习题3.1教学设计(第一课时)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

本溪高中高一数学组

1、一元二次方程2ax2bxc0根的分布情况

设方程axbxc0a0的不等两根为x1,x2且x1x2，相应的二次函数为fxax2bxc0，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

分布情况两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0x10x2

x10,x20

x10,x20

a0）

a0）

大致图象（得出的结论0b0

2af000b0

2af00f00

大致图象（得出的结论0b0

2af000b0

2af00f00

综合结论（不讨论a0b0

2aaf000b0

2aaf00af00

）

表二：（两根与k的大小比较）

分布情况两根都小于k即

两根都大于k即

一个根小于k，一个大于k即

x1k,x2k

x1k,x2k

x1kx2

a0）

a0）

大致图象（kkk

得出的结论0bk

2afk00bk

2afk0fk0

大致图象（得出的结论0bk

2afk00bk

2afk0fk0

综合结论（不讨论a0bk

2aafk00bk

2aafk0afk0

）

表三：（根在区间上的分布）

分布情况两根都在m,n内

两根有且仅有一根在m,n内

一根在m,n内，另一根在p,q（图象有两种情况，只画了一种）

内，mnpq

a0）

a0）

需满足的条件是

大致图象（得出的结论0fm0fn0

bmn2afmfn0

fm0fmfn0fn0或

fpfq0fp0fq0

大致图象（得出的结论0fm0fn0

bmn2afmfn0

fm0fmfn0fn0或

fpfq0fp0fq0

综合结论（不讨论——————

fmfn0

fmfn0

fpfq0a）

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m,n外，即在区间两侧x1m,x2n，（图形分别如下）

fm0fm0（1）a0时，；

（2）a0时，

fn0fn0

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：

（1）两根有且仅有一根在m,n内有以下特殊情况：

1

若fm0或fn0，则此时fmfn0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间m,n内，从而可以求出参数的值。如方程mxm2x202在区间1,3上有一根，因为f10，所以mx2m2x2x1mx2，另一根为得22，由13mm2m2即为所求；

32

方程有且只有一根，且这个根在区间m,n内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程x24mx2m60有且一根在区间3,0内，求m的取值范围。分析：①由f3f00即1532；②由0即16m42m60得出m1或m，当14233m1时，根x23,0，即m1满足题意；当m时，根x33,0，故m不满足题意；2215综上分析，得出3m或m1

1414m15m30得出3m

根的分布练习题

例1、已知二次方程2m1x2mxm10有一正根和一负根，求实数m的取值范围。

2解：由

2m1f00

即

2m1，从而得m10

1m1即为所求的范围。

2例2、已知方程2xm1xm0有两个不等正实根，求实数m的取值范围。

2

解：由

02m18m0m1m322或m3220



m122m0m0f000m322或m322即为所求的范围。

例3、已知二次函数ym2x22m4x3m3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。

解：由

m2f10

即

m22m10



2m

例4、已知二次方程mx2m3x40只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。

21即为所求的范围。

2解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则f0f10



43m10



m求范围。

1即为所3（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由0计算检验，均不复合题意，计算量稍大）

2、二次函数在闭区间m,n上的最大、最小值问题探讨

设fxax2bxc0a0，则二次函数在闭区间m,n上的最大、最小值有如下的分布情况：

mnb

2ambbn即m,n

2a2abmn

2a（1）若（2）若另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越小。

二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。

例1、函数fxax2ax2ba0在2,3上有最大值5和最小值2，求a,b的值。

2解：对称轴x012,3，故函数fx在区间2,3上单调。

（1）当a0时，函数fx在区间2,3上是增函数，故b25fxmaxf2（2）当a0时，函数fx在区间2,3上是减函数，故





fxf33ab22min

图象

最大、最小值fxmaxfm

fxmaxmaxfn,fm

fxmaxfn

fxminfnbfxminf2afxminfm

对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：

bbbm,n，则fxmaxmaxfm,f,fn，fxminminfm,f,fn；

2a2a2abm,n，则fxmaxmaxfm,fn，fxminminfm,fn

2a二次函数在闭区间上的最值练习

fxmaxf33ab25a1







；

fxf22b2b0mina1

b3

例2、求函数fxx22ax1,x1,3的最小值。

解：对称轴x0a

（1）当a1时，yminf122a；

（2）当1a3时，yminfa1a2；

（3）当a3时，yminf3106a

改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？

解：（1）当a2时，fxmaxf3106a；

（2）当a2时，fxmaxf122a。

2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？

解：（1）当a1时，fxmaxf3106a，fxminf122a；

（2）当1a2时，

fxmaxf3106a，fxminfa1a；

2（3）当2a3时，fxmaxf122a，fxminfa1a；

2（4）当a3时，

fxmaxf122a，fxminf3106a。

例3、求函数yx24x3在区间t,t1上的最小值。

解：对称轴x02

2（1）当2t即t2时，yminftt4t3；

（2）当t2t1即1t2时，yminf21；

2（3）当2t1即t1时，yminft1t2t

例4、讨论函数fxxxa1的最小值。

2x2xa1,xa解：fxxxa12，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为xaxxa1,2直线x111111，x，当a，a，a时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）

222222

（1）当a12时，fx13minf24a；

（2）当12a12时，fxminfaa21；

（3）当a12时，fx13minf24a

因此，

以上内容是自己研究整理，有什么错误的地方，欢迎各位指正，不胜感激！