习题2.3教学设计第二课时

2.3.2 幂函数

一、教学目标

111.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况；

2x2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．

二、重点梳理

1．幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

(2)常见的5种幂函数的图象

(3)常见的5种幂函数的性质

函数

特征

性质

定义域

值域

奇偶性

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式：

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．

(2)二次函数的图象和性质

解析式

f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)

f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) R

R

奇

R

[0，＋∞)

偶

R[来源:Zxxk.Com]y＝x y＝x2

y＝x3

1y＝x

2y＝x1

－

[0，＋∞)

[0，＋

∞)

非奇非偶

{x|x∈R，且x≠0}

{y|y∈R，且y≠0}

奇

R

奇

图象

定义域

值域

(－∞，＋∞)

(－∞，＋∞)

4ac－b，＋∞

4ab－∞，－上单调递减；

在2ab－，＋∞上单调递增

在2ab函数的图象关于x＝－对称

2a2－∞，4ac－b

4ab－∞，－上单调递增；

在2ab－，＋∞上单调递减

在2a2单调性

对称性

【必会结论】

1．一元二次不等式恒成立的条件

a＞0，(1)ax＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是

Δ＜0.2

a＜0，(2)ax＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是

Δ＜0.22．二次函数表达式的三种形式

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，顶点坐标为(－h，k))．

(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，x1，x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标)．

三、考点突破

高频考点一

幂函数的图象和性质

例1、(1)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2n的值为(

) A．－3

答案

B 解析

由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．故选B. (2)设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为(

) A．a＜c＜b

C．a＜b＜c

B．c＜a＜b

D．c＜b＜a

B．1

C．2

D．1或2 －3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则

答案

B 解析

由已知得a＝80.1，b＝90.1，c＝70.1，构造幂函数y＝x0.1，x∈(0，＋∞)，根据幂函数的单调性，知c＜a＜b.学科-网

12

【变式探究】(1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，，则k＋α等于(

) 2213A.

B．1

C.

22

D．2 11(2)若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是(

) 22－5－15－1A.－∞，

B.，＋∞

22C．(－1，2)

D.5－1

2，212解析

(1)由幂函数的定义知k＝1.又f＝22，

1α213所以2＝，解得α＝，从而k＋α＝. 2221(2)因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，

2且在定义域内为增函数，

2m＋1≥0，2所以不等式等价于m＋m－1≥0，

2m＋1>m2＋m－1.解得－5－1m≤或m≥2－1＜m＜2，即5－1≤m<2. 2答案

(1)C

(2)D 1m≥－，25－1

，2【方法规律】

(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；

(2)α的正负：当α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降．

(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．

【变式探究】

(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(

)

(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn

2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(

) A．－3 B．1 C．2

D．1或2

高频考点二

求二次函数的解析式

例2、已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．

解

解法一：(利用一般式) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，由题意得4ac－b4a＝8，2

a＝－4，解得b＝4，c＝7.

∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 解法二：(利用顶点式) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．

∵f(2)＝f(－1)，

2＋－11∴抛物线的对称轴为x＝＝. 221∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8. 21x－2＋8. ∴y＝f(x)＝a212－2＋8＝－1，解得a＝－4，

∵f(2)＝－1，∴a2

1x－2＋8＝－4x2＋4x＋7. ∴f(x)＝－42解法三：(利用两根式) 由已知f(x)＋1＝0两根为x1＝2，x2＝－1，

故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，

即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 4a－2a－1－a2又函数有最大值f(x)max＝8，即＝8. 4a解得a＝－4或a＝0(舍)．

∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【方法技巧】确定二次函数解析式的方法

根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：

【变式探究】

已知二次函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝0，f(1)＝1，求f(x)的解析式．

解

解法一：(一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

c＝0，a＋b＋c＝1，则b－2a＝1

a＝－1，⇒b＝2，c＝0，∴f(x)＝－x2＋2x.

高频考点三

二次函数的图象与性质

命题角度1

二次函数的单调性[来源:学科网]

例3、已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．

(1)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；

(2)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．

解

(1)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4. (2)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，

∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－4,6]，

x2＋2x＋3，x∈0，6]，且f(x)＝2

x－2x＋3，x∈[－4，0].

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，

单调递减区间是[－4,0]．

命题角度2

二次函数的最值

例

2、已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

A

命题角度3

二次函数中恒成立问题

例3、设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，则实数a的取值范围为________．

1答案

2，＋∞

22解析

由f(x)＞0，即ax2－2x＋2＞0，x∈(1,4)，得a＞－2＋在(1,4)上恒成立．

xx112122令g(x)＝－2＋＝－2x－2＋2，

xx111∈4，1，所以g(x)max＝g(2)＝，

x21所以要使f(x)＞0在(1,4)上恒成立，只要a＞即可．

2【方法技巧】二次函数的最值及恒成立问题

(1)解决二次函数最值问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．

(2)解决二次函数恒成立问题有两个解题思路：一是分离参数，思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；二是不分离参数，对参数进行分类讨论．

高频考点四

二次函数的应用

例4、

已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则xi＝(

) i＝1mA．0

B．m C．2m

D．4m

解析

由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象也关于直线x＝1对称，所以这两函数的交点也关于直线x＝1对称．

mx1＋xm不妨设x1

B

【方法规律】(1)对于函数y＝ax2＋bx＋c，若是二次函数，就隐含着a≠0，当题目未说明是二次函数时，就要分a＝0和a≠0两种情况讨论．

(2)由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min. (3)涉及二次函数的零点常与判别式有关，常借助函数的图象的直观性实施数形转化．[来源:Z+xx+k.Com]

