习题2.2优质课教学设计

2．2.1 对数与对数运算

教学目标

1. 了解对数、常用对数、自然对数的概念. 2.

3.

[教学重、难点] 重点：对数式与指数式的互化，掌握对数的性质并求简单的对数值。

难点：理解对数的性质，求对数值。

[教学过程] 1、[情境导学] 对数，延长了天文学家的生命．“给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙”，这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话．从这段话可以看出，伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论．那么，“对数”到底是什么呢？本节就来探讨这个问题．

2、[合作探究] 探究点一

对数、常用对数与自然对数的概念

思考1 对于教材2.1.2的例8，从关系y＝13×1.01x中，如果问“哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿……”，该如何解决？

答

分别令y＝18、20、30、…，可转化为在等式中求x等于多少．

思考2 像思考1中，已知底数和幂的值求指数，就是我们要学习的对数．那么你能给对数一个定义吗？

答

一般地，若ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

思考3 根据对数的定义，如何将18＝1.01x、42＝16写成对数形式？

13182030＝1.01x，＝1.01x，＝1.01x，…131313会用对数的定义进行对数式与指数式的互化. 理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值．

181818x答

由＝1.01，得x＝log1.01，称x是以1.01为底的对数；由42＝16，得131313log416＝2. 思考4 阅读教材62页下半段，回答常用对数、自然对数是如何定义的？

答

常用对数：通常我们将以10为底数的对数叫做常用对数．为了简便，N的常用对数log10N简记作lg N. 自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并且把logeN记作ln N. 思考5 在对数式x＝logaN中，底数a和真数N的取值范围是什么，为什么？

答

由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0. 探究点二

对数式与指数式的互化

思考1 在指数式和对数式中都含有a，x，N这三个量，那么这三个量在两个式中各有什么异同点？

答

幂底数←a→对数底数；指数←x→对数；幂←N→真数．

思考2 指数式与对数式具有怎样的关系？

答

当a>0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN. 思考3 指数式ab＝N和对数式b＝logaN有何区别与联系？

答

二者反映的本质是一样的，都是a、b、N之间的关系式；但二者突出的重点不一样，指数式ab＝N中突出的是指数幂N，而对数式b＝logaN中突出的是对数b. 例1 将下列指数式写成对数式：

(1)54＝625；(2)2－6＝11；(3)3a＝27；(4)m＝5.73. 6431＝－6；

64解

(1)log5625＝4；(2)log2(3)log327＝a；(4)log15.73＝m. 3反思与感悟

logaN＝x与ax＝N(a>0，且a≠1，N>0)是等价的，表示a，x，N三者之间的同一种关系，可以利用其中两个量表示第三个量．

跟踪训练1 将下列对数式写成指数式：

(1)log116＝－4；(2)log2128＝7；

2(3)lg 0.01＝－2；(4)ln 10＝2.303. 1解

(1)－4＝16；(2)27＝128；

2

(3)10－2＝0.01；(4)e2.303＝10. 例2 求下列各式中的x的值：

2(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；

3(3)lg 100＝x；(4)－ln e2＝x. 解

(1)x＝(64)623＝(4)6323＝4－2＝161. 163(2)x＝8，所以x＝(x)＝8＝(2)＝2＝2. (3)10＝100＝10，于是x＝2. (4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2. 所以x＝－2. 反思与感悟

要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．

跟踪训练2 计算：(1)log927；(2)log4381；(3)log354625. 3解

(1)设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，∴x＝. 2(2)设x＝log4381，则4x＝81,34＝34，∴x＝16. 3(3)令x＝log354x625，∴34x＝625, 53＝54，∴x＝3. 54x2161612x探究点三

对数的基本性质

思考1 是不是所有的实数都有对数？为什么？

答

负数与零没有对数，因为在指数式中N>0，所以只有正数才有对数．

思考2 根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出loga1＝？logaa＝？

答

loga1＝0，logaa＝1. ∵对任意a>0且a≠1，都有a0＝1，

∴化成对数式为loga1＝0；

∵a1＝a，∴化成对数式为logaa＝1. 思考3 你能推出对数恒等式alogaN＝N吗？

答

如果把ab＝N中的b写成logaN，则有alogaN＝N.

