习题1.2主要内容及教案内容

3.1 函数与方程

[教学目标] 1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．

2．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解得常用方法．

3．在用“二分法”求方程近似解的过程中，使学生进一步体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

[教学要求]

教科书注重从学生已有的基础（一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质）出发，从具体（一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系）到一般，揭示方程的根与对应函数的零点之间的关系．在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔．教科书不仅希望学生在数学知识上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中介绍中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献，这一内容可以在教学过程中适当进行处理．

由于方程的近似解一般都涉及较复杂的计算，在利用“二分法”求方程近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，要解决这一困难，需要恰当地使用信息技术工具．建议在教学中要适时地使用计算器或者计算机，注意体现技术使用的必要性．

多数函数应用问题也涉及较复杂的数据，因此，建议较多地运用信息技术工具，课本专门安排了两个“信息技术应用”，教师可适当地指导学生进行学习．

教学中要加强知识间的联系，具体体现在结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系，提高学生对函数的广泛应用，以及函数与其他数学内容有机联系的认识．

课本在3.1.1方程的根与函数的零点中，选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系，作为本节内容的入口，其

意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系．

实施教学时，应该给学生提供探究情境，让学生自己发现并归纳出结论“一元二次方程ax2bxc0(a0)的根就是相应的二次函数yax2bxc0的图象与．

x轴的交点的横坐标”给出函数零点的概念后，要让学生明确“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切的联系，但不能将它们混为一谈．之所以介绍通过求函数的零点求方程的根，是因为函数的图象和性质，为理解函数的零点提供了直观的认识，并为判定零点是否存在和求出零点提供了支持，这就使方程的求解与函数的变化形成联系，有利于分析问题的本质．

通过研究一元二次方程的根及相应的函数图象与x轴交点的横坐标的关系，导出函数的零点的概念；以具体函数在某闭区间上存在零点的特点，探究在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；以求具体方程的近似解介绍二分法并总结其实施步骤等，都体现了从具体到一般的认识过程．教学时，要注意让学生通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，并用准确的数学语言表达出来．

这里要特别注意引导学生从联系的观点理解有关内容，沟通函数、方程、不等式以及算法等内容，使学生体会知识之间的联系．例如，结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根之间的关系；根据具体函数的图象，能借助计算器用二分法求相应方程的近似解，为算法的学习作准备，另外，还要特别注意信息技术的使用．

课本通过第87页的“探究”，让学生观察对应的二次函数在区间端点上的函数值之积的特点，引导学生发现连续函数在某区间上存在零点的判定方法．教学时，可让学生多举一些例子加以认识，如用计算器或计算机多画一些函数(不一定是二次函数)的图象进行观察与概括．教科书上给出的下述结论，只要求学生理解并会应用，而不需给出证明．

如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根．

[教学重点] 用“二分法”求方程的近似解．

[教学难点] 如何处理复杂的数值计算；

如何恰当使用计算器．

[教学时数] 3课时

[教学过程] 第一课时

3.1.1方程的根与函数的零点（1）

新课导入

讨论：一元二次方程ax2bxc0(a0)的根与二次函数yax2bxc(a0)数的图象有什么关系？

先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型．

方程x2x30与函数yx22x3；

方程x2x10与函数yx22x1；

2方程x2x30与函数yx2x3；

222再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图．

通过讨论得出：（课本第87页）

一元二次方程axbxc0(a0)有两不同根就是相应的二次函数2yax2bxc0的图象与x轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；

一元二次方程axbxc0(a0)有两个重根就是相应的二次函数2yax2bxc0的图象与x轴一个交点，且其横坐标就是根；

一元二次方程axbxc0(a0)无实数根就是相应的二次函数2yax2bxc0的图象与x轴没有交点；

总之，一元二次方程axbxc0(a0)的根就是相应的二次函数2

yax2bxc0的图象与x轴的交点的横坐标．

点明本节课题：方程的根与函数的零点

新课进展

一、函数的零点

对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点（zero

point）．

显然，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标．

方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

课堂例题

例1 利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：

（1）x3x50；（2）2x(x2)3；

课堂练习（课本第88页练习1）

利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：

（3）x4x4；

（4）5x2x3x5．

布置作业

利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：

（1）x3x50；（2）2x3x30；（3）2x3x1．

第二课时

3.1.1方程的根与函数的零点（2）

复习导入

通过提问复习上节课主要学习内容．

问：方程的根与函数的零点之间具有怎样的关系？

答：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数2222222yf(x)有零点．

问：如何用方程的根与函数的零点之间关系判断方程在某区间是否有根？

参与讨论并阅读课本第91页《中外历史上的方程求解》．

新课进展

二、函数零点存在的条件

1．探究

观察二次函数f(x)x22x3的图象（图：课本第87页图3.1-2），我们发现函数f(x)x22x3在区间[2,1]上有零点．计算f(2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢？

