习题2.1名师教学视频（文字实录）

目录：

2．1.1

指数与指数幂的运算…………................

第几页

2．1.2

指数函数及其性质…………................

第几页

2．1.1

指数与指数幂的运算

一、知识点梳理

知识点1：n次方根，n次根式: (1)a的n次方根定义：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示：

n的奇偶性

n为奇数

n为偶数

a的n次方根的表示符号

na a的取值范围

a∈R

[0，＋∞) n±a n(3)根式：式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

知识点2：根式的性质

nn

(1)0＝0(n∈N*，且n>1)；

(2)(a)n＝a(n∈N*，且n>1)；

aa≥0nn(3)an＝a(n为大于1的奇数)；

(4)an＝|a|＝(n为大于1的偶数). －aa<0

知识点3：分数指数幂

n(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：amnmn＝1amn(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

知识点4：有理数指数幂的运算性质: (1)aras＝ars(a>0，r，s∈Q)；

＋(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

知识点5：无理数指数幂

一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 1

二、典型例题

类型1：根式的意义

例1

求使等式a－3a2－9＝(3－a)a＋3成立的实数a的取值范围．

解

a－3a2－9＝a－32a＋3:＝|a－3|a＋3，要使|a－3|a＋3＝(3－a)a＋3，

a－3≤0，需解得a∈[－3,3]．

a＋3≥0，

nnn反思与感悟

对于a，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0才有意义；(2)只要a有意义，a必不为负．

变式训练1

若a2－2a＋1＝a－1，求a的取值范围．

解

∵a2－2a＋1＝|a－1|＝a－1，∴a－1≥0，∴a≥1.

类型2：利用根式的性质化简或求值

43例2

化简：(1)3－π4；

(2)a－b2(a>b)；(3)(a－1)2＋1－a2＋1－a3. 4解

(1)3－π4＝|3－π|＝π－3.

(2)a－b2＝|a－b|＝a－b. (3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1. nn＝nan＝a，a为任意实数均可；n为偶数时，a≥0，nn才有意义，反思与感悟

n为奇数时aann＝a；而a为任意实数nan均有意义，且nan＝|a|. 且a变式训练2

求下列各式的值：

7443(1)－27；

(2)3a－34(a≤1)；

(3)a3＋1－a4. 74解

(1)－27＝－2.

(2)3a－34＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a. 1，a≤1，43(3)a3＋1－a4＝a＋|1－a|＝

2a－1，a>1.

类型3：有限制条件的根式的化简

例3

设－3

解

原式＝x－12－x＋32＝|x－1|－|x＋3|，

∵－3

－2x－2，－3

－4，1≤x<3.

2

n反思与感悟

n为偶数时，an先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号．

变式训练3

例3中，若将“－3

解

原式＝x－12－x＋32＝|x－1|－|x＋3|.∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，

∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.

类型4：根式与分数指数幂之间的相互转化

例4

用分数指数幂形式表示下列各式(式中a>0，x>0，y>0)：

3(1)a·a；(2)a·a2；(3)aa；(4) 23y2

xx33y6.

yx3aa解(1)a2·a＝a2·212212a；

115233a3a3a3；

(2)a·a2＝a3·23(3)aa＝(aa)(a)a；

(4)方法一

从里向外化为分数指数幂

y2

xx33y6＝yx3y2

xx3y63＝yx311122312234y2

xx3y2·＝yx11152y22y(xy)2(xy2)2y4.

xx方法二

从外向里化为分数指数幂．

y

x542x3y6y2＝(yx3x3x3y62y2x33y622y2x3y6322y22x34y612)＝[()]＝{[(3)]}＝()·()·(3)＝yyx3xyx3xyxxyx3111111111. 反思与感悟

1.根式直观，分数指数幂易运算．

2．运算化简时要注意公式的前提条件，保持式子运算前后恒等．

变式训练4

把下列根式化成分数指数幂：

(1) 682；(2) 3aa(a>0)；(3)b3·b2；(4)135xx22. 解

(1)82＝6623·2＝(2)＝2；；

1232312234127126712(2)aaaa＝a＝(a)＝a；

b＝b；(3)b·b＝b·

3323231133

4

13＝2231x(x)252＝31xx45＝31x95＝1(x)9153＝1x35＝x.

35x(x)5类型5

用指数幂运算公式化简求值

例5

计算下列各式(式中字母都是正数)：

2115111mm227170.5.

