技能：

1. 知道三种增长函数：指数函数、对数函数、幂函数之间增长速度的差异；

2. 能应用分段函数、指数函数、对数函数模型解决一些简单的实际问题并进一步掌握

数学建模的一般方法；

3．通过函数知识的应用，复习巩固已学过的基本初等函数的知识.

（二）过程与方法：

通过问题解决的过程培养学生阅读、抽象、分析问题和解决问题的能力，领会函数的思想，渗透应用数学的意识. （三）情感态度和价值观：

通过对函数模型在实际问题中的应用举例，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的实践能力.

二、教学重难点

（一）教学重点：

用分段函数、指数函数、对数函数模型，刻画实际问题，掌握数学建模的一般方法.

（二）教学难点：

将实际问题中的文字语言转化为数学语言，用方程、不等式、导数等方法解决函数问题.

三、教学方法

采用以“教师为主导，学生为主体，训练为主线，能力为目标”的教学模式. 四、学法指导

因为教与学是矛盾统一体的两个不同方面，主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的；同时根据现代数学教学理论认为，数学不是靠教师教会的，而是在教师的指导下，靠学生自己学会的，所以我们应在教学中不断对学生进行学法指导，使学生实现由“学会”到“会

学”的质的飞跃.依据本节课的内容特点，我准备进行以下几个方面的学法指导：

1 基本方法方面：通过复习和阅读教材培养学生养成重视教材、定期复习教材的学习习惯，通过问题的解决培养学生善于讨论、交流的学习方法. 2 思维方法方面：通过问题的解决指导学生如何观察、分析、转化、综合. 3 自主学习方面：通过问题的解决培养学生自主学习、自我探索、自主解决问题的优

良品质.

1

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五、教学流程

完成本节课学习

六、教学过程

过程

1、展望高考，提出复习目标

师生活动

师：分析近年来高考趋势，并针对考试热点提出复习目标. 设计意图

直面高考，让学生了解考试趋势与要求，调动学生积极性.

展示复习目标使学生明确本节课的复习任务.

复习巩固基础知识，为后面的能力提升做准备. 达标检测

是

课堂总结

变式练习

寻找问题

例题探究

要点梳理

教材复习

复习目标

否

2、基础知识梳理

（1）几个函数类型；

（2）指数函数、对数函数、幂函数的增长差异；

（3）应用分段函数、指数函数、对数函数解决实际问题.

师：给学生1分钟的时间填写基础知识. 生：在复习教材的基础上独立完成，而后与同学互相批改. 师：展示答案. 2

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3、例题探究

在教材例题的基础上进行能力提升，通过具体问题的分析、解决，掌握应用函数模型解决实际问题的方法. 分段函数问题是高考考查的热点之一，本题已给出分段函数模型，在第二个问中学生可以比较轻松的建立新的模型，在建模方面难度较低，为下一题做铺垫，但是在计算最值时，需用到不等式、配方或导数等知识，是对各方面知识的整合. 所以在学生独立思考的基础上进行分组活动，即能让学生互通有无，又可让学生在讨论的过程中碰撞出新的智慧的火花，激发学生的学习兴趣，培养学生的自信，体验成功的乐趣.体现出新课程“把学习的主动权还给学生,一切以学生为主体，教师是参与者，引导者”的理念. 通过练习，检验例1学习的成果，进一步学习分段函数模型在实际问题中的应用.让学生体会在分段函数中对自变量合理分段的重要性. （3）题涉及到二次建模，鼓励学生完成，通过适当的评价，让学生体会成功，信心加倍.

