探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系优质课教案整理

互为反函数的函数间的关系

潮州市松昌中学 吴玉荣

教学目标：

知识与技能：

（1）了解互为反函数的函数图像间的关系，并能利用这一关系，由已知函数的图像作出反函数的图像。

（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。

过程与方法：由特殊事例出发，由教师引导，学生主动探索得出互为反函数的函数图像间的关系，使学生探索知识的形成过程，本可采用自主探索，引导发现，直观演示等教学方法，同时渗透数形结合思想。

3、情感态度价值观：通过图像的对称变换是学生该授数学的对称美和谐美，激发学生的学习兴趣。

教学重难点：

教学重点：互为反函数的函数图像间的关系。

教学难点：发现数学规律。

教学过程：

例1、画出y3x2(xR)的图象，并求出反函数。

问题1、原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系？

问题2、在原函数定义域内任给定一个x0都有唯一的一个y0与之对应，即(x0,y0)在原函数图像上，那么哪一点在反函数图象上？

问题3、在y3x2任意取一点B(x0,y0)若连结BG，则BG与yx有什么关系？点B与点G什么关系？为什么？

1

结论1、

问题4、若不求反函数，能否画出y3x2(xR)的反函数的图象？如何画？

若对一个一般的函数图像你能根据上题的原理画出反函数的图像吗？如图是yx3的图像，请你猜想出它的反函数图像。

例2、根据图象判断函数yx2有没有反函数？为什么？对自变量加上什么条件才能有反函数？

问题5、什么样的函数具有反函数？

结论2、 问题6、通过上图我们发现保留yx2图像的单调递增的部分，那么它的反函数的单调性如何？ 再观察一下前面的的例题你能得到什么结论？

结论3、

2

例3、互为反函数的两函数间的关系

定义域

值 域

对应法则

yf(x)

A

yf1(x)

C

f:AC

f(a)b

f1:CA

图 象

结论4、

课堂练习

1、

判断正误

①函数yf1(x)的反函数是yf(x)

。 （ ）

1②任意的函数yf(x)一定存在反函数yf③函数yf(x)与xf1(x)

。 （ ）

(y)表示同一函数。 （ ） ④关于直线yx对称的两个图形一定是互为反函数的一对函数的图象。 （ ） ⑤因为函数yf(x)与其反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称，所以yf(x)与

yf1(x)的图象不能相交。 （ ） 2、y

2xx2(1x2)的反函数是

（ ）

B．y11x2(0x1)

A．y11x2(1x1)

C．y11x2(1x1) D．y11x2(0x1)

3．“函数f(x)(xR)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的（ B ）

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

4．设函数yf(2x1)的图象过点(,1)则yf

5.已知函数f(x)

121(x)的图象必过点 ax1x1的反函数是yf11(x)且f1()4 （1）求a的值；

33

（2）求f(x)的反函数f

1(x)及反函数的定义域，值域。

6.已知函数f(x)2x3，f1(x)是f(x)的反函数，若mn16（m，nR），则f1(m)f1(n)的值为（ A ）

A．2 B．1 C．4 + D．10

课后作业

1．函数y1x（0x4）的反函数是

（ ） A．y(x1)2（1x3） B．y(x1)2（0x4）

C．yx21（1x3） D．yx21（0x4）

2．函数f(x)2x4(x4)的反函数为 （ D ）

121x4(x0) (B) f1(x)x24(x2) 22121211（C）f(x)x2(x0) (D)f(x)x2(x2)

22（A）f1(x)

3. 设函数yf(x)的图象关于点(1,2)对称，且存在反函数，f(4)0则f

1(4)

4