习题3.1教案及板书设计

3.1方程的根与函数的零点

章燕

【教材分析】

函数是中学数学的核心概念。核心的原因之一就在于函数与其知识据有关烦的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起。

本节课是在学生学习了函数的性质，具备初步的数形结合知识，了解方程的根与函数零点之间的关系的基础上，结合函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础。

因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要．

【教学目标分析】

根据本节课教学内容的特点以及新课标对本节课的教学要求，结合以上对教材以及学情的分析，我制定以下教学目标：

知识与技能目标：巩固方程的根与函数零点之间的关系，学会函数零点存在的判定方法，理解利用函数单调性判断函数零点的个数。

过程与方法目标：经历“类比——归纳——应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，感悟有具体到一抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力。

过程与方法目标：培养学生自主探究，合作交流的能力，培养学生严谨的科学态度。

【教学重点分析】

教学重点：因为函数的零点与方程的关系至关重要，为下面二分法的学习奠定基础，因此我把本节教学重点定为判定函数零点存在及其个数的方法。

教学难点：为了培养学生的探究精神，让学生体验学习的快乐和成果，故本节难点定为探究发现函数零点的存在性，利用函数单调性判断函数零点的个数。

【教法分析和学法指导】

结合本节课的教学内容和学生的和认知水平，在教法上，我借助多媒体和几何画板软件，采用“启发—探究—讨论”式教学模式，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体。

在学法上，我以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，着眼于学生的学习体验，精心设置一个个问题链，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的机会。

【教学过程设计】

问题1：求方程间的联系？

学生通过观察分析易得：方程的实数根就是函数的图像与的实数根，画出函数的图像；并观察他们之x轴交点的横坐标

[设计意图说明]通过学生熟悉的二次函数的图像和二次方程让学生观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根和函数图象之间的关系。理解零点是连接函数与方程的结点。

初步提出零点的概念：-1，2既是的根，又是函数在y=0时x的值，也是函数图象与x轴的交点横坐标。-1,2在方程中称为实数根，在函数中称为零

点。

问题2：对于一般的一元二次方程和相应方程这种关系是否成立？

[设计意图说明]利用几何画板，学生从动态的角度体会方程的跟与函数的零点之间的关系。

引出函数零点的定义

对于函数y=f(x)，我们把使f(x）=0成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点

方程f(x)=0有实数根<=>函数y=f(x)的图像与x轴有交点<=>函数y=f(x)有零点

问题3：求函数零点

(1) (2) (3)

对于（1）（2）小题，学生容易求的函数零点，而（3）小题学生则意识到无论用代数还是几何方法入手，再不借助计算机的前提下，不易求得函数零点。

[设计意图说明] 借助这个练习题既巩固检测了学生对知识点的掌握情况，又引发学生认知冲突，引出本节课题，为新课的教学作好铺垫。

问题4：当A、B与x轴满足怎样的位置关系时AB间的一段函数图象与x轴会有交点。

通过观察，学生不难发现只要满足A、B两点在X轴两侧这种位置关系就可以达到要求，这种位置关系等价f(a)·f(b)<0来表示。

结合图像，请同学们用恰当的语言表述如何判断函数在某个区间上是否存在零点？

学生容易表述为：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点

[设计意图说明] 将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，同时由原来的图形语言抽象成数学语言，再转换成函数图像。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。体验语言转化的过程，启发学生自主发现函数零点的判定方法，培养学生自主探究和归纳创造的能力。

问题5：仅满足f(a)·f(b)<0可以确定有零点吗？

引导学生构造反例：

强调判定条件——图像是连续不断的一条曲线。

[设计意图说明] 让学生体验从现实生活中抽象成数学模型时，需要一定修正。同时问题设计层层递进，有助于学生理解概念，学生经历总结方法，发现缺陷，完善方法的过程，利于知识的理解和掌握，也培养了学生归纳概括能力。

通过上述研究，学生可以自己概括出函数零点存在的定理：

如果函数f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数在区间（a,b）内有零点，即存在，使得f(c)=0,这个c也是方程f(x)=0的根。

为了加深对概念的认识，我设计如下三个问题，请同学们分组讨论：

（1）函数具备了哪些条件，就可确定它有零点存在呢？

（2）若函数f(x)在区间内有零点，

一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？

（3）如果函数具备上述两个条件时，函数零点的个数是惟一吗？

[设计意图说明]这四个问题对学生而言存在一定的挑战，但对定理的解却至关重要，通过教

师的设问让学生进一步全面深入地领悟定理的内容。同时鼓励学生相互之间合作交流，培养学生的合作学习的能力。

问题6：为了加深概念，提高学生的应用意识，我们再次回到问题3第三小题

已知函数f(x)=lnx+2x-6试判断函数零点的个数？并说明。

[设计意图说明]针对疑难学生进一步领悟，并学会初步利用函数的单调性判断零点的个数。教师可结合几何画板作出相应函数的图象分析其零点问题，让学生对函数的零点判断形成更加直观认识．

题组练习

题组1 1. 函数的零点是（）

A．（-1，0） B.（3，0） C.x=3 D -1和3 2. 函数的零点是（）

A 1 B 2 C 3 D 不确定

题组2 已知函数

(1)m为何值时，函数有两个零点？

(2)若函数恰有一个再远点右侧，求m的值

[设计意图说明] 立足教材，选取难易适当且适量的习题，给学生提供一个完整运用知识的平台，从而帮助学生进一步落实基本知识，提高基本能力。

归纳小结

（1）方程f(x)=0有实数根<=>函数y= f(x)的图像与x轴有交点<=>函数y= f(x)有零点

（2）f(x)连续且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在（a,b）内存在零点

（3）f(x)连续且f(a)·f(b)<0且f(x)单调，则函数f(x)在（a,b）内存在唯一零点

[设计意图说明]小结是一堂课的概括和总结，有利于优化学生的认知结构，能把课堂所学的知识与方法较快转化为学生的素质，也更进一步培养学生的归纳概括能力。

课后作业，自主学习p88

2

同步3.1 [设计意图说明]对课后作业实施分层设置，分必做和思考，利于拓展学生的自主发展的空间。

【教学反思】

方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容，表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生能够真正理解，教学还需要妥善处理其中的一些问题。首先要让学生认识到学习函数的零点的必要性其次教学要把握内容结构，突出思想方法像这些中学新增内容的教学，需要一个不断实践以及实践后的反思的过程，在实践与反思的过程中，不仅要妥善解决上述问题，还要不断地发现和解决新的问题，这样，教学效果才会逐步得到改善。