习题2.1教学设计

第二章

基本初等函数

2.1指数函数

2.1.1 指数与指数幂的运算

【学习目标】

1.通过学习理解掌握n次方根和n次根式的概念；

2.通过掌握n次根式的性质，运用它进行简单的化简运算；

【重点难点】

重点：根式的概念及n次方根的性质。

难点：n次方根的性质应用。

【学情分析】

在中学阶段已经接触过正数指数幂的运算，但是这对我们指数函数是远远不够的，通过本节课使学生对指数幂的运算和理解更加深入。

【导学流程】

自主学习内容

一.回顾旧知：

一．一个正数有 个平方根，它们互为 。0有 个平方根，是 。

负数 平方根。

2.一个数的平方运算，在a=x中x叫做 ，2叫做 ，a叫做 。

3.一个数的平方根运算，在x=二、基础知识感知

1．n次根式和n次方根的概念

一般地， ，那么x叫做a的n次方根，

(n1,nN)．

（1）

若n是奇数，则a的n次方根记作 ；

若a0则 ，若a0则 ；

（2）若n是偶数，且a0则a的正的n次方根记作 ，a的负的n次方根，记作： ；

（3）

若n是偶数，且a0则 没意义，即负数没有偶次方根；

（4）0的任何次方根都是0，记作 . （5）

式子 叫根式，n叫根指数，a叫被开方数．

2a中a叫做 ，x叫做 。

二．分数指数幂

(1)正数的正分数指数幂的意义

a是a的n次方根，即a＝_____(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

(2)正数的负分数指数幂和零的分数指数幂．

①a-mnmmnmn＝ (a>0，m，n∈N，且n>1)；

*②0的正分数指数幂等于 ；

③0的负分数指数幂 ．

3、根式的性质

（1） (a)＝________(n∈N，且n＞1) （2）当n为奇数时，a＝ ；当n为偶数时，a＝ ． 三．探究问题 探究一：根式的化简 【例1】根式的化简与计算

42（ab）（1-2）（1） （2）

nn*nnnn

探究二：根式与分数指数的互换

【例2】将下列根式化为分数指数幂形式

（1）aa （2）aa

四、基础知识拓展与迁移

24（xy）xy-27813下列说法：①=3；②16的4次方根是±2；③；④

32323其中正确的有 （填写正确说法的序号）．

小组讨论问题预设

-x31.化简x的结果为(

)。

A－－x B.x C．－x D.－x

提问展示问题预设

1.用根式的形式表示下列各式（a>0）

(1)a= . (2)a=

. (3)a= . (4)a= . 3234-56-23

课堂训练问题预设 6(1) 1－π＝________．

355666(2)若b>a，则化简(（a－b）)＋(b－a)＝______．

整理内化

1.课堂小结 2.本节课学习过程中的问题和疑难

【课后限时练】限时50分钟

第Ⅰ部分 本节知识总结

第Ⅱ部分 基础知识达标

一、选择题(每题7分，共56分) 41．下列说法：①16的4次方根是2；②16的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，nna对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，a只有当a≥0时才有意义．其中正确的是(

) A．①③④

B．②③④

C．②③

D．③④

2.已知x＝16，则x＝(

) A．22 B.16 C．－16 D．±16

3.计算577723的结果是（ ）

55 D.

2213A.5 B.5 C.

4.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(

) 42365A.m B.m C.m D.－m

5.4-24运算的结果是(

) A．2 B．－2 C．±2 D．不确定

6．下列各式正确的是(

) 33445566A．(a)＝a B．(7)＝－7 C．(a)＝|a| D.a＝a

47．若3

) A．7－2a B．2a－7 C．1 D．－1 8．将

－22化为分数指数幂，其形式是(

) 1111

－

－

2222A．2 B．－2 C． 2 D．－2 二．填空题（每题7分，共14分）

9.324b(2b1)（1

x2xxx2 . 三．解答题（共30分）

11.（20分）求下列各式的值：

（1)

(3)

