习题3.1课堂实录【1】

幂函数

孝感高中

周浩

一

、教学设计

1、教学目标分析

幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数.通过本节课的学习,学生将建立幂函数这一函数模型,并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数,进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质研究一个函数的意识.因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升。

本节课作为新授课,力图通过学生对具体实例中幂函数的观察,归纳出幂函数形式的特点,自然生成幂函数的概念;力图通过设置阶梯式问题和具体的实例,引导学生遵循正确的研究方法对幂函数的图象和性质展开研究,让学生全程参与到研究幂函数的图象与性质的过程中,使学生对幂函数的图象与性质能够合情推理,再利用几何画板动态生成幂函数的图象进行验证,让学生自然生成一般幂函数的图象与性质根据上述分析,制定如下教学目标

(1)

基础知识目标

①理解幂函数的概念,会画幂函数的图象②结合这几个幂函数的图象,理解幂函图象的变化情况和性质

(2)

能力训练目标: ①通过观察、归纳幂函数的性质,培养学生抽象概括、归纳推理和识图能力；

②使学生体会类比、由特殊到一般、数形结合的思想和方法；

(3)

情感态度与价值观

①通过生活实例引出幂函数的概念,使学生体会到数学在实际生活中的应用,激发学生的学习兴趣；

②利用几何画板,验证幂函数图象的变化规律,使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用,从而激发学生的学习欲望,培养学生严谨的科学研究精神. 2、教学内容解析

本节内容为人教版教材必修1第二章第三节,本章主要研究了三类函数:指数函数、对数函数以及幂函数,而在第一章已经系统的研究了函数的基本性质,后续研究的基本初等函数还有三角函数.课程目标为:使学生了解指数函数、对数函数的实际背景,理解指数函数、对数函数的概念和基本性质,了解五种幂函数,体会和研究一个函数的基本过程和方法,同时会用它们解决实际问题。幂函数是继指数函数和对数函数后研究的实际问题中常见的另一类函数,通过引入幂函数的概念,可以进一步完善函数体系,而通过研究幂函数的图象和性质,可以让学生进一步体会研究一个函数基本过程和方法.根据以上分析,本节课的教学重点确定为：

(1)

幂函数的概念生成

(2)

从五个具体幂函数中认识、归纳、推理幂函数的图象和性质

3、教学问题诊断

本节课是新授课,对学生而言,幂函数是一类新的函数,其形式的特点以及图象的特征还没有形成初步的认识。一方面,在此之前,学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数以及对数函数,这为学生研究幂函数打下了一定的基础,但同时,由于指数函数与幂函数的形式特征较为接近,很容易在学生对幂函数概念的认识中产生负迁移作用,因此,学生容易对幂函数与指数函数的特征混淆;另一方面,对于函数的研究方法,学生有一定的基础,但由于幂函数图象的特征不具有单一性(与幂指数的符号有关,仅需要研究第一象限的图象即可),与前面所学函数的研究有所差异,由图象观察、归纳性质时可能比较盲目.此外,仅靠几个特殊幂函推理出一般幂函数的图象和性质,学生可能存在一定的疑虑,无法达到认识的同一.因此,本节的教学难点确定为: (1)

如何避免学生对幂函数概念的混淆；

(2)

如何从五个具体的幂函数归纳、推理幂函数的图象与性质. 4、教学对策分析

对幂函数的概念的认识,我遵循了从学生的认知最近发展区出发,从实际例子自然的引入幂函数的概念,达到概念自然生成的目的,此外,为了防止概念的混淆和负迁移,生成概念后用个具体的实例让学生对幂函数形式的特征做进一步的理解; 对于幂函数图象与性质的认识,我首先通过分层设问,让学生从思想上明确研究的方法,来避免学生研究的盲目性,再让学生从初步尝试到具体幂函数的图象与性质到引导学生对图象性质的深层认识,最后通过几何画板作图验证,来消除学生对幂函数图象与性质认识的疑虑,达到认识的同一此外通过相应练习来进一步加深对幂函数图象与性质的理解

5、教学基本流程

5、教学过程设计

I.问题引入

我们先看几个具体问题:(1)如果回收废品每公斤１元，某班每年卖废品ｘ公斤，所得的钱为y元，那么ｙ= ；(2)如果正方形的边长为ｘ，面积为y，那么ｙ= ；(3)如果正方体的棱长为ｘ, 体积为y，那么ｙ= ；(4)如果一个正方形场地的面积为ｘ, 边长为y，那么ｙ= ；(5)如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的平均速度为yｋm/s，那么ｙ= . 思考1.以上各题目的函数关系分别是什么? 2.以上问题中的函数具有什么共同特征? 设计意图:从实例中学生能自然的归纳出幂函数的形式特征,为幂函数概念的自然生成起到很好的铺垫作用. II.新知探究

(一)

问题探究一:幂函数的概念

(1)概念自然生成

幂函数的概念:一般地,函数y=x“叫做幂函数,其中x是自变量,a是常数. (2)

幂函数概念辨析

例1、下列函数中,哪几个函数是幂函数?

