复习参考题教学设计一等奖

指数函数对数函数和幂函数

一、指数函数与对数函数和幂函数

（一）学习要点：

1．指数函数：

①定义：函数yax(a0,且a1)称指数函数，

1）函数的定义域为R，

2）函数的值域为(0,)，

3）当0a1时函数为减函数，当a1时函数为增函数.

②函数图像：

1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限，

2）指数函数都以x轴为渐近线（当0a1时，图象向左无限接近x轴，当a1时，

图象向右无限接近x轴），

3）对于相同的a(a0,且a1)，函数yax与yax的图象关于y轴对称.

③函数值的变化特征：

2．对数函数：

0a1

①x0时0y1，

②x0时y1，

③x0时y1

a1

①x0时y1，

②x0时y1，

③x0时0y1，

①定义：函数ylogax(a0,且a1)称对数函数，

1）

函数的定义域为(0,)，

2）

2）函数的值域为R，

3）当0a1时函数为减函数，当a1时函数为增函数，

4）对数函数ylogax与指数函数yax(a0,且a1)互为反函数.

②

1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限，

2）对数函数都以y轴为渐近线（当0a1时，图象向上无限接近y轴；当a1时，

图象向下无限接近y轴）. 4）对于相同的a(a0,且a1)，函数ylogax与ylog1x的图象关于x轴对称. a

③函数值的变化特征：

0a1

①x1时y0，

②x1时y0，

a1

①x1时y0，

②x1时y0，

③0x1③x0时0y1. 时y0.

3．幂函数

（1）幂函数的定义：

。

（2）幂函数的性质：

①所有幂函数在

上都有意义，并且图像都过点

。

②如果a0，则幂函数图像过原点，并且在区间

上为增函数。

③如果a0，则幂函数图像在0,上是

。在第一象限内，当x

从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地逼近

。当x趋向于时，

图像在y轴

右方无限地逼近

。

④当a为奇数时，幂函数为

，当a为偶数时，幂函数为

，

a

（3）幂函数yx,x0,，当a1时，若0x1,其图像在直线yx的下方，

若x1，其图像在直线yx的上方；当0a1时，若0x1,其图像在直线yx

的上方，当a1时，若x1其图像在直线yx的下方。

1．（1）下列函数中既是偶函数又是(,0)上是增函数的是（C ）

A．yx

B．yx

C．yx

D．yx434332214

提示：A、D中的函数为偶函数，但A中函数在(,0)为减函数，故答案为C．

（2）函数yx的图象是（

A ）

21)的图像关于（

C ）

1xA．x轴对称

B．y轴对称

C．原点对称

D．直线yx对称

（3）函数ylg(21x1x提示：yf(x)lg(，由1)lg0得函数的定义域为(1,1)

1x1x1x1x1x11xlg()lgf(x)，∴

f(x)为奇函数，答案为C．

1x1x1x（4）函数ylog1(x26x17)的值域是(,3]

∵

f(x)lg2提示：令tx26x17(x3)288，ylog1t，log1tlog183．

222（5）下列命题中，正确命题的序号是

④

①当0时函数yx的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点；③若幂函数yx是奇函数，则yx是定义域上的增函数；④幂函数的图象不可能出现在第四象限．

提示：①错，当0时函数yx的图象是一条直线（去掉点（0，1））；

②错，如幂函数yx的图象不过点（0，0）；③错，如幂函数yx在定义域上不是增函数；④正确，当x0时，x0．

2. 求下列函数的定义域、值域：

①y112x2112;

②ylog1(x4x5)

4311x1,0y

1x5,y2

23．已知函数f(x)2log3x(1x9)，求函数y[f(x)]2f(x2)的最大值和最小值，并求出相应x的值．

x1,ymin6;x3,ymax13

xx4．已知910390，求函数y()14x114()x2的最大值和最小值.

2x解：由910390得(3x1)(3x9)0，解得139.∴0≤x≤2.令（≤t≤1，y=4t2－4t+2=4（t－xx1x1）=t，则24121）+1.当t=即x=1时，ymin=1；当t=1即x=0时，ymax=2. 22[点评]含指数不等式的解法及指数函数的性质和换元思想的综合应用

5.