经过讨论，可以发现：f(2)f(1)0，函数f(x)x22x3在区间(2,1)内2有零点x1，它是方程x2x30的一个根．

同样地，f(2)f(4)0，函数f(x)x22x3在区间(2,4)内有零点x3，它是方程x2x30的另一个根．

课堂练习

画出二次函数f(x)xx2的图象，观察函数f(x)xx2在区间222[5,0]上是否有零点．计算f(5)与f(0)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[0,4]上是否也具有这种特点呢？

2．概括

一般地，我们有：

如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根．

3．应用

课堂例题

例1 （课本第88页例1）

求函数f(x)lnx2x6的零点的个数．

解答：见课本第88页

课堂练习

1．课本第88页练习2 2．已知函数f(x)x33x1，问该函数在区间(2,1)内是否有零点？

解：因为f(2)10，f(1)30，所以f(2)f(1)0，又函数f(x)x33x1是连续的曲线，所以f(x)在区间(2,1)内有零点．

本课小结

如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数yf(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a,b)内至少有一个实数解．

4．布置作业

课本第92页习题3.1A组第1、2题；

课本第112页复习参考题A组第1题．

第三课时

3.1.2用二分法求方程的近似解

新课导入

讨论：对于一元二次方程axbxc0(a0)可以用公式求根，但没有公式可用来求方程lnx2x60的根．联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？

上节课我们已经知道，函数f(x)lnx2x6在区间（2，3）内有零点，问题是：如何找出这个零点呢？

如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．下面介绍一种求近似解的方法．

新课进展

一、二分法

我们知道，函数f(x)的图象与直角坐标系中x轴交点的横坐标就是方程f(x)02

的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解．

1．在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5；

2．用计算器计算f(2.5)0.084，因为f(2.5)f(3)0，所以零点在区间(2.5,3)内；

3．再取区间(2.5,3)中点2.75，用计算器计算f(2.75)0.512，因为f(2.5)f(2.75)0，所以零点在区间(2.5,2.75)内．

4．重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值．

本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出（课本第89页表3-2）．

0.01，所以，我当精确度为0.01时，由于2.53906252.531250.0078125们可将x2.53125作为函数f(x)lnx2x6零点的近似值，也即方程lnx2x60根的近似值．

对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）．

二、二分法的计算步骤

给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：

1．确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)0，给定精确度；

2．求区间(a,b)的中点c；

3．计算f(c)；

4．判断：（1）若f(c)0，则c就是函数的零点；（2）若f(a)f(c)0，则令bc（此时零点x0(a,c)）；（3）若f(c)f(b)0，则令ac（此时零点x0(c,b)）．

5．判断：区间长度是否达到精确度？即若ab，则得到零点近似值；否则重复2——5．

说明：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．由于都是重复性的工作，所以可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算．

阅读课本第93页《借助信息技术求方程的近似解》．

课堂例题

例1 （课本第90页例2）

例2 求方程2x3x30的一个近似解（误差不超过0.1）．

课堂练习

课本第91页练习1、2题

本课小结

1．二分法的理论依据是什么？

二分法的理论依据是：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续不断，且f(a)f(b)0，那么一定存在c(a,b)，使f(c)0．

2．二分法的实施要点是什么？

二分法寻找零点的过程是将一个含有零点的区间[a,b]平分为两个小区间，判断哪个小区间内含有零点，再将该小区间平分，……，通过n次的平分、判断，使零点存在于一个长度l3ba的小区间．当n适当大时，l满足精确度的允许范围，于是小区间内的2n值可作为函数零点的近似值．

布置作业

课本第92页习题3.1A组3、4、5题；

课本第92页习题3.1B组1、2、3题．