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选修4-5《不等式》课时训练(12)～柯西不等式与排序不等式

高2013级

张怀义

2012.4.11 柯西不等式与排序不等式练习

班级

姓名

一、选择题

1、a，b，c，dR，不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2取等号的条件是

A.abdc0

B. adbc0

C. adbc0

D. acbd0

2、a1a2a3，b1b2b3，下列最小的是

A. a1b3a2b2a3b1

B. a1b1a2b2a3b3

C. a1b2a2b1a3b3

D. a1b1a2b3a3b2

3、若实数a1，a2，a3，a4满足(a2a1)2(a3a2)2(a4a3)21，则(a3a4)(a1a2)的最大值为

6

C. 2

D. 3

4、a，b是非负实数，ab1，x1，x2R，M(ax1bx2)(bx1ax2)，Nx1x2，则M与N的大小关系为

A.MN

B. MN

C. MN

D. MN

5、若实数x，y满足(x5)2(y12)2142，则x2y2的最小值是

A.1

B. A.2

B. 1

C. 3

D. 2

6、x，y，zR，且x2y2z5，则(x5)2(y1)2(z3)2的最小值是

A.20

B. 25

C. 36

D. 47

7、已知a，b，c，dR，且满足abcd625，那么abcd的最大值是

25

D. 625

48、已知0a，b，c1，且abc2，则a2b2c2的取值范围是

4444A.[,)

B. [,2]

C. [,2)

D. (,2)

3333A.25

B. 50

C. 二、填空题

9、x，y(0,1)，则x(1y)y(1x)的最大值是

1410、设x，yR，那么(xy)()的最小值是

xy三、解答题

b4c4c4a4a4b411、设a，b，cR，利用排序不等式证明abc

2a2b2c

911112、已知a，b，cR，利用柯西不等式证明：2()

abcabbcca

（书P61习题13）4、已知xi0(i1,2,3,,n)，求证：

33333322

(x1x2xn)(x1x2xn)x12x2xn

1

选修4-5《不等式》课时训练(12)～柯西不等式与排序不等式

高2013级

张怀义

2012.4.11 （书P61习题13）5、设a1，a2，……，an为正实数，应用柯西不等式证明：

22a12a2anaa2ann

1111nna1a2an

（书P61习题13）6、已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，求证：1a2

222（书P66习题14）1、设a1，a2，……，an为实数，用排序不等式证明：a1c1a2c2ancna1

a2an其中c1，c2，……，cn为a1，a2，……，an的任一排列

（书P66习题14）2、设c1，c2，……，cn为正整数组a1，a2，……，an的某一排列，则

（书P66习题14）4、已知a1，a2，a3为两两不等的正整数，求证：a1

2 aa1a2nn

c1c2cna222a332111

23

选修4-5《不等式》课时训练(12)～柯西不等式与排序不等式

高2013级

张怀义

2012.4.11 柯西不等式与排序不等式练习答案

一、选择题

1、C

2、A

3、B

4、A

5、D

6、C

7、B

8、C 二、填空题

9、1

10、9 三、解答题

11、【证】不妨设0abc，则a4b4c4，333111

cbaa4b4c4a4b4c4abc（逆序和）

abccaba4b4c4a4b4c4333abc（逆序和）

abcbcab4c4c4a4a4b4333∴abc

2a2b2c12、【证】由柯西不等式得

1111112(abc)()[(ab)(bc)(ca)]()9，故命题成立

abbccaabbcca

（书P61习题13）4、

22223333332【证】(x1x2xn)(x1x2xn)

x2xn)(x1x1x2x2xnxn)(x1

（书P61习题13）5、

222【证】∵(a1a2an)(121212)(a1a2an)2

222∴n(a1a2an)(a1a2an)2

22222a12a2an(a1a2an)2a1a2ana1a2an∴，∴

2nnnn1111112∵(a1a2an)()(a1a2an)n2

a1a2ana1a2ana1a2ann

111na1a2an1111112b3b6b)2()(2b23b26b2)即(3a)25a2，（书P61习题13）6、【证】(236236∴∴a23a20，∴1a2

（书P66习题14）1、【提示】“乱序和”不大于“同序和”