2(2a3b2)(－6a2b3)(－3a6b6)；

310.027＋()3－(2)；111259m2m223312527170.5323解

10.027＋()－(2)＝(0.027)＋27－1259232555＝0.09＋－＝0.09；

9332原式＝[2(－6)(－3)]a3mm2m12112211326b115236＝4ab0＝4a；

12(m1212m)m12122mm＝m＋m.

12反思与感悟

一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．

11700.2543变式训练5

(1)化简：()3(－)＋82＋(2×3)6；

86(2)化简：5xy123121115(x1y2)(x3y6)46x2＋1；

(3)已知x＋x＝5，求的值．

x1212解

(1)原式＝8231(－1)(－)31＋21342＋(2)(3)＝2＋2141361263144

＋2233＝112；(2)5xy11211112536(xy)(xy)4612-1221111(－)－(－1)－－－(－)663

＝5(－4)(－)x3y226＝24x0y＝24y6；511x2＋1(3)由x＋x＝5，两边同时平方得x＋2＋x＝25，整理得：x＋x＝23，则有＝23. x－1－1

类型6

运用指数幂运算公式解方程

例6

已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值．

解

方法一

∵a>0，b>0，又a＝b，aba＝b1bb1ab

a＝ba＝9a，ab19a＝9a8＝32a＝43.

4

8919

4方法二

因为ab＝ba，b＝9a，所以a9a＝(9a)a，即(a9)a＝(9a)a，所以a9＝9a，a8＝9，a＝3. 反思与感悟

指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数变形，以达到我们代入、消元等目的．

34变式训练6

已知67x＝27,603y＝81，求－的值．

xy解

由67＝3，得67＝3，603＝81得603＝3，3x33xy4y43yx＝4334603∴－＝2，故－＝－2. ＝9＝32，yxxy67三、单元检测

一、选择题（每题5分，共60分）

1．已知m10＝2，则m等于(

) A.102

B．－10102

C.210

D．±2 答案

D 解析

∵m10＝2，∴m是2的10次方根．

又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．

10∴m＝±2.故选D. 42．化简16x8y4(x<0，y<0)得(

) A．2x2y

B．2xy

C．4x2y

D．－2x2y

答案

D 解析

8414416x8y4＝

48144414(16xy)[2(x)(y)]23．以下说法正确的是(

) (x)814(y)4142(x)2(y)2x2y

A．正数的n次方根是正数

B．负数的n次方根是负数

nC．0的n次方根是0(其中n>1且n∈N*)

D．a的n次方根是a

答案

C 解析

由于正数的偶次方根有互为相反数的两个方根，故A错；由于负数的偶次方根无意义，故Bn错；C显然正确；当a<0时，只有n为大于1的奇数时a才有意义，故D错．

4．化简e1＋e2－4等于(

) －A．e－e1

B．e1－e

C．e＋e1

D．0 －－－答案

A 解析

－e1＋e2－4＝e2＋2e1e＋e2－4＝e2－2＋e2＝e1－e2

－－－－－－＝|e1－e|＝e－e1. 5

5．当2－x有意义时，化简x2－4x＋4－x2－6x＋9的结果是(

) A．2x－5

B．－2x－1

C．－1

D．5－2x

答案

C 解析

∵2－x有意义，∴2－x≥0，即x≤2.x2－4x＋4－x2－6x＋9＝x－22－x－32

＝|x－2|－|x－3|＝2－x－(3－x)＝2－x－3＋x＝－1. 6．5－26的平方根是(

) A.3＋2

B.3－2

C.2－3

D.3－2，2－3 答案

D 解析

±5－26＝±3－26＋2＝±3－22＝±(3－2)．

7．化简aa的结果是(

) A．a

B．a

C．a答案

B 3解析

原式＝1213163122

D．a

13a)＝a·123a)＝a

32128．2、3、6这三个数的大小关系为(

) A．632

B．623

C．236

D．326

答案

B 解析

2＝２＝2＝8，3＝3＝3＝9，６＝6.∵6<8<9，623.9．下列互化中正确的是(

) 6A．－x＝(－x)(x>0)

B.y2＝y(y<0) 4y3x334C．()＝(x，y≠0)

D．x3＝－x

xy答案

C 解析

－x＝－x，故选项A不正确；选项B中，y<0，故y2＝y＝－y，选项B也不正确；x3＝x，故选项D不正确．

10．下列等式一定成立的是(

) 121121312361613121612131213161312166361326626166666161213

6261313A.aaa

1332B.aa0

6 1212

C.(a)a

答案

D 133212+33116329D.aaa

121316a＝a解析

a·-34＝aa.a·a＝a0＝10，a-1212＝a326a9.aa＝a＝a.

