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y=ax+b/x(常数a>0,b>0)函数（教案）

【教学目标】：

知识与技能：1、以函数yx1为载体，进一步熟悉研究函数性质的基本方法；

x 2、了解函数y=ax+b/x的图像与性质；

3、感受对勾函数在实际生活中的应用。

过程与方法：通过实例数形结合、探求性质、形成结论、尝试应用等过程，体会研究问

题的基本方法。

情感态度与价值观：培养对数学问题不断深入研究的探索精神，提高实践能力。

【教学重点】：函数y=ax+b/x的图像与性质。

【教学重点】：利用函数y=ax+b/x的图像与性质解决实际问题。

【教学方法】：引导式。

【教学过程】：1.课题引入：要建造一个容积为1200m3，深为6m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/m,池底的造价为135元/m,如何设计水池的长和宽，可使水池的造价最低？（数学必修1第107页习题3.2第4题改编）

2，问题分析：

问题１、研究函数的一般方法是什么？

问题２、如何画函数y=x+221（x>0）的图像呢？有几种办法？

x1图象进行叠加成图。

x

方法１、列表、描点、成图。

方法2、利用已知函数yx和y问题3、如何画函数y=x+1（x0）的图像呢？请把(x0)的图象用另一种颜色的笔画

x在上面的坐标系中。并思考图象的形状象什么？

问题4、观察y=x+1（x0）的图像，归纳特征，数学语言描述性质。

x （1）该函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性……；

1（x≠0）的单调性。x取何值时，函数取到最小值？ x1问题5、yx和y的交点的横坐标是何值？这两值一样吗？请说明理由。

x （2）函数y=x+

3.知识迁移：

y=ax+x/b（对勾函数，双钩函数，勾勾函数）性质总结

a＞0，b＞0

大致图像

定义域

值域

奇偶性

单调性

（-∞，0）∪（0,+∞）

（-∞，-2ab]∪[2ab，+∞）

奇函数

在[ba,0),(0,ba]上分别单调递减

在(,ba),(ba,)上分别单调递增；最值

x0时，当x=-ba时，ymax =-2ab; 当x>0时，x=ba时，ymin=2ab；

4，例题分析：

例一：求函数

y=x+3(1x2)的最大值与最小值。

x例二：已知函数f(x)lnxax2(2a)x．讨论f(x)的单调性。

解：依其导数为f(x)2ax我们依据yax情况，故分类讨论

（1）若a0时，则f(x)0在0,上成立，所以f(x)在0,单调递增. （2）若a0,则由f(x)0得x1(2a),x0, xbab0函数的图像与性质知道其根据a的不同取值，有不同 x11x(0,)时,f(x)0,当x时,f(x)0.

aa1,且a

所以f(x)在(0,)单调递增，在(,)单调递减.

例三：设函数fxx数m的取值范围。

解：显然m0，由于函数fxx1a1a1．对任意x1,，fmxmfx0恒成立，求实x1在x1,是增函数，

xb1m2则当m0时，f(mx)mf(x)2mx是形如F2(x)ax (a0,b0)的函xmx数，在x1,上单调递增，则f(mx)mf(x)0不恒成立，因此m0不成立

b1m2当m0时，函数f(mx)mf(x)2mx是形如F4(x)ax (a0,b0)函xmx数，在

x1,上是减函数，

因此当x1时，f(mx)mf(x)取得最大值m1，

m于是f(mx)mf(x)0恒成立等价于f(mx)mf(x)x1,的最大值0，

1m0,即得m1．于是实数m的取值范围是,1．

mm0,

【教学小结】

1.

研究函数的一般方法：“三步曲”

——画函数的图象，观察归纳特征，数学语

言描述性质。

2．函数y=ax+b/x的图像与性质。

【课后作业】

见学案。