习题3.1全国优秀课堂实录

3.1.2

用二分法求方程的近似解

学习目标：

（1）通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的（2）能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．

（3）体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．

通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

课堂探究：

一

、引入：

游戏：请你模仿李咏主持一下幸运52，请同学们猜一下下面这部手机的价格。

一元二次方程可以用公式求根，但没有公式可以来求方程lnx+2x-6=0的根.联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？

二

、讲解新课：

利用我们猜价格的方法，你能否求解方程lnx+2x-6=0根? 区间

（2，3）

（2.5，3）

（2.5，2.75）

（2.5，2.625）

（2.5，2.5625）

(2.53125, 2.5625)

(2.53125, 2.546875)

(2.53125, 2.5390625）

二分法及步骤：

对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)0的函数yf(x)，通过不

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常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．

学习重点：

端点的符号

f(2)<0, f(3)>0 f(2.5)<0, f(3)>0 f(2.5)<0, f(2.75)>0 f(2.5)<0, f(2.625)>0 f(2.5)<0, f( 2.5625)>0

f(2.53125)<0, f( 2.5625)>0

f(2.53125)<0, f(2.546875)>0

f(2.53125)<0, f(2.5390625)>0 中点的值

2.5 2.75 2.625 2.5625 2.53125 2.546875

2.5390625

2.53515625 中点函数值的符号

f(2.5)<0 f(2.75)>0

f(2.625)>0 f(2.5625)>0 f(2.53125)>0

f(2.546875)>0

f(2.5390625)>0

f(2.53515625)>0

断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

给定精度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：

1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精度；

2．求区间(a，b)的中点x1；

3．计算f(x1)：

1

若f(x)=0，则x就是函数的零点；

○112

若f(a)·f(x)<0，则令b=x（此时零点x(a,x)）○；

11013

若f(x)·f(b)<0，则令a=x（此时零点x(x,b)）○；

11014．判断是否达到精度；

即若|ab|，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4．

例题解析：

例借助计算器或计算机用二分法求方程23x7的近似解（精确到0.1）．

解：（略）．

思考：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？

结论：图象在闭区间[a，b]上连续的单调函数f(x),在(a，b)上至多有一个零点．

除所在的大致区间和解的个数外,你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？

结论：图象在闭区间[a，b]上连续的单调函数f(x),在(a，b)上至多有一个零点．

（1）函数零点的性质

从“数”的角度看：即是使f(x)0的实数；

从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；

若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；

若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．

（2）用二分法求函数的变号零点

二分法的条件f(a)·f(b)0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点

说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区间存在根的基本步骤，及方程根的个数的判定方法；

三

内容小结

1. 二分法的定义；

2. 用二分法求函数零点近似值的步骤. 四

课后作业

P 91 练习

第1,2题

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