小结主要内容及教案内容

课题：函数的单调性

慈利三中 王小明

教学目标：

1.知识目标

①理解函数的单调性的概念，掌握判断或证明函数单调性的方法和步骤；

②会求函数的单调区间. 2.能力目标

①通过对函数单调性的证明及单调区间的求法的复习，培养学生应用化归转化和分类讨论的数学思想解决问题的能力. ②通过本节课的复习，使学生体验和理解从特殊到一般的归纳推理的能力. ③通过课堂的练习，提高学生分析问题和解决问题的能力. 3.情感目标

培养学生的逻辑推理能力和创新意识，同时，培养学生对数学美的艺术体验. 教学重点：证明函数的单调性以及求函数的单调区间.

教学难点：函数单调区间的求法.

教学方法：启发诱导式、讨论式. 教学手段：多媒体辅助教学. 教学过程：

【知识回顾】

首先请同学们回忆函数单调性的定义. 1. 函数单调性的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I

，如果对于属于定义域I

内某个区间上的任意两个自变量的值x1

, x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(减函数).

理解函数单调性时，应注意以下问题：

(1) 函数的单调区间是定义域的子集，确定函数单调区间时，应首先确定其定义域，定义域中的x1

, x2相对于单调区间具有任意性，不能用特殊值替代. (2)

f(x)在区间D1 、D2上是增函数，但f(x)不一定在区间D1∪D2上是增函数；同样f(x)在区间D1 、D2上是减函数，但f(x)在区间D1∪D2上不一定是减函数.例如：y11在区间(0,)上为减函数，在(,0)上也是减函数，但y在xx(0,)(,0)上就不能说成是减函数.

在正确理解和掌握了函数单调性的概念之后，我们要着重解决两个问题：①证明函数的单调性；②求函数的单调区间.下面我们通过具体的实例来说明这两个问题的解决方法.

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【例题精讲】

af(x)x(a0)在区间(0，a)上是减函数. 例1. 证明函数x证法一：（定义法）任取x1、x2∈(0，a)，且x1

＜x2

，

则f(x1)f(x2)(x1aaaa)(x2)(x1x2)()，

x1x2x1x2xxaa)(x1x2)(12)，

x1x2x1x2(x1x2)(1∵x1x2

， ∴x1x20，

又∵0x1x2a，∴0x1x2a

，∴1∴(x1x2)(1a0，

x1x2a)0即f(x1)f(x2)0，∴f(x1)f(x2)，

x1x2∴函数f(x)xa在区间(0，a)上是减函数. xaf(x)x(a0)，

证法二：(导数法)∵x'∴f(x)1a

，

x22又0xa，

∴在(0,a)上0xa，

∴1aa'f(x)10

，

0即22xxa∴f(x)x(a0)在(0,a)上是减函数. x

总结用定义法证明函数f(x)单调性的一般步骤是：

(1) 取值：对任意x1

，x2M，且x1x2；

(2) 作差变形：f(x1)f(x2)；

(3) 定号得出结论.

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导数法是我们判断或证明函数单调性的又一重要手段，那么请同学们思考利用导数证明函数单调性的方法是什么. 如果函数f(x)在定义域I的某个区间M上f'(x)0，则函数f(x)在区间M上是增函数；如果函数数f(x)在定义域I的某个区间M上f'(x)0，则函f(x)在区间M上是减函数.

点评：通过例1要求同学们掌握证明函数单调性的基本方法：定义法和导数法.

变式. 求函数f(x)x解：∵f'(x)1a，

x2a(a0)的单调区间. x令f'(x)0，可解得xa或xa，

∴f(x)在区间(a,)和(,a)上是增函数.

令f'(x)0，可解得ax0或0xa，

∴f(x)在区间(a,0)和(0,a)上是减函数. 点评：在求函数的单调区间时，我们通常采用导数的方法，把问题转化成解不等式的问题，体现了化归转化的数学思想.

例2．求函数f(x)131x(a1)x2ax的单调区间. 32解：∵f(x)131x(a1)x2ax，

32∴f'(x)x2(a1)xa(x1)(xa)，

当

a1时，若f'(x)0，解得xa或x1，

若f'(x)0，解得1xa，

∴f(x)在(a,)，(,1)上单调递增，在(1,a)上单调递减；

当a1时，f'(x)≥0恒成立，∴f(x)在R上单调递增；

当a1时，若f'(x)0，解得x1或xa，

若f'(x)0，解得ax1，

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∴f(x)在(1,)，(,a)上单调递增，在(a,1)上单调递减.

点评：本题和例1的变式题形上相同，但在处理本题时我们除了要把它转化成求解不等式的问题之外，还要采用分类讨论的数学思想，注意思想方法的应用.

【课堂练习】

31. 设函数f(x)x3x26x3，则函数f(x)的单调增区间是

，

2

；

单调减区间是

. x2)上是减函数. 2．证明函数y在(1，x13.

判断函数f(x)xa(a0)在区间(0,4)上的单调性. x【课堂小结】

本节课我们从函数单调性的概念入手，着重复习了：

1.

证明函数单调性的方法；

2.

函数单调区间的求法.

附:【板书设计】

函数的单调性

一、知识回顾 例2. 定义：

二、例题 三、课堂练习

例1． 1. 2. 3. 四、课堂小结

变式.

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