小结优秀说课稿

第一章

集合与函数的概念

模块

能力层次

集合的含义与表示

集合间的基本关系

集合的基本运算

函数的概念

函数的表示法

函数的单调性与最大(小)值

函数的奇偶性

考试内容

识记

√

理解

√

√

√

√

掌握

√

√

应用

备

注

包括求简单函数的解析式、定义域和值域

关注学科内综合

数学1

1

1．集合的概念

(1)研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．

(2)集合中元素的特征有确定性、互异性、无序性．

(3)元素和集合的关系是属于(∈)、不属于(∉)．

2．常用数集

自然数：N；整数：Z；正整数：N*；有理数：Q；实数：R．

3．集合间的基本关系及集合的基本运算

关系或运算

子集：

A⊆B(或B⊇A)

自然语言

集合A中任意一个元素都是集合B中的元素

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合

由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

已知全集U，集合A⊆U，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集

符号语言

A⊆B(或B⊇A)⇔

x∈A⇒x∈B 图形语言

交集：A∩B A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

并集：A∪B A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

补集：∁UA ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

4.函数与映射

2

5.函数的基本性质

两集合A、B 对应关系

映射

设A、B是设A、B是两个两个非空集非空数集

合

如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一的元素和它对应

称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

函数

(1)函数的最值：函数的最大(小)值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)＝M；函数的最大(小)值应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)．

(2)函数的单调性：如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1)f(x2)，那么就称f(x)在区间D上是增(减)函数．函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质．

(3)函数的奇偶性是函数的整体性质，函数具有奇偶性的一个前提条件是函数的定义域关于原点对称．如果对于f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)或f(x)，那么函数f(x)就叫奇或偶函数；偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称．

一、典型例题分析

【例1】(2014年湖南学业水平考试真题)已知元素a∈{0，1，2，3}，且a∉{0，1，2}，则a的值为(

) A．3

B．2 C．1

D．0 【答案】A 【解析】根据元素与集合的关系，易知A正确．

【例2】(1)(2013年湖南学业水平考试真题)已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x}，若M∪N＝{0，1，2，3}，则x的值为(

) A．3

B．2 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意f：A→B 一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应

称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

名称

3

C．1

D．0 【答案】A

【解析】根据集合的并集运算，易知A正确．

(2)(2012年湖南学业水平考试真题)已知集合A＝{－1，0，2}，B＝{x，3}，若A∩B＝{2}，则x的值为(

) A．3

B．2 C．0

D．－1 【答案】B 【解析】根据集合的交集运算，易知B正确．

(3)如图所示，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为24平方米，设熊猫居室的一面墙AD长为x米(2≤x≤6)．

(Ⅰ)用x表示墙AB的长；

(Ⅱ)假设所建熊猫居室的墙壁造价(在墙壁高度一定的前提下)为每米1 000元，请将墙壁的总造价y(元)表示为x(米)的函数；

(Ⅲ)当x为何值时，墙壁的总造价最低？

24【解析】(Ⅰ)AB＝x(2≤x≤6)；

16(Ⅱ)y＝3 000x＋x(2≤x≤6)；

16(Ⅲ)因为x＋x≥216x·x＝8，当且仅当x＝4时取等号，所以当x为4米时，墙壁的总造价最低，最低造价为24 000元．

【例3】(1)已知集合M＝{a，b}，N＝{b，c}，则M∩N＝(

) A．{a，b}

B．{b，c} C．{a，c}

D．{b} 【答案】D

【解析】根据集合的交集运算，易知D正确．

(2)下列命题中正确的个数是(

)

4

①很小的实数可以构成集合；

②集合{y|y＝x2－1}与集合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个集合；

361③1，2，4，－2，0.5，这些数组成的集合有5个元素；

④集合{(x，y)|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．

A．0

B．1 C．2

D．3 【答案】A

【解析】①错的原因是元素不确定；②前者是数集，而后者是点集，种类不361同；③2＝4，|－2|＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；④本集合还包括坐标轴．

【例4】(1)若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，则集合∁U(M∪N)＝(

) A．{1，2，3}

B．{2} C．{1，3，4}

D．{4} 【答案】D

【解析】根据集合的并集与补集的运算，易知D正确，同时可以指导学生用韦恩图来理解．

x＋1，

（x≥0）(2)已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________. 0，

（x＜0）【答案】1

【解析】本题考查如何求分段函数的函数值，易知答案为1.

【例5】已知集合A＝{x|a5}，全集

U＝R. (1)若A∪M＝R，求实数a的取值范围；

(2)若B∪(∁UM)＝B，求实数b的取值范围．

【解析】(1)由于A∪M＝R，

a＋8≥5，所以

解得－3≤a<－1.

a<－1，故实数a的取值范围是[－3，－1)．

5

(2)显然∁UM＝{x|－1≤x≤5}．

由于B∪(∁UM)＝B，于是∁UM⊆B，

即{x|－1≤x≤5}⊆B，

8－b<－1，所以

b>5，解得b>9.

【方法总结】在处理集合间的包含关系问题时，要借助数轴、韦恩图等帮助理解．解答此题时，要明确A∪M＝R、B∪(∁UM)＝B的含义，并会转化等价的关系式：B∪(∁UM)＝B⇔∁UM⊆B. 二、重点关注

本章是中学数学的核心内容，因而是历年考试的重点和热点，纵观历年试题，考试内容主要集中在集合的运算、函数的定义域、函数的单调性以及奇偶性等方面．预计每年对本部分考查不会有太大变化，客观题重点考查集合的运算和函数的定义域为主，综合题将仍然以函数为背景，重点考查函数的奇偶性、单调性和最值．

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