121311-231611．(3－2x)中x的取值范围是(

) A．(－∞，＋∞)

3C．(－∞，)

2答案

C 解析

(3－2x)＝-3433B．(－∞，)∪(，＋∞) 223D．(，＋∞) 213要使该式有意义，需3－2x>0，即x<. ＝，3234（3-2x）4（3-2x）－112．如果x＝1＋2b，y＝1＋2b，那么用x表示y等于(

) x＋1x＋1x－1xA.

B.

C.

D.

xx－1x＋1x－1答案

D 11x－解析

由x＝1＋2b，得2b＝x－1，y＝1＋2b＝1＋b＝1＋＝. 2x－1x－1二、填空题（每题5分，共20分）

13.3－22＝________. 3＋22答案

3－22 解析

方法一

3－22＝3＋222－122－12－12＝＝＝3－22. 2＋122＋12＋12－1方法二

3－22＝3＋223－222＝3－22. 3＋223－22414．若代数式2x－1＋2－x有意义，则4x2－4x＋1＋2x－24＝________. 答案

3 2x－1≥0，1解析

由2x－1＋2－x有意义，得即≤x≤2. 22－x≥0，

44故4x2－4x＋1＋2x－24＝2x－12＋2x－24＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3. 15．计算(4答案

1

167

7－3)7＋3＝________.

解析

原式＝4(7－3)(7＋3)1－－＝479＝42＝. 1616．(3＋2)2015×(3－2)2016＝________. 答案

3－2 解析(3＋2)2015×(3－2)2016＝[(3＋2)(3－2)]2015×(3－2)＝12015×(3－2)＝3－2. 三、解答题（共70分）

43317．求－63＋5－44＋5－43的值．

解

343－63＝－6，5－44＝|5－4|＝4－5，5－43＝5－4，

∴原式＝－6＋4－5＋5－4＝－6. 118．设f(x)＝x2－4，若0

a1解

f(a＋)＝a1a＋2－4＝a1a2＋2－2＝a11a－2＝|a－|，

aa111由于0

原式＝x－y2＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；当x＜y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．

0，x≥y，∴原式＝

2y－x，x＜y.

20．化简aa2312b3b2312a1b12()3

baab11223解

原式＝abab1123(ba71116612)56aba12231213(a112b21132)a21+32b1123(ab)

233322bab(ab)ab＝a，求f(2)．

7616ab.

－1621．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－ax＋2(a>0，且a≠1)，若g(2)解

因为f(x)＋g(x)＝ax－ax＋2，又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，

－所以－f(x)＋g(x)＝ax－ax＋2，所以f(2)＋g(2)＝a2－a2＋2，

－－15－－f(2)＋g(2)＝a2－a2＋2，两式联立解得a＝2，进一步求得f(2)＝. 422．已知a，b是方程x2－6x＋4的两根，且a>b>0，求8

a－b的值．

a＋b

解

方法一

由根与系数的关系知，a＋b＝6，ab＝4，

所以(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝20，所以a－b＝25，

a－ba－b2a＋b－2ab5＝＝＝. 5a－ba－ba＋ba＋b＝6，方法二

∵a，b是方程x－6x＋4＝0的两根，∴

ab＝4，2

∵a>b>0，∴a>b.

a－ba－b2a＋b－2ab6－2421＝＝＝，∴＝＝a＋ba＋ba＋b＋2ab6＋2410515＝. 552.1.2

指数函数及其性质

一、知识点梳理

知识点1：指数函数定义

一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

知识点2：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质

a>1

0

图象

定义域

值域

过定点

性质

函数值的变化

单调性

知识点3：不同底指数函数图象的相对位置

一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：

(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图．

1x(2)指数函数y＝ax与y＝a(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称．

9

R

(0，＋∞) 过点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1；当x<0时，0

当x>0时，01 是R上的减函数

知识点4：比较幂的大小的方法

(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；

(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断；

(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．

知识点5：指数方程、不等式

简单指数不等式的解法：

(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；

(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；

(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．

知识点6：与指数函数复合的函数单调性: 一般地，有：形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质

(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．

(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0

二、典型例题

类型1：求指数函数的解析式

例1

已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．

解

设f(x)＝ax，将点(3，π)代入，得到f(3)＝π，即a3＝π，解得：a＝π，于是f(x)＝π. 反思与感悟

根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1.指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数．

要求指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．

变式训练1

已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1,2)，求a，b的值．

解

由指数函数定义可知2b－3＝1，即b＝2.将点(1,2)代入y＝ax，得a＝2.