【变式探究】(1)(已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对x∈[－3，1]，f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围为________．学=科网

(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，如果函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点，则m的取值范围是________．

(2)函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点可化为函数y＝f(x)的图象与直线y＝m恰有4个交点，作函数y＝f(x)与y＝m的图象如图所示，

故m的取值范围是(－1，0)．[来源学科网]

1－，4

(2)(－1，0) 答案

(1)2高频考点五、分类讨论思想在二次函数最值中的应用

例5、已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．

解

(1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0,1]上递减，

∴f(x)min＝f(1)＝－2.[2分]

1(2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x图象的开口方向向上，且对称轴为x＝. a111①当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0,1]内，∴f(x)在[0，]上递减，在[，1]上递增．

aaa1121∴f(x)min＝f()＝－＝－. aaaa1②当>1，即0

a∴f(x)min＝f(1)＝a－2.[9分] (3)当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，

1且对称轴x＝<0，在y轴的左侧，

a∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]上递减．

∴f(x)min＝f(1)＝a－2.[11分] a－2，

a<1，综上所述，f(x)min＝1

－，a≥1.a【方法与技巧】

1．二次函数的三种形式

(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．

(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式．

(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．

2．研究二次函数的性质要注意：

(1)结合图象分析；

(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论．

3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧

在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．

【失误与防范】

1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．

2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则

交点一定是原点．

【变式探究】已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求实数a的值．

解

当对称轴x＝a<0时，如图1所示，当x＝0时，y有最大值ymax＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，即a＝－1，且满足a<0，∴a＝－1. 当0≤a≤1时，如图2所示，当x＝a时，y有最大值ymax＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1.

1±5∴a2－a＋1＝2，解得a＝. 21±5∵0≤a≤1，∴a＝(舍去)．

2当a>1时，如图3所示．

当x＝1时，y有最大值．

ymax＝f(1)＝2a－a＝2. ∴a＝2，且满足a>1，∴a＝2. 综上可知，a的值为－1或2. 【方法技巧】二次函数在区间上的最值问题，可分成三类：①对称轴固定，区间固定；②对称轴变动，区间固定；③对称轴固定，区间变动.此类问题一般利用二次函数的图象及其单调性来考虑，对于后面两类问题，通常应分对称轴在区间内、左、右三种情况讨论.

【举一反三】设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．

解

f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1. 当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；

当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；

当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2. t＋1，t<0，综上可知，f(x)min＝1，0≤t≤1，t2－2t＋2，t>1.四、真题感悟

1．[2017·浙江高考]若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(

) A．与a有关，且与b有关

C．与a无关，且与b无关

答案

B B．与a有关，但与b无关

D．与a无关，但与b有关

2

1.【2016高考新课标3理数】已知a2，b4，c25，则（

）

（A）bac

（B）abc

（C）bca

（D）cab

【答案】A 432513

【解析】因为a244b，c2554a，所以bac，故选A．

ππ1．（2014·全国卷）若函数f(x)＝cos 2x＋asin x在区间6，2是减函数，则a的取值范围是________．

【答案】(－∞，2]

ππ【解析】f(x)＝cos 2x＋asin x＝－2sin2x＋asin x＋1，令sin x＝t，则f(x)＝－2t2＋at＋1.因为x∈6，2，11ππ，1，所以f(x)＝－2t2＋at＋1，t∈，1.因为f(x)＝cos 2x＋asin x在区间，是减函数，所以所以t∈22621aa1，1上是减函数，又对称轴为x＝，∴≤，所以a∈(－∞，2]．

f(x)＝－2t2＋at＋1在区间24422．（2014·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图像可能是(

)[来源学科网ZXXK]432325132323

A

B

C

D 【答案】D

【解析】只有选项D符合，此时0

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|，若a＝0，则f(x)＝|x|，此时f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；若a<0，1则二次函数y＝ax2－x的对称轴x＝<0，且x＝0时y＝0，此时y＝ax2－x在区间(0，＋∞)上单调递减且2ay<0恒成立，故f(x)＝|ax2－x|在区间(0，＋∞)上单调递增，故a≤0时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，条11件是充分的；反之若a>0，则二次函数y＝ax2－x的对称轴x＝>0，且在区间0，上y<0，此时f(x)＝|ax22a2a

111－x|在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减，故函数f(x)不可能在区间(0，＋∞)上单调递增，条2a2aa件是必要的．

4．（2013·湖南卷）函数f(x)＝2ln x的图像与函数g(x)＝x2－4x＋5的图像的交点个数为(

) A．3

B．2

C．1

D．0 【答案】B

【解析】法一：作出函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5的图像如图：

可知，其交点个数为2，选B. 法二：也可以采用数值法：

x f(x)＝2ln x g(x)＝x2－4x＋5 可知它们有2个交点，选B. 5．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(

) A．x0∈R，f(x0)＝0 B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形

C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减

D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0 【答案】C

1 0 2 2 2ln 2＝ln 4>1 1 4 ln 42<5 5

6．（2013·北京卷）函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(

) A．ex1

B．ex1

C．e＋－－x＋1

D．e－x－1

【答案】D

【解析】依题意，f(x)向右平移一个单位长度得到f(x－1)的图像，又y＝ex的图像关于y轴对称的图像的解析式为y＝ex，所以f(x－1)＝ex，所以f(x)＝e－－－x－1.