12.（10分）求使等式

323； (2)

ab；

2aaa

（a>0） （4）ab 2a3a29＝(3－a)a＋3成立的实数a的取值范围．

2.2指数函数

本节课是高中《数学必修一》（人教A版）第二章第二节《指数函数及其性质》的内容。函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是

学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数及其图象与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数、幂函数以及等比数列的性质打下坚实的基础，起到承上启下的作用。

1.教学重点：指数函数的概念、图象、性质及其运用。

2.教学难点：指数函数图象和性质的发现过程及图象与底的关系。

一．问题导学

知识点一

指数函数

思考

细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？

答案

y＝2x.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好反过来．

梳理

一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

知识点二

指数函数的图像和性质

思考

函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？

答案

函数的性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性．可以通过描点作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般．

梳理

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质：

a>1

0

图像

(1)定义域：R

(2)值域：(0，＋∞)

性质

(3)过点(0,1)，即x＝0时，y＝1

(4)当x>0时，y>1；

x<0时，0

(5)是R上的增函数

(4)当x>0时，0

x<0时，y>1

(5)是R上的减函数

知识点三

不同底指数函数图像的相对位置

思考

y＝2x与y＝3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？

答案

经描点观察，在y轴右侧，2x<3x，即y＝3x图像在y＝2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y＝2x在y＝3x图像上方．

梳理

一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图像时，图像的相对位置与底数大小有如下关系：

(1)在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图．

1x(2)指数函数y＝a与y＝a(a＞0且a≠1)的图像关于y轴对称．

x知识点四

比较幂的大小

思考

若x1

梳理

一般地，比较幂大小的方法有

(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．

(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图像的变化规律来判断．

(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．

二．例题讲解

例1：已知指数函数

分析：要求代入，即可求得例2：比较下列各题中的个值的大小

（1）1.72.5

与

1.73

( 2 )与

(3 )

1.70.3

与

0.93.1

再把0，1，3分别（＞0且≠1）的图象过点（3，π），求

例3.截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？

分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：

1999年底

人口约为13亿

经过1年

人口约为13（1+1%）亿

经过2年

人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿

经过3年

人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿

经过年

人口约为13(1+1%)亿

经过20年

人口约为13(1+1%)20亿

解：设今后人口年平均增长率为1%，经过年后，我国人口数为

亿，则

当=20时，

答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.

小结：类似上面此题，设原值为N，平均增长率为P，则对于经过时间后总量，＞0且≠1）的函数称为指数型函数

.

三．达标检测

1．下列各函数中，是指数函数的是(

)

A．y＝(－3)x

B．y＝－3x

1C．y＝3x－1

D．y＝3x

2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( A．a>0，且a≠1

B．a≥0，且a≠1

11C．a>2，且a≠1

D．a≥2

考点

指数函数的概念

题点

根据指数函数的定义求参数

答案

C

x13．下面关于函数y＝2与y＝2x的性质的说法不正确的是(

)

A．定义域都是R

B．值域都为R

C．单调性不同

D．均过点(0,1)

考点

指数函数的性质

题点

指数函数的性质

答案

B

解析

值域都为{y|y>0}．

4．若则a，b，c的大小关系是(

)

A．a＞b＞c

B．a

C．a

D．b

)

(第二课时)

本节课是高中《数学必修一》（人教A版）第二章第二节《指数函数及其性质》的内容。函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数及其图象与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数、幂函数以及等比数列的性质打下坚实的基础，起到承上启下的作用。

1.教学重点：指数函数的概念、图象、性质及其运用。

2.教学难点：指数函数图象和性质的发现过程及图象与底的关系。

二．知识梳理

1.指数函数定义：一般地，函数（且）叫做指数函数。

2.指数函数有哪些特征？

答案：①底数：大于零且不等于1的常数；

②指数：自变量，且为单个；

③系数：1；

④项数：只有一项

3.指数函数的图像与性质：

函数

图

象

定义域

值域

定点

性

质

单调性

取值

情况

对称性

典题探究

类型一

指数函数的概念

例3.(1)下列一定是指数函数的是(

)

A．y＝ax

B．y＝xa(a>0且a≠1)

函数与的图象关于轴对称

在上是减函数

在上是增函数

若若，则，则

若若，则，则

1xC．y＝2

D．y＝(a－2)ax

(2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(

)

