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课题教案：1.3.1函数的单调性

皇仓中学 彭志菊

一、教材分析：

本节课是人教版数学必修1第一章《集合与函数概念》1．3．1函数的基本性质的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题。函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，也是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据。因此函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础。此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。

二、教学目标：

知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法以及用定义法证明

函数的单调性；

过程与方法：从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力；2-1-c-n-j-y

情感价值观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质。【出处：21教育名师】

三、教法与学法

1、教法分析

（1）通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。

（2）在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，逐个完成对各个难点的突破，以获得各类问题的解决。

（3）在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达。

（4）采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性。

2、学法分析

（1）让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题

和解决问题的能力。

（2）让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃

四、教学重难点

教学重点：

函数单调性的概念，并运用函数单调性的定义判断、证明一些函数的单调性。

教学难点：

1.形成增(减)函数概念的过程中，如何从图像升降的直观认识过渡到函数增减的

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数学符号语言表述。

2.用定义证明函数的单调性。

五、教学过程：

（一）．情景引入：

1．情景一：德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据：

时间间隔

刚刚记忆完毕

20分钟之后

1小时之后

8-9小时之后

1天后

2天后

6天后

一个月后

…

记忆保持量

100%

58.2%

44.2%

35.8%

33.7%

27.8%

25.4%

21.1%

…

80 60 40 20 记忆保持量

100 （百分数）

0 1

2

3

4

5

6 天数

将表中数据绘制在坐标系中连出草图，这就是著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线. 观察这条曲线，你能得出什么规律呢？由这个规律我们如何去高效学习？（学生回答）

这是一条衰减曲线，随着时间的推移，记忆的保持量逐渐减小。第一天遗忘的速度最快，一天之后遗忘的速度趋于缓慢。这一规律就提醒我们：在学习新知识的时候，一定要及时进行复习和巩固，以便加深理解和记忆。www-2-1-cnjy-com

2、情景二：一日气温变化图

学生问答：略

师：由这个温度与时间的函数图像，我们得出了从零时开始，气温先下降再上升，在下降的

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变化情况。深圳的调研小组可以由此合理的安排调研活动。

21*cnjy*com

象这样，在生活中，我们关心很多数据的变化，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的。观察数据的方法往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化的。这就是我们今天要研究的函数的单调性。【版权所有：21教育】

〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．

（二）．学习新课：

首先从我们熟悉的函数去入手研究

如我们初中学过的一次函数和二次函数。

问题1：观察下列函数的图象，回答当自变量x

的值增加时，函数值f(x)是如何变化的？

(1)f(x)x1y 1 -1 o 1 (2)f(x)x2y 4 x 1 x

-1 0 1 2 -2

学生回答： （1）函数f(x)x1的图象从左到右上升，即当x增大时f(x)

随着增大，所以称函数f(x)x1在R上是增函数。

2（2）函数f(x)x在对称轴y轴的左侧下降、右侧上升，即在区间(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小，在区间（0,+∞)上当

x增大时f(x)随着增大。2·1·c·n·j·y

〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．

问题2：我们通过从函数图像中获取的“上升、下降”的现象，如何用数学语言精准地讲这一现象描述出来呢？

2例如：考察函数f(x)x

在（0,+∞)上任取x1、x2 ,则f(x1)x1

，f(x2)x2

，22对任意0

，都有x1x2

，所以在区间（0,+∞)上，对任意x1

,都有f(x1)f(x2)，222即f(x)x

在（0,+∞)上, 当x增大时, 函数值f(x)相应地随着增大.这与观察图象所得结2果是一致的. 所以f(x)x

在区间（0,+∞)上是增函数。21教育

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由此归纳出增函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I:

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2

，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。21世纪教育网版权所有

〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习做好铺垫.

问题3：同学们能否类似地得出减函数的定义？（学生讨论、回答）

学生回答：略

师生共同得出：

定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I:

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2

，当有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。www.21-cn-jy.com

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间.【来源：21cnj*y.co*m】

x1x2时，都〖设计意图〗让学生深层次理解单调性，完成对概念的第三次认识。了解等价形式进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔。

（三）．概念应用：

例1．如图是定义在闭区间[-5，5] 上的函数y=f(x)的图象，

根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，

函数是增函数还是减函数？（学生活动）

-3 -2 -1 -5 -4 3 2 1 -1 -2 yfxo 1 x 2 3 4 5 解：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]. 其中y=f(x)在区间[-5, -2）,[1，3)上是减函数；

在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数。

问题5：函数yf(x)在集合[-5, -2）,[1，3)上是减函数；能否说函数yf(x)在区间[-5, -2） [1，3)上是减函数？21·世纪*教育网

学生讨论回答：略

师：就像刚刚有同学举的反例，集合的单调性是局部性质，将两个局部性质整合成一个区间，就不一定具有单调性。

注意：

（1）在书写时区间与区间之间用逗号隔开或用“和”连接，不能用集合中的“∪”连接。

（2）因为孤立的点没有单调性，所以区间端点处若有定义写开写闭均可。

〖设计意图〗掌握根据函数图像判断函数单调性的方法，并能更一步理解函

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数单调性的概念。

例2．证明函数f(x)x22x

在(,1]

上是单调减函数。（学生分组讨论、分别演板展示）

师生共同总结得出：

总结证明函数单调性的步骤：

1.设值:设任意x1、x2属于给定区间，且x1x2；

2.作差:差f(x1)f(x2)；

3.变形：变形的常用方法有:因式分解、配方、有理化等；

4.判号:确定f(x1)f(x2)的正负；

5.下结论:由定义得出函数的单调性。

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤。

（四）．课堂练习：

k证明函数f(x)x在区间（0,+∞）上是增函数。（学生演练）

〖设计意图〗进一步巩固利用定义证明函数单调性的方法，以及其方法的优越性。也培养学生分类讨论的思想。

（五）．课堂小结

1.增函数、减函数的定义；

2.图象法判断函数的单调性：增函数的图象从左到右上升，减函数的图象从左到右下降. 3.（定义法）证明函数单调性的步骤：设值、作差变形、判号、下结论。

（六）．布置作业

人教A版 P39 第2题（要求：利用定义法证明）。

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（七）．板书设计

1.3.1函数单调性

一、函数单调性

1、增函数定义：

2、减函数定义：

3、单调区间：

(主板书)

二、例题及解答

例2

(副板书)

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