设计意图:避免指数函数概念对幂函数概念的负迁移作用,让学生对幂函数的特征有更清楚的认识. (二)

问题探究二:幂函数的图象和性质

(1)

方法引导思考如下问题

1.函数图象的画法有哪些? 2.如何画出幂函数的图象? 设计意图:意识是行动的前提,两个问题设置的目的是引导学生通过已经研究函数图象的画法从思想上明确幂函数图象的探究方法. (2)

动手尝试: 在同一平面直角坐标系内作出下列幂函数图象. yx,yx,yx,yx,yx1

设计意图:这是大纲要求的五个基本幂函数,在学生对幂函数作图的方法清楚后,这里作图采用小组合作的方式,一方面可以提高课堂效率;另一方面,可以培养学生合作探究的精神。得到五个幂函数的图象后,能为进一步研究幂函数的图象与性质认识提供直观的感性认识,同时也能让学生体会“由特殊到一般”的研究问题的思想方法. (3)

性质研究

观察幂函数的图象，将你发现的结论写在下表内. 2312 设计意图:学生对五个特殊幂函数的性质研究，进入熟练如何去研究一个函数，为后面一般性质的归纳奠定了很好的基础. (4)

深层探究: 1.幂函数图象的分布情况如何?

2.研究幂函数的哪一部分的图象比较合适?

3.试着根据几个具体幂函数的图象归纳、推理幂函数图象所具有的性质. 设计意图:在对前面所学函数图象与性质的研究中,基本上是从整体上观察函数所具备的性质,为什么研究幂函数只需要研究第一象限内的图象?对学生而言是个疑点,为此,我从学生的认知最近发展区出发,分层设问,避免了学生对幂函数图象研究的盲目性,使学生对幂函数图象与性质的研究从感性认识上升到理性认识的过程水到渠成; (5)

用几何画板验证幂函数的图象与性质

设计意图:事实上,通过对具体幂函数的性质的归纳、推理一般幂函数的图象与性质,学生还是心存疑虑,到底一般幂函数的图象与性质是怎样的?推理是否具有正确性?利用几何画板能轻而易举的解决该问题,同时,也培养了学生对问题研究严谨的科学精神. (6)总结幂函数的图象与性质

①幂函数的定义域、奇偶性、单调性,因函数式中a的不同而各异; ②如果a>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数; ③如果a<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数. 设计意图:让学生对幂函数的图象与性质形成系统的认识. III.巩固应用

2m2m3练习1.(1)如果函数f(x)(mm1)x

是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，2则m的值为 ; . 练习2.(2)下列结论中正确的是有( ) A 幂函数图像都经过点(0,0)、(1,1) B 有些幂函数不具有奇偶性

C 当m＞0时，幂函数y=xm的值随x的增大而增大 D 当m=0时，幂函数y=xm的图像是一条直线 练习1的设计的目的是让学生进一步理解幂函数的概念; 练习2的设计的目的是让学对幂函数的图像与性质能够综合运用. IV.总结

1幂函数的概念; 2幂函数的图象和性质; 3涉及的数学思想与方法; 设计意图:一方面让学生对知识形成系统的认识,另一方面,可以让学生进一步明确研究问题的方法和思想. V.作业布置

教材习题2.3第2,3题

二、教学反思

本节课以“导学”为主要设计思想,采用了教师创设问题平台,引导学生自主合作探究的学习方式,符合新课程以学生为中心的基本教学理念教学中,注重学生的亲身体验,通过分层设置问题,逐层突破学生探究中的困惑,让学生在亲历探究得到知识的同时,体会研究问题的思想与方法成

功之处:一是成功实现了有效教学与高效教学的结合.教学设计符合学生的认知规律,教学设计中,我能充分把握“以学生为中心”的指导思想,通过分层设置问题,为学生自主学习探究、自然生成知识提供了很好的探究平台,实现了有效教学.教学中,我充分借助多媒体,一方面达到展示问题、知识的目的,提高了课堂容量,另一方面,提高了学生的直观感性认识,实现了高效教学.二是实现了知识目标的完成与学习研究能力的综合提升.学生在学到相关知识的同时,更重要的是从学习探究的过程中充分的体会了研究问题的思想与方法,对后续的学习会有更大的帮助.三是善于运用多媒体辅助教学,教态得体,亲和力强,能很好地驾驭课堂改进之处:由于条件有限,对于学生探究的结果没有在全班做直观的展示,对学生的成就感的机会创设有所欠缺教育人生的精彩源于课堂,新课改也对教师提出了越来越高的要求.老师要做有效课堂与高效课堂的引导者,不断优化教学策略,起到良好的示范作用,在理解数学知识的内涵和外延的同时,让学生在知识技能,过程和方法,情感、态度与价值观等多方面得到进步和发展.这节课提供给了我非常好的打磨和展示自我的平台,我会以此为契机,在平日的教学实践中不断思考和创新,更好的完成新课程理念下的教学任务.