A．a＝1或a＝3 B．a＝1

C．a＝3 D．a>0且a≠1

【精彩点拨】

根据指数函数的定义判断、求解．

【答案】

(1)C (2)C

方法规律：1．指数函数具有形式上的严格性，在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住四点：

(1)底数是大于0且不等于1的常数；

(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；

(3)ax的系数必须为1；

(4)指数函数不会是多项式，如y＝ax＋1 (a>0且a≠1)不是指数函数．

2．求指数函数的解析式常用待定系数法．

类型二

指数函数的定义域和值域

例2.求下列函数的定义域和值域：

(1)y＝；

2(2)y＝3；

(3)y＝4x＋2x1＋2.

＋【精彩点拨】

―→指数函数

【自主解答】

(1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝的定义域为(－∞，0]．

因为x≤0，所以0<3x≤1，

所以0≤1－3x<1.

所以∈[0,1)，

即函数y＝的值域为[0,1)．

(3)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x1＋2的＋＋定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，

＋即函数y＝4x＋2x1＋2的值域为(2，＋∞)．

＋方法规律：

1．求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．

2．函数y＝af(x)的值域的求解方法如下：

(1)换元，令t＝f(x)；

(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；

(3)求t＝f(x)的值域t∈M；

(4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．

3．求与指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其它函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．

类型三

与指数函数有关的最值或值域问题

a－2x例3.已知函数f(x)＝1＋2x(a∈R)，且x∈R时，总有f(－x)＝－f(x)成立．

(1)求a的值；

(2)判断并证明函数f(x)的单调性；

(3)求f(x)在[0,2]上的值域．

【精彩点拨】

(1)根据条件建立方程关系即可求a的值；

(2)根据函数单调性的定义判断并证明函数f(x)的单调性；

(3)结合函数奇偶性和单调性的定义即可求f(x)在[0,2]上的值域．

a－2－xa－2x【自主解答】

(1)∵f(－x)＝－f(x)，∴1＋2－x＝－1＋2x，

a·2x－12x－a1－2x即1＋2x＝1＋2x，∴a＝1，∴f(x)＝1＋2x.

方法规律：

1．指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．

2．证明指数函数与其它函数复合而成的函数的单调性，一般用函数单调性的定义进行．

三．达标检测

1|x|1．设f(x)＝2，x∈R，那么f(x)是(

)

A．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数

D．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

1|x|1|－x|1|x|【解析】

∵f(x)＝2，x∈R，∴f(－x)＝2＝2＝f(x)，故f(x)为偶函数，当x＞0时，1xf(x)＝2，是减函数，故选D.

【答案】

D

2．下列判断正确的是(

)

A．1.72.5＞1.73

C．π2＜π

B．0.82＜0.83

D．0.90.3＞0.90.5

【解析】

∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.

【答案】

D

13．已知函数f(x)＝3x＋1＋a为奇函数，则常数a＝______.

11【解析】

∵函数f(x)＝3x＋1＋a为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝0，30＋1＋a＝10，a＝－2.

1【答案】

－2

4．函数y＝2|x|的单调减区间是________．

【答案】

(－∞，0]．

25．设函数f(x)＝a－2x＋1，

(1)判断并说明函数的单调性；

(2)确定a的值，使f(x)为奇函数及此时f(x)的值域．

2(2x1－2x2【解】

(1)任取x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(2x1＋1(2x2＋1，

∵x1＜x2，∴2即2 x1－2 x2 x1 x2＜2，

＜0，

x2＋1＞0，

又∵2 x1＋1＞0,2∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．

∴不论a为何值，f(x)总为增函数．

(2)∵f(x)为奇函数，

22∴f(－x)＝－f(x)，a－2－x＋1＝－a＋2x＋1，

－2解得a＝1，故f(x)＝1＋2x＋1在其定义域内是增函数，

当x趋向－∞时，2x＋1趋向1，f(x)趋向－1，

当x趋向＋∞时，2x＋1趋向＋∞，f(x)趋向1，

∴f(x)的值域(－1,1)．