类型2：指数函数图象的应用

例2

直线y＝2a与函数y＝|2x－1|图象有两个公共点，求实数a的取值范围．

1－2x，x<0解

y＝|2－1|＝x，图象如下：

2－1，x≥0x13x3

10

1由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|图象有两个公共点，需0<2a<1，即0

指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图象的“原料”作用．

变式训练2

函数y＝a|x|(a>1)的图象是(

)

答案

B 解析

函数y＝a|x|是偶函数，当x>0时，y＝ax.由已知a>1，故选B.

类型3：求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域

例3

求下列函数的定义域、值域．

3xxx(1)y＝x；(2)y＝4－2＋1. 1＋31＋3x－11解

(1)函数的定义域为R(∵对一切x∈R,3≠－1)．∵y＝＝1－，

x1＋31＋3xx

又∵3x>0,1＋3x>1，∴0<111<1，∴值域为(0,1)．

x<1，∴－1<－x<0，∴0<1－1＋31＋31＋3x13(2)定义域为R，y＝(2x)2－2x＋1＝(2x－)2＋，

241333∵2x>0，∴2x＝，即x＝－1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，∴值域为[，＋∞)．

2444反思与感悟

指数函数y＝ax与y＝f(x)的复合方式主要是y＝af(x)和y＝f(ax)．函数y＝af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要达到指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．

变式训练3

求下列函数的定义域、值域：

1y＝0.31x1；2y＝35x1.



1解

(1)由x－1≠0得x≠1，所以函数定义域为{x|x≠1}．由≠0得y≠1，

x－111

所以函数值域为{y|y>0且y≠1}．

11(2)由5x－1≥0得x≥，所以函数定义域为{x|x≥}．

55由5x－1≥0得y≥1，所以函数值域为{y|y≥1}．

类型4：比较大小

例4

比较下列各题中两个值的大小：

(1)1.7－2.5,1.73；

(2)1.70.3,1.50.3；

(3)1.70.3,0.83.1. －－2.5解

(1)∵1.7＞1，∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵－2.5＞－3，∴1.7＞1.73. －(2)方法一

∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x的图象的上方．而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3. 1.70.31.70.31.70.31.70.30.3方法二

∵1.5＞0，且0.3＝1.5，又＞1,0.3＞0，∴＞1，∴1.7＞1.5. 1.51.51.50.3(3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，∴1.70.3＞0.83.1. 反思与感悟

当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1. 变式训练4

比较下列各题中的两个值的大小．

(1)0.8－0.1,1－π1.250.2；(2)π，1. －0.2解

(1)∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是减函数．∵－0.2＜－0.1，∴0.8＞0.8－0.1，即0.8－0.1＜1.250.2. 1x11－π＞10＝1，即1－π＞1. (2)∵0＜＜1，∴函数y＝在R上是减函数．又∵－π＜0，∴πππππ

类型5：解指数方程

例5

解下列关于x的方程：

1x＋22x＋2x(1)81×32x＝；

(2)2＋3×2－1＝0. 91x＋2－2(x＋2)2x＋4解

(1)∵81×32x＝，∴3＝3，∴2x＋4＝－2(x＋2)，∴x＝－2. 9(2)∵22x2＋3×2x－1＝0，∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0. 令t＝2x(t＞0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，

＋11解得t＝或t＝－1(舍去)．∴2x＝，解得x＝－2. 44反思与感悟

1.af(x)＝b型通常化为同底来解．

2．解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．

变式训练5

已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)，若f[g(1)]＝1，则a等于(

) A．1

B．2

C．3

D．－1 12

答案

A 解析∵g(x)＝ax2－x，∴g(1)＝a－1.∵f(x)＝5|x|，∴f[g(1)]＝f(a－1)＝5|a1|＝1，∴|a－1|＝0，∴a＝1. －

类型6：解指数不等式

例6

解关于x的不等式：a2x1≤ax5(a>0，且a≠1)．

＋－解

(1)当01时，∵a2x1≤ax5，∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6. ＋－综上所述，当01时，不等式的解集为{x|x≤－6}．

