习题1.2优质课一等奖

1.2.2

函数的表示法

第1课时

函数的表示法

学习目标

1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法(重点、难点)．

预习教材P19－P20，完成下面问题：

知识点

函数的三种表示方法

表示法

解析法

图象法

列表法

定义

用数学表达式表示两个变量之间的对应关系

用图象表示两个变量之间的对应关系

列出表格来表示两个变量之间的对应关系

【预习评价】

(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用列表法表示．(

) (2)任何一个函数都可以用图象法表示．(

) (3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．(

) 提示

(1)×

如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示；

1，x∈Q(2)×

有些函数的是不能画出图象的，如f(x)＝；

－1，x∈∁QR

1(3)×

反例：f(x)＝的图象就不是连续的曲线．

x

题型一

作函数的图象

【例1】

作出下列函数的图象：

(1)y＝x＋1(x∈Z)；

(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))．

解

(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示．

(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示．

规律方法

作函数图象的步骤及注意点

(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象．

(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点．

【训练1】

画出下列函数的图象：

(1)y＝x＋1(x≤0)；

(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)．

解

(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)．

(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图(2)．

题型二

列表法表示函数

【例2】

已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出

x f(x)

x g(x)

1

3

2

2

3 1 1

1

2

3

3 1 则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．

解析

∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1. f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示：

x f(g(x))

g(f(x))

∴f(g(x))>g(f(x))的解为x＝2. 答案

1

2 规律方法

列表法表示函数的相关问题的解法

解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数，对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决．

1

1

3

2

3

1

3 1 3

【训练2】

已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出

x f(x)

x g(x)

(1)f[g(1)]＝__________；

(2)若g[f(x)]＝2，则x＝__________. 解析

(1)由表知g(1)＝3，

∴f[g(1)]＝f(3)＝1；

(2)由表知g(2)＝2，又g[f(x)]＝2，得f(x)＝2，

再由表知x＝1. 答案

(1)1

(2)1 考查方向

方向1 待定系数法求函数解析式

【例3－1】

(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，则函数f(x)的解析式为________．

(2)已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________．

解析

(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，所以2k＝16，25解得k＝4，b＝－5或k＝－4，b＝，

3kb＋b＝－25，1

2

1

3

2

1

2

2

3 1 3 1

题型三

求函数的解析式

25所以f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋. 3(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x. 2a＝2，故得解得a＝1，b＝－1，故得f(x)＝x2－x＋1. a＋b＝0

25答案

(1)f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋

(2)f(x)＝x2－x＋1 3方向2 换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式

【例3－2】

(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式；

(2)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)．

解

(1)法一

(换元法)：令t＝x＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，

所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．

法二

(配凑法)：f(x＋1)＝x＋2x＝x＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1. 因为x＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．

(2)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①

∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②

∴由①②得3f(x)＝x2－6x，

1∴f(x)＝x2－2x. 3规律方法

求函数解析式的类型及方法

(1)若已知所要求的解析式f(x)的类型，可用待定系数法求解，其步骤为：①设出所求函数含有待定系数的解析式；

②把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程(组)；

③解方程(组)，得到待定系数的值；

④将所求待定系数的值代回所设解析式．

(2)已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，常用的有两种方法：

①换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围．

②配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可．

(3)方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．

课堂达标

1．下列函数y＝f(x)，则f(11)＝(

) x y A．2

0

2

B．3

5≤x<10

3

10≤x<15

4

C．4

15≤x≤20 5 D．5 解析

由表可知f(11)＝4. 答案

C 2．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是(

) A．f(x)＝x2＋6x

C．f(x)＝x2＋2x－3

B．f(x)＝x2＋8x＋7 D．f(x)＝x2＋6x－10 解析

法一

设t＝x－1，则x＝t＋1，∵f(x－1)＝x2＋4x－5，

∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x；

法二

∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，

∴f(x)＝x2＋6x；

∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.故选A．

答案

A 3．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________. x f(x)

1

3

2

2

3

4

4 1 解析

由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1，故填1. 答案

1 4．已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)的解析式为________．

解析

设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a2x＋ab＋b. 2a＝4，∴解得8ab＋b＝8，b＝

a＝2，3

a＝－2，或

b＝－8.