例

求下列各式中x的值：

(1)log2(log5x)＝0；

(2)log3(lg x)＝1；

(3)log(121)3＋22＝x. 解

(1)∵log2(log5x)＝0. ∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5. (2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000. (3)∵log(121)3＋221＝x，

12＋11＝2－1，

2＋1∴(2－1)x＝∴x＝1. 3＋22＝＝2反思与感悟

本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．

跟踪训练3 若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为(

) A．9 B．8 C．7 D．6 答案

A 解析

∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1. ∴x＝3.同理y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9. 3、[当堂检测、小组展示、质疑、点评] 1．有下列说法：

①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．

其中正确命题的个数为(

) A．1 B．2 C．3 D．4 答案

C 解析

①、③、④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．

2．在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是(

) A．b<2或b>5 C．4

答案

D

B．2

b－2>0，∵5－b>0，5－b≠1.2

13∴2

1

2133131113解析

∵log1x＝3，∴x＝，∴x＝＝. 2222设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝________. 答案

10

7解析

∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10,3b＝7，

a310∴3a－b＝b＝. 374、[小结][呈重点、现规律] 1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N. 2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．

3．指数式与对数式的互化

5、[课后限时训练40分钟] 一、基础过关

1．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(

)

11A．a>且a≠1 B．0

221C．a>0且a≠1 D．a<

2答案

B 解析

由对数的概念可知使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满足a>0，a≠1，－2a＋1>0

121，解得0

) A．e0＝1与ln 1＝0 111B．8＝与log8＝－

22313C．log39＝2与9＝3 D．log77＝1与71＝7 答案

C 解析

由指对互化的关系：a＝N⇔x＝logaN可知A，B，D都正确；C中log39＝2⇔9＝32. 13．方程2log3x＝的解是(

) 413A．x＝ B．x＝ C．x＝3 D．x＝9 93答案

A 解析

∵2log3x＝2－2，∴log3x＝－2，

1∴x＝3－2＝. 954．若logab＝c，则下列关系式中正确的是(

) A．b＝a5c B．b5＝ac C．b＝5ac D．b＝c5a

答案

A 55解析

由logab＝c，得ac＝b，∴b＝(ac)5＝a5c. x

125．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x＝________. 答案

2

4解析

由题意得：log3(log2x)＝1，即log2x＝3，

转化为指数式则有x＝23＝8，

∴x＝8＝12121812112＝＝＝. 82246．若log2(logx9)＝1，则x＝________. 答案

3 解析

由题意得：logx9＝2，∴x2＝9，∴x＝±3，

又∵x>0，∴x＝3. 7．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值：

21①log2x＝－；②logx3＝－. 53(2)已知6a＝8，试用a表示下列各式：

①log68；②log62；③log26. 5228解

(1)①因为log2x＝－，所以x＝2－＝. 552111②因为logx3＝－，所以x－＝3，所以x＝3－3＝. 3327(2)①log68＝a. ②由6＝8得6＝2，即6＝2，所以log62＝. 33③由6＝2得2＝6，所以log26＝. a33aaa3a3aa二、能力提升

1－18．()＋log0.54的值为(

) 273A．6 B. C．8 D.

27答案

C

1－11－11解析

()＋log0.54＝()·()log14＝2×4＝8. 22229．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是(

) A．15 B．75 C．45 D．225 答案

C 解析

由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5，

∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45. 10．有以下四个结论：

①lg(lg 10)＝0；

②ln(ln e)＝0；

③若10＝lg x，则x＝10；

④若e＝ln x，则x＝e2. 其中正确的是(

) A．①③ B．②④ C．①② D．③④

答案

C 解析

lg(lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；

ln(ln e)＝ln 1＝0，故②正确；

若10＝lg x，则x＝1010，故③错误；

若e＝ln x，则x＝ee，故④错误．

11. 计算下列各式：

(1)10lg 3－10log41＋2log26；(2)22log2332log39. 解

(1)10lg 3－10log41＋2log26＝3－0＋6＝9. (2)22log2332log39＝2×22log23323log399＝4×3＋＝12＋1＝13. 93412. 已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1.求x·y的值．

解

∵log2(log3(log4x))＝0，∴log3(log4x)＝1，

∴log4x＝3，∴x＝43＝64. 由log4(log2y)＝1，知log2y＝4，∴y＝24＝16. 因此x·y＝64×16＝8×8＝64. 3434

三、探究与拓展

113. 已知logab＝logba(a>0，a≠1；b>0，b≠1)，求证：a＝b或a＝. b证明

令logab＝logba＝t，则at＝b，bt＝a，

∴(a)＝a，则a＝a，∴t2＝1，t＝±1. 当t＝1时，a＝b，当t＝－1时，a＝，

1ttt2b所以a＝b或a＝1b.