反思与感悟

解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．

变式训练6

已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1x，则x的取值范围是________．

－1答案

(，＋∞) 21711－解析

∵a2＋a＋2＝(a＋)2＋>1，∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1x⇔x>1－x⇔x>.∴x∈(，＋∞)．

2422

类型7：与指数函数复合的单调性问题

例7

设a是实数，f(x)＝a－2(x∈R)，试证明对于任意a，f(x)为增函数．

2＋1x证明

设x1，x2∈R，且x1

x1x22121222(2x12x2)x2x1x1.

x22121(21)(21)由于指数函数y＝2x在R上是增函数，且x10得2110,2210,所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)为增函数．

反思与感悟

此类型题目单调性证明过程中，在对差式正负判断时，利用指数函数的值域及单调性．

变式训练7

已知函数f(x)＝2ax2(a为常数)．

＋xxxx20,

xx(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若a>0，试证明函数f(x)在R上是增函数；

(3)当a＝1时，求函数y＝f(x)，x∈(－1,3]的值域．

解

(1)函数f(x)＝2ax＋2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R. (2)任取x1，x2∈R，且x10得ax1＋2

所以有2ax122ax22,即f(x1)

＋2(3)由(2)知当a＝1时，f(x)＝2x在(－1,3]上是增函数．所以f(－1)

13

三、单元检测

一、选择题（每题5分，共60分）

1．下列函数中指数函数的个数为(

) 11－1①y＝()x；②y＝()x1；③y＝2·3x；④y＝x2；⑤y＝1x；⑥y＝()2x－1. 222A．1

B．2

C．3

D．4 答案

A 解析

由定义知除(1)外都不是指数函数．

2．函数y＝(a2－4a＋4)·ax是指数函数，则有(

) A．a＝1或a＝3 C．a＝3 答案

C 解析

由a2－4a＋4＝1且a≠1可得a＝3. 3．当a>2时，函数y＝ax和y＝(a－1)x2的图象只能是(

) B．a＝1 D．a>0且a≠1 1

答案

A 解析

由a>2，得a－1>0，故抛物线开口向上，指数函数在R上递增，故选A. 4．已知0

) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

答案

A

111解析

取a＝，b＝－2，所以得函数y＝()x－2，由图象平移的知识知，函数y＝()x－2的图象是2221由函数y＝()x的图象向下平移两个单位得到的，故其图象一定不过第一象限．

25．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为(

) A．na(1－b%)

C．a[1－(b%)n] 答案

D 解析

一年后价值为a－ab%＝a(1－b%)，两年后价值为a(1－b%)－a(1－b%)b%＝a(1－b%)2，…，n年后价值为a(1－b%)n，故选D. 6．设指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，则下列等式中不正确的是(

) fxA．f(x＋y)＝f(x)f(y)

B．f(x－y)＝

fy14

B．a(1－nb%) D．a(1－b%)n

C．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)

D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N*) 答案

D 解析

f(x＋y)＝axy＝axay＝f(x)f(y)，A对；

＋f(x－y)＝ax－yaxfx＝aa＝y＝，B对；

afyx－yf(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，C对；

[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n≠(axy)n，D错．

1＋1－7．若()2a1<()32a，则实数a的取值范围是(

) 22A．(1，＋∞)

C．(－∞，1)

答案

B 11解析

∵函数y＝()x在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>. 228．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(

) 3A．6

B．1

C．3

D.

2答案

C 解析

函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得

a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，ymax＝3. 9．已知a＝A．m＋n<0 C．m>n

答案

D 解析

∵0<5－15－1x<1，∴f(x)＝ax＝()，在R上单调递减，又∵f(m)>f(n)，∴mf(n)，则m、n的关系为(

) 2B．m＋n>0 D．m

1B．(，＋∞) 21D．(－∞，) 21－10．若函数f(x)＝a|2x4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(

) 9A．(－∞，2]

C．[－2，＋∞)

答案

B 11111－解析

由f(1)＝得a2＝，所以a＝(a＝－舍去)，即f(x)＝()|2x4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递99333减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．