已知f(x)axx2x1(a1)

(1)证明函数f(x)在(1,)上为增函数；(2)证明方程f(x)0没有负数解．

解：(1)任取x1,x2(1,),且x1x2,则a1,aa, 又x22x21x12x11x2x1=3(x2x1)(x21)(x11)0,f(x2)f(x1),故f(x)在(1,)上为增函数．

x02x01x02x01(2)设存在x00,x01,满足f(x0)0,则a12x0,由0a1得0x01,即x02与假设矛盾,所以方程无负数解．

[点评]指数函数的单调性及指数函数的有界性

6．设1,1,1则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有的值为（ A ）

,3，2

B.-1,1

C.-1,3

D.-1,1,3 A.1,3 7．若yloga(2ax)在[0,1]上是减函数,则a的取值范围是 (

C ) A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(2,)

8．已知函数f(x)=log2x(x0)1,若f(a)=a . -1或x2，＝2,(x0)22 9.设a0,a1，函数f(x)alg(x为 . 2x3)2有最大值，则不等式logax5x70的解集解析 设a0,a1，函数f(x)alg(x222x3)有最大值，∵lg(x2x3)≥lg2有最小2x25x70值，∴ 0

则不等式logax5x70的解为2，解得2

10．已知函数f(x)满足：x≥4,则f(x)＝()；当x＜4时f(x)＝f(x1)，

则f(2log23)＝( A ) A.12x1113 B. C. D.

24128 8解析 ∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)且3＋log23＞4 ∴f(2log23)＝f(3＋log23) ＝()3log231211log2311()()8282log1213111

832411．已知函数f(x)lg(x2x2)lg2 (1)判断函数f(x)的奇偶性。 (2)判断函数f(x)的单调性。

解

（1）f(x)lg(x2x)lg2lg22x2x2lg2

=lg2lg(x2x2)f(x)

∴f(x)为奇函数

（2）f(x)是R上的增函数，（证明略）

12．（1）若loga2logb20,则

（

B

）

（A）0ab1

（B）0ba1

（C）ab1

（D）ba1

（2）函数ylog2ax1(a0)图象的对称轴为x2，则a为

（

A

）

11

（B）

（C）2

（D）2

22（3）x1,2时，不等式(x1)2logax恒成立，则a的取值范围（

B

）

（A）1xx（4）已知函数y4323的值域为1,7，则x的范围是

（

D

）

（A）2,4

（B）(,0)

（C）(0,1)2,4

（D）,01,2

（A）(0,1)

（B）(1,2)

（C）1,2

（D）,2

213．比较大小

（1）0.4（3）ab0.220.221.6

（2）log0.10.4log10.42log30.4lg0.4

,ab,aa

其中0ab1

13.（1）0.40.220.221.6

（2）log30.4lg0.4log0.10.4log10.4

2（3）aaa

14．要使函数y12x4xa在x,1上y0恒成立。求a的取值范围。

12x4xa(aR)，如果当x(,1)时f(x)有意义，求a的取值变题：设f(x)lg3范围。

bab3314、a

变题：a

4415．在y2x,ylog2x,yx2,ycos2x这四个函数中，当0x1x21时，使x1x2f(x1)f(x2)恒成立的函数的个数是（

B

）

)22

A．0 B．1 C．2 D．3 16．已知f(x)1logx3，g(x)2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小关系。

f(416当0x1或x时,f(x)g(x)；

34当x＝时,f(x)＝g(x)；

34当1x时,f(x)g(x)

317．设a0,a1，如果函数ya2x2ax1在1,1上的最大值为14，求a的值。

117.3或

318.已知函数f(x)lg(axbx)(a1,0b1)，

（1）求f(x)的定义域；

（2）此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直线平行于x轴？

（3）当a、b满足什么条件时f(x)恰在(1,)取正值. 解:（1）ab0ab(0)()1，

xxxxabxa1a又1,x0，故函数的定义域是(0,). 0b1b（2）问题的结论取决于f(x)是否单调，考察单调性有三种方法：①求导，②运用单调性定义，③复合分析，但以方法①最好. （解一）任取x2x10，则ax2bx2f(x2)f(x1)lgx1abx1，

xxa1ax2bx2a2a1x2x2x1x1xabab0x11f(x2)f(x1),x1x120b1abbb即f(x)在定义域内单调递增，故不存在所述两点；

（解二）求导：f(x)lgexx(alnablnb),

xxaba1lna0xx，，alnablnb0，

0b1lnb0而lge0,axbx0

f(x)0,f(x)在定义域内单调递增，故不存在所述两点；

，）（3）f(x)在(1单调递增，∴命题等价于：f(1)0，ab1

思维拓展

题(2)中证单调性的方法有——

19.已知函数f(x)loga(1x)loga(1x)(a0且a1)

（1）讨论f(x)的奇偶性与单调性；

（2）若不等式|f(x)|2的解集为{x|11x},求a的值；

22解:（1）1x0,f(x)定义域为x(1,1);f(x)为奇函数；

1x01x1x1x2logae()logae，

，求导得f(x)1x1x1x1x2f(x)log2①当a1时，f(x)0,f(x)在定义域内为增函数；

②当0a1时，f(x)0,f(x)在定义域内为减函数；

（2）①当a1时，∵f(x)在定义域内为增函数且为奇函数，

1命题f()1,得loga32,a3；

2时,f(x)在定义域内为减函数且为奇函数，

②当0a1113命题f()1,得loga2,a；

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