阅读与思考 中外历史上的方程求解课堂实录

《函数的零点》课堂教学设计

李文军

一．教学目标

知识与技能:（1）通过对二次函数增图像的描绘，理解函数零点的概念，体会我们在研究和解决问题过程的一般思维方法。

（2）通过对一般函数图像的描绘分析，领会函数零点与相应方程之间的关系，掌握零点存在的判定条件。

（3）培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。

过程与方法: 通过画函数图像，分析零点的存在性。

情感态度与价值观: 使学生再次领略“数形”的有机结合，渗透由抽象到具体的思想,理解动与静的辨证关系,体会数学知识之间的紧密联系。

二．教学重点

重点：理解零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点．

难点：探究发现函数存在零点的方法及函数零点的应用

具体流程设计

一、创设情境

画函数yx22x3的图像，并观察其图象与其对应的一元二次方程x22x30的根的关系。

y y

[师生互动] 师：引导学生通过配方，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系。

生：独立画图，独立思考。

O x O x O x

设计意图：通过数与形的结合说明函数图像与性质的关系。

再次利用《几何画板》绘制函数yx22x1、yx22x3的图像，并观察它们的图像与对应的一元二次方程x22x10、x22x3=0的根的关系。

[师生互动] 师：引出零点的概念，将上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

生：完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．

设计意图：利用《几何画板》的帮助，使学生的认知起点与新知识平顺对接，形成零点概念的初步认识。几个特殊的函数与方程又具有很强的概括性，包括方程有两不相等的根、两相等的根、无根的情况，研究它们有利于培养学生思维的完整性，为学生

归纳方程与函数的关系铺好了台阶。

二、组织探究

对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(zero point)．

函数零点的意义：

函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标．即：

方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

[师生互动] 师：引导学生仔细体会理解零点的概念，进而感悟其中的思想方法

生：结合图像认真理解函数零点的意义，并对零点出现的条件进行思考，根据函数零点的意义探索其求法．

设计意图：通过函数零点概念的形成过程，让学生对零点的概念由初步的认识到掌握，并且对一般概念的形成过程有一个更深刻的认识

三、意义构建

函数零点的求法：

求函数yf(x)的零点：

1

（代数法）求方程f(x)0的实数根；

○2

（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的○图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

[师生互动] 师：引导学生就将由图象得到的概念进一步深化，得到函数零点的求法。

生：得到函数零点的求解方法，第一:代数法,即求解函数对应的方程；

第二：几何法，画出函数图像，找出零点。

设计意图：深刻认识图象与函数性质的关系，并掌握用几何法求函数的零点。

二次函数yax2bxca0零点个数的判定方法：

一元二次方程

判别式

b24ac0

b4ac0

b24ac0

2二次函数

ax2bxc0a0

有两个不相等的实根

有两个相等的实根（重根）

没有实根

yax2bxca0

有两个零点

有一个二重的零点或有二阶零点

没有零点

[师生互动] 师：引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况．

生：根据函数零点的意义，探索研究二次函数的图像的性质，完全独立完成对二次函数零点情况的分析

，总结概括形成结论，并进行交流。

设计意图：让学生对特殊的函数零点产生直观认识，深化零点概念

四、探索研究

（Ⅰ）观察二次函数f(x)x22x3的图象

y ①在区间[3,1]上有零点______；f(3)______，．

f(1)_______,f(3)f1_____0（或）O x ②在区间[2,4]上有零点______；f(2)·f(5)____0（或）．

结论：二次函数零点的性质

（1）当函数的图象通过零点时（不是二重零点）函数的值变号. （2）相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

（Ⅱ）观察下面函数yf(x)的图象

y ①在区间[a,b]上______(有/无)零点；f(a)·f(b)_____0（或）．

a b O c d x ②在区间[b,c]上______(有/无)零点；f(b)·f(c)_____0（或）．

③在区间[c,d]上______(有/无)零点；f(c)·f(d)_____0（或）. 结论：零点存在性定理 如果函数yfx在区间a,b上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有fafb0，那么，函数yfx在区间a,b内至少存在一个零点，即存在ca,b，使得fc0，这个c也就是方程fx0的根. 注意：（1）此性质成立的前提：函数图象是连续不间断的一条曲线；

（2）零点c并不一定是唯一的，但一定存在；

（3）fafb0是函数yf(x)在区间a,b内有零点的充分条件。但是若函数yf(x)是一次、二次函数时，则fafb0是函数yf(x)在区间a,b内有零点的充要条件。

[师生互动]

师：引导学生结合教师所提出的问题及函数图像，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系。

生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析。

设计意图：如何由函数零点的概念过度到函数零点的判定方法是本节课的难点，这样设计，有得于营造气氛，调动学生的积极性，内容由浅入深，既展现了知识的形成过程，又体现了能力的培养，符合素质教育的思想。

五、例题研究

例题1：求函数yx22x3的零点，并指出y0，y0时，x的取值范围. y 解：由x22x30得，x13,x21

∴函数yx22x3的零点为-3，1. O yx2x3=x14,画出图象，

22x 由图象观察可得：当3x1时，y0

当x3或x1时，y0，∴函数的零点为-3 ，1 y0时，x的取值范围是3,1

y0时，x的取值范围是,31,. y 8 6 4 2 -4 -2 O -2 -4 -6 2 4 6 x 例题2：求函数yx32x2x2的零点，并画出它的图象. ∵x32x2x2x2x2x2

x2x21

x2x1x1

∴函数的零点为-1,1,2

三个零点把x轴分成四个区间：,1，1,1，1,2，2,

列表描点连线

x 

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 

y 

-4.38 0 1.88 2 1.13 0 -0.63 0 2.63 

说明：求三次函数的零点关键是能正确地进行因式分解,而作它的图象，可先由零点分析出函数值的正负变化情况，再进行适当的取点。

因式分解的方法主要有：提取公因式法，分组分解法，公式法，十字相乘法等. [师生互动] 师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．

生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．

设计意图：体现零点存在的判定思想，让学生自己动手做数学，玩数学，体会数学，感受成功，在这些综合性、趣味性强的练习中，充分体现了尝试教学和愉快教学。

六、尝试练习 1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：

（1）x23x50；

（2）2x(x2)3；

（3）9x26x；

（4）5x22x3x25

2．求出下列函数的零点，并画出函数的草图：

（1）f(x)x33x3；

（2）yx(x1)(x2)；

（3）y(x1)(x1)2(x3)；

（4）f(x)3(x2)(x3)(x4)x． [师生互动] 师：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数，并再次明确学习目标

生：认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用，并总结出确定函数零点的一般步骤。