习题2.1第二课时 公开课

课题名称：指数与指数函数

知识点梳理

一、学习目标 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；4.知道指数函数是一类重要的函数模型．

二、教学过程 知

1．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正分数指数幂：

amn识

梳

理

n＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

②负分数指数幂：

amn＝a1mn＝1nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的性质

①aras＝ars(a>0，r，s∈Q)；

＋②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

2．指数函数的图象与性质

y＝ax

a>1

0

定义域

值域

R (0，＋∞) 过定点(0,1) 性质

当x>0时，y>1；

x<0时，0

在区间(－∞，＋∞)上是增函数

[小题体验]

1．函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是(

) 当x>0时，01 在区间(－∞，＋∞)上是减函数

12，，则f(－1)＝________. 2．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点A3

3．已知0.2m<0.2n，则m______n(填“>”或“<”)．

364．

(1)23×1.5×12＝________.

21(2)32ab2－6a2b3÷－3a6b6＝________. 1115

1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．

2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1或0

[小题纠偏]

1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)．

nn(1)an＝(a)n＝a.(

)

mm(2)分数指数幂an可以理解为n个a相乘．(

)

(3)(－1)＝(－1)＝－1.(

)

2．若函数y＝(a－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．

考点一

指数幂的化简与求值

[题组练透]

化简与求值：

2412

213－2212－(0.01)0.5；

(2)

5a3·－－2120＋2－2·(1)b·÷b3；

(3)－3a2b4a3·5461113222－1·a·b3a·b1116. a·b5

[谨记通法]

指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

考点二

指数函数的图象及应用

[典例引领]

1.函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(

) B．a>1，b>0 D．01，b<0

C．00

2．已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．

[由题悟法]

指数函数图象的画法及应用

1－1，a. (1)画指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．

(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．

[即时应用]

1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(

)

解析：选A

将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．故选A.

2若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，求k的取值范围．

考点三

指数函数的性质及应用

[锁定考向]

高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题．

常见的命题角度有：

(1)比较指数式的大小；

(2)简单指数方程或不等式的应用；

(3)探究指数型函数的性质．

[题点全练]

角度一：比较指数式的大小

1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(

) A．a

B．a

C．b

D．b

角度二：简单指数方程或不等式的应用

1x－7，x<0，22．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(

) x，x≥0，A．(－∞，－3)

B．(1，＋∞)

C．(－3,1)

角度三：探究指数型函数的性质

1x1x3．函数y＝4－2＋1在区间[－3,2]上的值域是____．

D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

1－x2＋2x＋14．函数f(x)＝的单调减区间为________．

2

[通法在握]

应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略

题型

比较幂值的大小

求解策略

(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小

先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解

与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致

解简单指数不等式

探究指数型函数的性质

[提醒]

在研究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．

[演练冲关]

已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．

(1)试确定f(x)；

1x1x(2)若不等式a＋b－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．函数y＝2x与y＝2－x的图象关系是(

) A．关于x轴对称

B．关于y轴对称

C．关于原点对称

D．关于直线y＝x对称

12.52．设a＝22.5，b＝2.50，c＝2，则a，b，c的大小关系是(

) A．a>c>b

B．c>a>b

C．b>a>c

D．a>b>c

3．已知f(x)＝3xb(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为(

) －A．[9,81]

B．[3,9]

C．[1,9]

4．不等式2－x2＋2xD．[1，＋∞) 1x＋4>2的解集为________．

5．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.

二保高考，全练题型做到高考达标

1．化简4a·b2313221÷－a3b3的结果为(

) 32a8a6aA．－

B．－b

C．－b

D．－6ab

3b

2．函数y＝ax2－1(a>0且a≠1)的图象恒过的点是(

) ＋A．(0,0)

B．(0，－1)

C．(－2,0)

D．(－2，－1)

3．已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是(

)

xa，

x>1，4．若函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(

) 2－3ax＋1，x≤1

23232，1

B.，1

C.，

D.，＋∞

A.34343

1－2x，x≥0，5．已知函数f(x)＝x则函数f(x)是(

) 2－1，x<0，－

A．偶函数，在[0，＋∞)单调递增

B．偶函数，在[0，＋∞)单调递减

C．奇函数，且单调递增

D．奇函数，且单调递减

6．指数函数y＝f(x)的图象经过点(m,3)，则f(0)＋f(－m)＝________.

7．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是________．

－

8．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是________．

9．化简下列各式：

70.510237－2(1)29＋0.1＋227－3π0＋；

(2) 48

10．已知函数f(x)＝a|x＋b|33a·a3÷

－723a3·a1. －－(a>0，b∈R)．

(1)若f(x)为偶函数，求b的值；

(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a，b应满足的条件．

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11．当x∈[1,2]时，函数y＝x2与y＝ax(a>0)的图象有交点，则a的取值范围是(

) 21111，2

B.，2

C.，2

D.，2

A.2244

2．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－1. 2|x|3(1)若f(x)＝，求x的值；

(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．

2