小结教案公开课一等奖

《二次函数在闭区间上的最值》教学设计

新课标理念：教学过程是展示学生的过程，是让学生展示的过程。本着此出发点和归宿点，本节课借助多媒体辅助教学，采用“引导—探究式”教学方法。整个教学过程遵循“直观感知—操作确认—归纳总结”的认知规律，注重学生亲身经历知识的建构过程，注重发展学生的思考、探究、归纳总结能力，具体体现在以下几个方面：

1.二次函数在闭区间上的最值的求解策略和基本题型没有直接给出，而是通过简单的例题，借助动画演示，深入浅出，引导学生讨论交流，给学生充分活动的时间与空间，帮助学生从自己的实践中获取知识。教师只是适时引导、纠错、评析，使学生更好的参与教学活动，展开思维，这样不仅避免了学生死记硬背，而且使学生亲身经历知识的建构，从而体验探索的乐趣与成功的喜悦，增强学习数学的兴趣，更利于能力的形成和发展。

2.本节中教师不作例题示范，而是让学生先尝试完成，后讲评明晰。为更好地巩固求解策略的运用，设置了有梯度的练习，其中：“试试就能行”是三类题型的跟踪练习；“勇攀高峰”是这节课内容的一个拓展和延伸，意在提高学生综合处理问题的灵活和应变的能力。“更上一层楼”意在强化练习。教学中可针对学生的具体情况，调整讲课策略和进度。

3.以问题讨论的方式进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生多交流、多质疑、多概括。

4.作业分为巩固型和拓展型，这样，有助于培养学生的发散思维，也能使不同层次的学生都能得到很好的锻炼。

一、二次函数闭区间上的最值问题

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一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 2 设f，求f(x)在x[m

，n]上的最大值与最小值。()xaxbxc(a0) 分析：将f(x)配方，得对称轴方程xb

2a 当a0时，抛物线开口向上

若b[m，n]必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最2a大值；

若b[m，n]

2a 当a0时，抛物线开口向上，此时函数在[m，n]上具有单调性，故在离对称轴xb较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值。当2a时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结a0如下：

当a0时

f(x)maxb1f(m)，(mn)(如图1)2a2

b1f(n)，(mn)(如图2)2a2

2

bf(n)，n(如图3)2abbf()，mn(如图4)2a2abf(m)，m(如图5)2af(x)min

当a0时

bf(n)，n(如图6)2abbf()，mn(如图7)2a2abf(m)，m(如图8)2af(x)max

b1f(m)，(mn)(如图9)2a2f(x)min

b1f(n)，(mn)(如图10)2a21. 定二次函数在定区间上的最值

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

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2 例1. 函数y在区间0，3上的最大值是_________，x4x2最小值是_______。

22 例1：

解：函数y是定义在区间0，3x4x2(x2)2上的二次函数，其对称轴方程是x，顶点坐标为（2，2），且其图2象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为f(2)2，最小值为f(0)2。

22 例2. 已知2的最值。

x3x，求函数f(x)xx12 例2：

解：由已知2x3x，可得0x3，即函数f(x)是定义23在区间0，上的二次函数。将二次函数配方得21131f(x)x，其对称轴方程x，顶点坐标，222423，且图43象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间0，内，如图2所示。函数2319。

f(x)的最小值为f(0)1，最大值为f242 解后反思：已知二次函数f(（不妨设a0），它的x)axbxcb4acb2b图象是顶点为，、开口向上的抛物、对称轴为x4a2a2a线。由数形结合可得在m，n上f(x)的最大值或最小值：

（1）当bm，n时，f(x)的最小值是2a2acbb4)、f(n)中的较大者。

f，f(x)的最大值是f(m2a4a

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（2）当 若bm，n时

2abm，由f(x)在m，n上是增函数

2a 则f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)

若nb，由f(x)在m，n上是减函数

2a 则f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)

2. 动二次函数在定区间上的最值

二次函数随着参数a的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

2 例3. 已知x21，且a，求函数f(的最值。

20x)xax31x1，a2 例3：解：由已知有，于是函数f(x)是定义在区间1，1上的二次函数，将f(x)配方得：

2aa f(x)x3

242 二次函数f(x)的对称轴方程是xa

2aa2 顶点坐标为，3，图象开口向上

42a1的左侧 由a2可得x1，显然其顶点横坐标在区间1，2或左端点上。

 函数的最小值是f(，最大值是f(。

1)4a1)4a221上的最大()xax4axa1 例4. 已知二次函数f在区间4，值为5，求实数a的值。

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22 例4：

解：将二次函数配方得fx，其对称()a(x2)a4a12轴方程为x，顶点坐标为(，图象开口方向由a决定。22，a4a1)很明显，其顶点横坐标在区间4，1上。

若a0，函数图象开口向下，如图4所示，当x时，函数取得2最大值5 2 即f(

2)a4a15 解得a210

故a

210(a210舍去) 若a0时，函数图象开口向上，如图5所示，当x时，1函数取得最大值5 2 即f()

15aa151或a6 解得a

故a

1(a6舍去) 综上讨论，函数f(x)在区间4，1上取得最大值5时，a210或a1

解后反思：例3中，二次函数的对称轴是随参数a变化的，但图象开口方向是固定的；例4中，二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数a变化的。

3. 定二次函数在动区间上的最值

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

2t1上，求f(x)x)(x1)1 例5. 如果函数f(定义在区间t，的最小值。

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例5：

解：函数f(x)(x1)21，其对称轴方程为x1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

如图6所示，若顶点横坐标在区间t，t1左侧时，有1t。当xt时，函数取得最小值

fx()minft()(t1)21。

如图7所示，若顶点横坐标在区间t，t1上时，有t1t1，即0t1。当x1时，函数取得最小值

f()xminf(1)1。

如图8所示，若顶点横坐标在区间t，t1右侧时，有t11，即t0。当xt1时，函数取得最小值

fx()2minft(1)t1

(t1)21,t1 综上讨论，f(x)min1,0t1

t21t0 例6. 设函数f(x)x24x4的定义域为t2，t1，对任意tR，求函数f(x)的最小值(t)的解析式。

例6：

解：将二次函数配方得：

fx()x24x4(x2)28

其对称轴方程为x2，顶点坐标为(2，8)，图象开口向上

若顶点横坐标在区间t2，t1左侧，则2t2，即t4。当xt2时，函数取得最小值

f(t2)(t4)28t288t

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若顶点横坐标在区间t则t，即3。2，t1上，22t1t4当x2时，函数取得最小值

f(2)8

若顶点横坐标在区间t，即t3。当2，t1右侧，则t12时，函数取得最小值

xt122 ft

(1)(t3)8t61tt28t8(t4) 综上讨论，得(t)8(3t4) t26t1(t3)4. 动二次函数在动区间上的最值

二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。

222 例7. 已知y，且当x的a时，S4a(xaa)(0)(x3)y最小值为4，求参数a的值。

2 例7：

解：将y4ax(a)代入S中，得

S(x3)24a(xa) x22(32a)x94a2

x(32a)12a8a22 则S是x的二次函数，其定义域为x，对称轴方程为a，2，顶点坐标为(，图象开口向上。

x32a32a，12a8a) 若32，即0

aaa1212a8a4 则当x时，S

32a最小1

2 若32，即a

aa11 此时，a，或a

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2 则当x时，S

a(32a)128aa4a最小21，a1 此时，a，或a（因a舍去）

51 综上讨论，参变数a的取值为a，或a11，或a

52 另外，若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法。二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍。

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