小结课件配套优秀获奖教案

1．函数与映射的概念

两集合A，B 函数

设A，B是两个非空数集

如果按照某种确定的对应关系对应关系f：A→B f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应

名称

记法

2.函数的定义域、值域

(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．

3．函数的表示方法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

4．分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

函数的概念

[典例]

(1)下列四组函数中，表示相等函数的是(

D

) A．f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1 B．f(x)＝x·x＋1，g(x)＝x2＋x

C．f(x)＝2lg x，g(x)＝lg x2

称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

y＝f(x)，x∈A

映射

设A，B是两个非空集合

如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

对应f：A→B

1，x≤1，D．f(x)＝2，1

x g(x)

x≤1

1

1

2

x≥2

3 1(2)已知f：x→－sin x是集合A(A⊆[0，2π])到集合B＝0，2的一个映射，则集合A中的元素个数最多有(

B

) A．4

C．6

B．5

D．7 函数的定义域问题

题点一：求给定函数解析式的定义域

1．(2016·唐山模拟)函数y＝x3－x＋x－1的定义域为(

B

) A．[0,3]

C．[1，＋∞)

2．(2015·德州期末)y＝

B．[1,3]

D．[3，＋∞) x－1－log2(4－x2)的定义域是(

C

) 2x

B．(－2,0]∪(1,2)

D．[－2,0]∪[1,2]

A．(－2,0)∪(1,2)

C．(－2,0)∪[1,2)

[方法指导]

(1)分式中的分母不为0；

(2)偶次根式的被开方数非负；

(3)y＝x0要求x≠0；

求已知函数定义域的5个准则

(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1；

π(5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋(k∈Z)．

2

题点二：求抽象函数的定义域

3．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(

B

) A．(－1,1)

C．(－1,0)

1－1，－

B.21D.2，1

4．若函数f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则f(lg x)的定义域为(

C

) A．[－1,1]

C．[10,100]

B．[1,2]

D．[0，lg 2]

抽象函数定义域的求法

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．

(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

题点三：已知定义域求参数

kx＋15．已知函数y＝22的定义域为R，求实数k的值．

kx＋3kx＋1解：函数y＝kx＋1的定义域为k2x2＋3kx＋1≠0的实数x的集合．

kx＋3kx＋122由函数的定义域为R，得方程k2x2＋3kx＋1＝0无解．

当k＝0时，函数y＝kx＋1＝1，

kx＋3kx＋122函数的定义域为R，因此k＝0符合题意；

当k≠0时，k2x2＋3kx＋1＝0无解，

即Δ＝9k2－4k2＝5k2<0，不等式不成立．

所以实数k的值为0. [方法指导] 已知函数定义域求参数的思想方法

已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．

求函数的解析式

11x＋x＝x2＋2，求f(x)的解析式；

[典例]

(1)已知fx2(2)已知fx＋1＝lg x，求f(x)的解析式；

(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)；

1(4)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2fxx－1，求f(x)．

[解]

(1)f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2. 2(2) f(x)的解析式是f(x)＝lg，x>1.

x－1

11(3)f(x)＝x2＋x，x∈R. 22(4) f(x)＝21x＋.

33

[方法指导]

求函数解析式的4种常用方法

(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．

(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．

1(4)方程组法：已知关于f(x)与fx或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

分段函数

lg x，x>0，[典例]

(1)(2015·陕西二模)若函数f(x)＝则f(f(－99))＝________. 1－x，x≤0，x2，x≤0，1(2)(2016·大庆质检)设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的集合为________．

2|log2x|，x>0，

[答案]

(1)2

(2)－1，2，2

2

求有关分段函数问题的注意点及方法

(1)正向代入求值要注意对应的范围；

[方法指导]

(2)逆向求自变量要注意分类讨论；

(3)研究分段函数的单调性，方法是整合为整个定义域上的单调性；

(4)求最值，其方法是求出函数在各个范围内的最值，这些最值中最大的是最大值、最小的是最小值．

[变式训练]

log24－x，x≤0，1．若函数f(x)满足f(x)＝则f(3)的值为(

B

) fx－1－fx－2，x>0，

A．－1

C．1

B．－2

D．2

2．设函数f(x)＝A．－3

C．－1

x，x≥0，－x，x<0，

若f(a)＋f(－1)＝2，则a等于(

D

)

B．±3

D．±1 2x＋x，x<0，8．(2014·浙江高考)设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是2－x，x≥0，

_______(－∞，2]_．

18．(2016·银川模拟)已知具有性质：fx＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：

x，01.其中满足“倒负”变换的函数是(

B

) A．①②

C．②③

B．①③

D．①

1－x110．(2016·济南模拟)已知函数f＝x，则f(2)＝___－_____. 31＋x1－2ax＋3a，x<1，12．(2016·成都质检)已知f(x)＝的值域为R，那么a的取值范ln x，x≥1

1－1，_____．

围是___22

x－1，x>0，1．已知f(x)＝x－1，g(x)＝

2－x，x<0.

(1)求f(g(2))与g(f(2))；

(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．

解：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，

因此f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2. (2)当x>0时，g(x)＝x－1，

故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x；

当x<0时，g(x)＝2－x，

故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3. 2x－2x，x>0，所以f(g(x))＝2

x－4x＋3，x<0.

当x>1或x<－1时，f(x)>0，

故g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2；

当－1

故g(f(x))＝2－f(x)＝3－x2. 2x－2，x>1或x<－1，所以g(f(x))＝

23－x，－1