111（书P66习题14）2、【证】不妨设a1a2an，则

a1a2an根据“乱序和”不小于“反序和”得（书P66习题14）4、【证】∵aa1a2111na1a2a2n

c1c2cna1a2a2111，不妨设a1，a2，a3从小到大的顺序为b1b2b3

222123a3b1b2b3a222

则由“乱序和”不小于“反序和”得：a12222312312311（∵a1，a2，a3互不相等，∴b11，b22，b33）2221

23123

3

选修4-5《不等式》课时训练(12)～柯西不等式与排序不等式

高2013级

张怀义

2012.4.11 柯西不等式与排序不等式练习

班级

姓名

一、选择题

1、a，b，c，dR，不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2取等号的条件是

A.abdc0

B. adbc0

C. adbc0

D. acbd0

2、a1a2a3，b1b2b3，下列最小的是

A. a1b3a2b2a3b1

B. a1b1a2b2a3b3

C. a1b2a2b1a3b3

D. a1b1a2b3a3b2

3、若实数a1，a2，a3，a4满足(a2a1)2(a3a2)2(a4a3)21，则(a3a4)(a1a2)的最大值为

6

C. 2

D. 3

【解】[(a3a4)(a1a2)]2[(a2a1)2(a3a2)(a4a3)]2

A.1

B. (221212)[(a2a1)2(a3a2)2(a4a3)2]6

4、a，b是非负实数，ab1，x1，x2R，M(ax1bx2)(bx1ax2)，Nx1x2，则M、N的大小关系为

A.MN

B. MN

C. MN

D. MN

22【解】(ax1bx2)(bx1ax2)(a2b2)x1x2ab(x1x2)(a2b2)x1x22abx1x2(ab)2x1x2x1x2

【另】(ax1bx2)(bx1ax2)(ax1x2bx1x2)2(ab)2x1x2x1x2

5、若实数x，y满足(x5)2(y12)2142，则x2y2的最小值是

A.2

B. 1

C. 3

D. 2

【解】（几何法）(x2y2)min14131

【另】（柯西不等式）(x5)2(y12)2142得x2y210x24y27x2y2(102242)(x2y2)

0t1

∴t226t270t6、x，y，zR，且x2y2z5，则(x5)2(y1)2(z3)2的最小值是

A.20

B. 25

C. 36

D. 47

【解】(122222)[(x5)2(y1)2(z3)2][1(x5)2(y1)2(z3)]2

(x2y2z526)2182

【另】点(5,1,3)到平面x2y2z5的距离d|5265|91222227、已知a，b，c，dR，且满足abcd625，那么abcd的最大值是

25A.25

B. 50

C.

D. 625

42【解】(abcd)(12121212)(abcd)4625

【另】abcd4(abcd)462522550

8、已知0a，b，c1，且abc2，则a2b2c2的取值范围是

18，d2181836

943(abc)242222222，而a2a，b2b，c2c

【解】由(abc)3(abc)得abc33∴a2b2c2abc2

A.[,)

B. [,2]

C. [,2)

D. (,2)

二、填空题

9、x，y(0,1)，则x(1y)434343y(1x)的最大值是

【1】

1410、设x，yR，那么(xy)()的最小值是

【9】

xy三、解答题

b4c4c4a4a4b411、设a，b，cR，利用排序不等式证明abc

2a2b2c333

4

选修4-5《不等式》课时训练(12)～柯西不等式与排序不等式

高2013级

张怀义

2012.4.11 a4b4c4a4b4c4111333（逆序和）【证】不妨设0abc，则abc，，abc

abccabcbaa4b4c4a4b4c4b4c4c4a4a4b4333333abc（逆序和）∴abc

abcbca2a2b2c911112、已知a，b，cR，利用柯西不等式证明：2()

abcabbcca444【证】由柯西不等式得

111111)[(ab)(bc)(ca)]()9，故命题成立

abbccaabbcca（书P61习题13）4、已知xi0(i1,2,3,,n)，求证：

2(abc)(33322

(x1x2xn)(x1x2xn)x12x2xn22223333332【证】(x1x2xn)(x1x2xn)

x2xn)(x1x1x2x2xnxn)(x1（书P61习题13）5、设a1，a2，……，an为正实数，应用柯西不等式证明：

22a12a2anaa2ann1

111nna1a2an222【证】∵(a1a2an)(121212)(a1a2an)2

222∴n(a1a2an)(a1a2an)2

22222a12a2an(a1a2an)2a1a2ana1a2an∴，∴

nnnn21111112∵(a1a2an)()(a1a2an)n2

a1a2ana1a2an∴a1a2ann

111na1a2an122b133b11116b)2()(2b23b26b2)

2366（书P61习题13）6、已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，求证：1a2

【证】(即(3a)25a2，∴a23a20，∴1a2

222（书P66习题14）1、设a1，a2，……，an为实数，用排序不等式证明：a1c1a2c2ancna1

a2an其中c1，c2，……，cn为a1，a2，……，an的任一排列

【提示】“乱序和”不大于“同序和”

aaa（书P66习题14）2、设c1，c2，……，cn为正整数组a1，a2，……，an的某一排列，则12nn

c1c2cn111

a1a2anaaa111a2a2n

根据“乱序和”不小于“反序和”得12na1c1c2cna1a2a2a3a111

（书P66习题14）4、已知a1，a2，a3为两两不等的正整数，求证：a12222323111【证】∵222，不妨设a1，a2，a3从小到大的顺序为b1b2b3

123a3b1b2b3a则由“乱序和”不小于“反序和”得：a12

223212223212311（∵a1，a2，a3互不相等，∴b11，b22，b33）2221

23123

【证】不妨设a1a2an，则

5