阅读与思考 中外历史上的方程求解PPT专用教学设计内容

一元二次方程根的分布教学设计

华中师大一附中 严贤灿

一、教学内容分析

本节课在初高中教材中均未以明确的课题形式予以展现，但一元二次方程根的分布是非常常见的问题，既可以单独出现，也可以由其他问题转化而来．这类问题与不等式、导数以及新课标新增的函数零点、根的存在性定理和二分法联系密切，因此在高考中经常出现

函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程思想还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位. 就本节而言，本节通过对二次函数的图象的研究来判断一元二次方程根的分布情况，它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。

总之，本节课渗透着重要的数学思想

“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为高中数学学习打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。

二

学生学习情况分析

学生在初中已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解一元二次方程根的分布提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解二次函数图象与x轴的交点与一元二次方程根的关系，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍根的分布，从认知规律上讲，应该是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。这也为我们归纳二次函数零点的位置与方程根的分布之间的联系提供了知识基础。但是由于学生对一元二次方程根的非零分布及充分必要条件理解不深，因此非零分布应该是学生学习的难点。在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手作图分析的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的根的分布和二次函数图像让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系，归纳出充要条件。

三

设计思想

教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣

教学原则：注重各个层面的学生

教学方法：启发诱导式

四、教学目标

以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究函数图象的位置与一元二次方程根的分布之间的关系，发现并掌握在一元二次方程根分布在各区间上的判定方法；让学生在探究过程中体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辨证思维以及分析问题解决问题的能力。

五、教学重点难点

重点：二次函数图像的位置与一元二次方程根的分布之间的关系；一元二次方程根的在各区间上分布的充分必要条件。

难点：探究发现并归纳一元二次方程根的在各区间上分布的充分必要条件。

六、教学过程设计

1．一元二次方程根的基本分布——零分布的探索

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

2x2，0a0）问题1：设一元二次方程axbxc（的两个实根为x1，且x1x2. 探究根与系数的关系

设计意图：问题1（复习回顾，探究疑问，引起兴趣，引出课题）

学生回答：

2b4ac0b教师小结：

(1)x10，x20x1x20，

acxx012a也可借助下列图象得出其等价结论：

b24ac0b24ac0a0a0或

x10，x20f(0)c0f(0)c0b0b0ya0c0Oyb02axx1c00Ox1x20a0x2xb02a

2范例研究

例1

若一元二次方程(m1)x2(m1)xm0有两个正根，求m的取值范围。

m100解：要原方程有两个正实根，必须:2(m1)0

解得0m1

m1m0m1∴实数m的取值范围是{m|0m1}

2b4ac0b(2)x10，x20x1x20，

acxx012a也可借助下列图象得出其等价结论：

b24ac0b24ac0a0a0，或

x10x20f(0)c0f(0)c0b0b0a0yc0b02ayx2Ox10x0x1b02ax2Oxa0c0

第一阶段设计意图

本节的前半节一直以一元二次方程方程的根与0的关系作为模板研究，全面总结了一元二次方程根的零分布情况，给学生一个清晰的解题思路。初中数学教材中尚未涉及一元二次方程根与系数的关系，但学习过求根公式，根据求根公式可得到一元二次方程根与系数的关系，从而得出零分布的等价条件；或者根据二次函数图像观察得出等价条件，以解决高中数学中求二次方程系数范围的问题。进而培养学生归纳总结能力,为下一阶段探究一元二次方程根的非零分布奠定基础。

2．一元二次方程的非零分布——k分布探究

2设一元二次方程axbxc0（a0）的两实根为x1，x，且x21x2。k为

常数。

问题2 （学生讨论）

分别作出下列各种情况的二次函数图像和根与系数的对应关系

(1)kx1x2

(2)x1x2k

(3)x1kx2(4)有且仅有k1x1（或x2）k2

(5)k1x1k2p1x2p2

(6)k1x1x2k2

学生讨论回答后教师小结：一元二次方程根的k分布（即x1问题, 解题主要紧扣，对称轴x(具体解题时不必死套这些结论).

，x2相对于k的位置）b，x=k或端点处的函数值这三点。可以得以下结论2ab24ac0(1)kx1x2af(k)0

bk2ayf(k)0ya0xb2aOkx1xkx2b2aOxx1x2xa0f(k)0

b24ac0(2)x1x2kaf(k)0。

bk2aya0Oyf(k)0xOb2ax1x2kxb2akx2x1a0xxf(k)0

。

y

(3)x1kx2af(k)0ya0Of(k)0x2xa0kx1x2xx1Okf(k)0

(ⅰ)

x10x2ac0(ⅱ)。

x11x2a(abc)0。

(4)有且仅有k1x1（或x2）k2f(k1)f(k2)0ya0yf(k1)0f(k1)0x1k2Ok1x2xOx1k1a0x2k2xf(k2)0f(k2)0

a0a0f(k)0f(k)011(5)k1x1k2p1x2p2f(k2)0或f(k2)0

f(p)0f(p)011f(p2)0f(p2)0

2b4ac0b24ac0a0a0(6)k1x1x2k2或f(k1)0f(k1)0f(k)0f(k)022bbkkkk21212a2a

ya0yxf(k1)0f(k)02x1x2k2xOb2aOk1k1x1x2k2xbx2af(k1)0a0f(k2)0

2范例研究

例2

实数a在什么范围内取值时，关于x的方程3x5x+a=0的一根大于2而小于0，另y 一根大于1而小于3。

f(2)32252a0f(0)a0解



f(1)35a0f(3)33253a0f(-2f(3) x

3 -2 O 1 f(1)

解得

12

此题利用函数图象及函数值来“控制”一元二次方程根的分布。

第二阶段设计意图

一元二次方程根的非零分布利用第一阶段推导出来的根与系数的关系就不能解决问题了，高中数学在学习了方程的解和函数的零点关系后，学生就可以借助函数图像来解决这类问题，这样初高中知识有机的结合在一起，就顺利的解决了k分布的问题。

【课堂小结与重难点剖析】

结合图象可以得到一系列与二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的分布有关的结论，简言之：

（1）方程f（x）=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f（r）＜0.

Δb24ac0,b（2）二次方程f（x）=0的两根都大于r

r,2aaf(r)0.Δb24ac0,bq,p（3）二次方程f（x）=0在区间（p，q）内有两根

2aaf(q)0,af(p)0.（4）二次方程f（x）=0在区间（p，q）内只有一根f（p）·f（q）＜0，或f（p）=0，另一根在（p，q）内或f（q）=0，另一根在（p，q）内. 七、教学反思

一元二次方程根的分布是初中二次函数知识的延展，是学生学习上的一个难点，本节的教学设计，能够从知识结构、学生的认知结构展开，充分挖掘和体现了本课内容所蕴含的知识技能、思想方法、数学应用的教育价值及学习研究解决问题的策略，立足“方程与函数的关系”，渗透了“数形结合”的数学思想，程序化的解决问题的策略。从学生的实际出发，让学生经历了观察发现、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思建构等思维的全过程。