故选B. B．[2，＋∞) D．(－∞，－2] 15

1－11．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝()1.5，则(

) 2A．y3>y1>y2

B．y2>y1>y3

C．y1>y2>y3

D．y1>y3>y2

答案

D 1－解析

40.9＝21.8,80.48＝21.44，()1.5＝21.5，根据y＝2x在R上是增函数，

2所以21.8>21.5>21.44，即y1>y3>y2，故选D. 12．设f(x)＝|3x－1|，cf(a)>f(b)，则下列关系式中一定成立的是(

) A．3c<3b

C．3c＋3a>2 答案

D 解析

f(x)＝|3x－1|的图象如下．

B．3c>3b

D．3c＋3a<2

由c＜b＜a且f(c)>f(a)>f(b)可知c，b，a不在同一个单调区间上．

故有c<0，a>0.∴f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1.∴f(c)>f(a)，即1－3c>3a－1,3c＋3a<2，D对．

二、填空题（每题5分，共20分）

13．函数y＝32－2x的定义域是________．

答案

(－∞，5] 解析

要使函数式有意义，需32－2x≥0,32≥2x,25≥2x，解得x≤5. 14．已知5a＝0.3,0.7b＝0.8，则ab与0的大小关系是________．

答案

ab<0 解析

由f(x)＝5x与g(x)＝0.7x的图象可知，5a＝0.3<1时，a<0，同理b>0.所以ab<0. 1x2＋2x－115．函数y＝()的值域是________．

2答案

(0,4] 11解析

设t＝x2＋2x－1，则y＝()t. 因为t＝(x＋1)2－2≥－2，y＝()t为关于t的减函数，

2211－所以0

2216．某乡镇现在人均粮食占有量为360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%.设x年后年人均粮食占有量为y千克，则y关于x的解析式是________________．

1.04x答案

y＝360()(x∈N*) 1.012解析

设该乡镇人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克，经过x年后，该乡16

镇粮食总产量为360M(1＋4%)x，人口数量为M(1＋1.2%)x，则经过x年后，人均占有粮食y＝360M1＋4%x1.04x)(x∈N*)．

x千克，即所求函数解析式为y＝360(1.012M1＋1.2%三、解答题（共70分）

17．若函数f(x)＝(a2－7a＋7)ax是指数函数，求实数a的值．

解

∵函数f(x)＝(a2－7a＋7)ax是指数函数，

2a－7a＋7＝1，a＝1或a＝6，∴∴∴a＝6，即a的值为6. a＞0，a≠1.a＞0，a≠1.

18．求函数y＝1－32x1－的定义域、值域．

91－－－解

要使函数有意义可得到不等式32x1－≥0，即32x1≥32，又函数y＝3x是增函数，所以2x－1≥911－2，即x≥－，即定义域是[－，＋∞)，值域是[0，＋∞)．

221119．已知x∈[－3,2]，求f(x)＝x－x＋1的最小值与最大值．

4211131－－－－－－解

f(x)＝x－x＋1＝4x－2x＋1＝22x－2x＋1＝(2x－)2＋，∵x∈[－3,2]，∴≤2x≤8，则当4224413－－2x＝，即x＝1时，f(x)有最小值，当2x＝8，即x＝－3时，f(x)有最大值57. 241x2－4x＋120．已知函数y＝，求函数的单调区间及值域．

21t22解

令t＝x2－4x＋1，则y＝.

又t＝x－4x＋1＝(x－2)－3在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋21x2－4x＋1∞)上单调递增，∴函数y＝的单调递减区间为[2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，2]．

21－3又∵x∈R时，t≥－3，∴0＜y≤2，即值域为(0,8]．

1－21．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2x，求不等式f(x)<－的解集．

2解

∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0. 113－当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.当x>0时，由1－2x<－，()x>，得x∈∅；

22211－当x＝0时，f(0)＝0<－不成立；当x<0时，由2x－1<－，2x<21，得x<－1. 22综上可知x∈(－∞，－1)．

b－2x22．已知定义域为R的函数f(x)＝x是奇函数．

2＋a(1)求a，b的值；

(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；

(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．

17

(1)解

∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，b＝1.又f(－1)＝－f(1)，得a＝1. 12x112x2(2)证明

任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x

x212121(12x1)(2x21)(12x2)(2x11)2(2x22x1)x1.

x1x2x2(21)(21)(21)(21)∵x1＜x2，∴22－21＞0，又(21＋1)(22＋1)＞0，f(x1)－f(x2)＞0，

∴f(x)为R上的减函数．

(3)解

∵t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，∴f(t2－2t)＜－f(2t2－k)，

∵f(x)是奇函数，∴f(t2－2t)＜f(k－2t2)，∵f(x)为减函数，∴t2－2t＞k－2t2，

1111即k＜3t2－2t恒成立，而3t2－2t＝3(t－)2－≥－. ∴k＜－. 3333

xxxx18