师：设置问题，鼓励学生分析、讨论.ppt展示例题提升1. 为了保护环境，发展低碳经本题的关键词句. 济，某单位在国家科研部门的支持下，生：分组思考、讨论并进行技术攻关，新上了把二氧化碳处在组内达成共识，形成理转化为一种可利用的化工产品的项结论. 目，经测算，该项目月处理成本y(元)师：巡视，了解学生的与月处理量x(吨)之间的函数关系可近认知情况，适时的进行点评、指导. 似地表示为y＝

生：请一位学生上讲台，132x－80x＋5 040x，x∈[120，144，利用实物投影，讲解该3题的思维及解题过程. 12x－200x＋80 000，x∈[144，500]，2师：适时地评价，鼓励且每处理一吨二氧化碳得到可利用的学生. 师：结合图像进一步理化工产品价值为200元，若该项目不解分段函数. 获利，国家将给予补偿．

（一）分段函数模型



(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？

(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

师：提问：如果题中没有给出数学模型，你还件的成本为40元，出厂单价定为60会做吗？

元，该厂为鼓励销售商订购，决定当生：思考，独立完成. 一次订购量超过100个时，每多订购师：巡视，了解学生完一个，订购的全部零件的出厂单价就成情况.特别观察学生降低0.02元，但实际出厂单价不能低在（2）题中对自变量的分段是否正确. 于51元．

(1)当一次订购量为多少个时，零件的

师：用实物投影展示学生的完成情况，并进行实际出厂单价恰降为51元？

点评. (2)设一次订购量为x个，零件的实际练一练1：某厂生产某种零件，每个零出厂单价为y元，写出y关于x的函数表达式；

※(3)当销售商一次订购500个零件时，

3

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该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？

点评分段函数模型解决实际问题

（二）指、对数函数模型

例题提升2. 某个商家计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x0）万元时，在经销A、B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与师：对分段函数解决实际问题做小结. 师：设置问题

生：独立思考后组内讨论. 师：请一位同学口述解题过程，教师板书规范的解题过程. 师:点评. 小结提升

此题给出了数学模型，在第（2）题中学生能比较轻松的建模，为下一题做铺垫. (2)题解模的过程需用到导数的知识，培养学生综合应用知识的能力. g(x)万元，其中

f(x)a(x1)2,(a0)额为零时，收益为零. （精确到0.1，参考数据：ln31.10）

(1)

求a,b的值；

(2)

如果该商家准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收益的最大值.

练一练2.某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：

(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；

(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；

(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；

(参考数据：

1.012≈1.127，lg 1.2≈0.079， lg 1.012≈0.005)

点评指、对数函数模型解决实际问题

4、课堂总结

10,g(x)6ln(xb),(b0)，已知投资生：独立完成. 师：巡视，了解学生的掌握情况，发现问题.用实物投影展示学生的答案. 师：补充、点评. 由浅及深，不断深入的解决问题，通过这种练习使学生能够加深对知识的理解和对知识的迁移，以及对方法的熟练及总结. 师：提炼解决增长率问题的方法. 生：总结. 师：补充，提升. 提炼方法

本环节有知识总结和方法总结两部分，通过小结本课内容，力图达到使学生对知识结构进行整理，强化数学方法的目的.

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5、达标检测

生：独立完成，检验自1.下列函数中，随x增大，增长速度最快己本堂课的学习效果及是否完成了复习目标. 的是（

）

A. yex

B. ylnx

C. yx100

D. y2x

2.(课本改编题)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是______________．

3.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是(

)

检测学生对本节课知识的掌握和过手情况，检查是否完成了复习目标，为课后的辅导和下节课的安排做好准备.

※4. (2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)

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6、思考提升: 描述学习某学科知识的掌握程度，有时可用函数

生：学有余力的学生课后思考完成. 这是一道高考题，是对本节课内容的灵活应用，通过思考加深对知识的理解. 体现分层教学，从不同的层次和侧面拓展思维，提升学生的学习能力. a0.115ln,x6axf(x)表x4.4,x6x4示，其中x表示某学科知识的学习次数(x

∈N*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．量 f(x＋1)－f(x)总是下降；

(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．

七、板书设计

函数模型及其应用

一、分段函数模型

板书要点：定义域分段，端点值

二、指、对数函数

板书例题提升2的解题过程.

(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长

分析问题区域

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