8答案

f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8 35．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．

(1)画出f(x)图象的简图；

(2)根据图象写出f(x)的值域．

解

(1)f(x)图象的简图如图所示．

(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1,3]，则f(x)的值域是[－1,3]．

课堂小结

1．函数三种表示法的优缺点

2.描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．

3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等．

基础过关

111．已知f(1－2x)＝2，则f2的值为(

) xA．4

1B．

4C．16

1D．

16111解析

根据题意知1－2x＝，解得x＝，故2＝16. 24x答案

C 2．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：

每间房定价

住房率

100元

65%

90元

75%

80元

85%

60元

95% 要使每天的收入最高，每间房的定价应为(

) A．100元

B．90元

C．80元

D．60元

解析

每间客房定价、住房率与收入如下表所示，可知选C．

每间房定价

住房率

收入

答案

C 3．某学生从家去学校，由于怕迟到，所以一开始跑步，等跑累了，再走余下的路，如图中y表示该学生与学校的距离，x表示出发后的时间，则符合题意的图象是(

) 100元

65%

6 500元

90元

75%

6 750元

80元

85%

6 800元

60元

95% 5 700元

解析

由题意，知该学生离学校越来越近，故排除选项A，C，又由于开始跑步，后来步行，体现在图象上是先“陡”后“缓”，故选D．

答案

D 4．设函数g(x＋2)＝2x＋3，则g(x)的解析式是________．

解析

g(x＋2)＝2(x＋2)－1，所以g(x)＝2x－1. 答案

g(x)＝2x－1

115．若2f(x)＋f＝2x＋(x≠0)，则f(2)＝________. x219解析

令x＝2，得2f(2)＋f2＝2，

113令x＝，得2f＋f(2)＝，

22215消去f，得f(2)＝. 225答案

26．求下列函数的解析式：

(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；

(2)已知f(1＋x)＝x－2x－1，求f(x)．

解

(1)设x＋1＝t，

则x＝t－1，

∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，

∴f(x)＝x2－5x＋6，

(2)设1＋x＝t(t≥1)，

则x＝t－1，

∴f(t)＝(t－1)2－2(t－1)－1＝t2－4t＋2，

∴f(x)＝x2－4x＋2(x≥1)．

7．作出下列函数的图象，并求出其值域．

(1)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]；

(2)y＝|x＋1|. 解

(1)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，x∈[－2,2]．

列表如下：

x y －2

0

－1

－1

0

0

1

3

2 8 作出函数图象如图(1)所示，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2的部分，可得函数的值域是[－1,8]．

(2)当x＋1≥0，即x≥－1时，y＝x＋1；

当x＋1<0，即x<－1时，y＝－x－1. x＋1，x≥－1，∴y＝

－x－1，x<－1.

作该分段函数的图象如图(2)所示，

可得函数的值域是[0，＋∞)．

能力提升

8．如图中图象所示的函数的解析式为(

)

3A．y＝|x－1|(0≤x≤2) 233B．y＝－|x－1|(0≤x≤2) 223C．y＝－|x－1|(0≤x≤2) 2D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2) 3解析

由图象知，当0≤x≤1时，y＝x；

23当1

B 9．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°.直线l与AB相交．且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线右侧的图形面积为y.点A到直线l的距离为x.则y＝f(x)的图象大致为(

)

a2x2解析

设等腰直角△ABC的直角边长为a，依题意，y＝f(x)＝－，0≤x≤a. 22所以y＝f(x)的图象是开口向下的二次函数的一段．

答案

C 110．设fx－1＝x，则f(x)＝________.

11解析

令t＝－1，解得x＝，代入得f(t)＝xt＋1故f(x)的解析式为f(x)＝答案

1(x>－1) x＋11(x>－1)．

x＋11，又因为x>0，所以t>－1，

t＋111．若f(x)＋2f(－x)＝3x＋2，则f(x)＝________. 解析

由f(x)＋2f(－x)＝3x＋2.①

得f(－x)＋2f(x)＝－3x＋2.②

2由①②解得f(x)＝－3x＋. 32答案

f(x)＝－3x＋

312．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(1)＝0，f(2)＝－3. (1)求f(x)的函数解析式；

(2)求f1的解析式及其定义域．

x＋1f1＝1－b＋c＝0，解

(1)由解得b＝6，c＝5，

f2＝4－2b＋c＝－3，

故f(x)＝x2－6x＋5. 116(2)由(1)知f＝－＋5，

x＋1x＋1x＋1由x＋1>0得x>－1，

1即f的定义域为(－1，＋∞)．

x＋113．(选做题)画出二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：

(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小．

(2)若x1

(3)求函数f(x)的值域．

解

f(x)＝－(x－1)2＋4的图象如图所示：

(1)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，

所以f(1)>f(0)>f(3)．

(2)由图象可以看出，当x1

函数f(x)的函数值随着x的增大而增大，

所以f(x1)

(3)由图象可知二次函数f(x)的最大值为f(1)＝4，所以函数f(x)的值域为(－∞，4]．