习题2.2优秀完整教案

对数函数及其性质教学设计

名称

2.2.2 对数函数及其性质

基本

信息

执教者

所属教材目录

高新娥

课时

3 人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修1第二章

教材

分析

函数是高中数学的核心，而对数函数在生产、生活实践中都有许多应用，既是本章的一个重点内容，也是高中阶段所要研究的重要的基本初等函数之一。这一节的内容是在学生已经学过指数函数、对数的基础上，通过具体实例了解对数函数模型的实际背景引入的，在教学时可以类比指数函数图像和性质的研究，引导学生自己研究对数函数的性质。通过本节的学习使学生对建立和研究一个具体函数的基本过程和方法有较完整的认识。同时会运用它们解决一些实际问题，充分体现数学的应用价值。有利于学生对函数这一重要数学思想方法的进一步认识与理解，有利于学生对初等函数认识的系统性，使学生的知识体系更加完整、系统。为后面进一步探究函数的应用起到承上启下的作用。

学情

分析

1、学生从初中到高一年级接触到了一些函数和研究函数的一些方法。

2、对数是学生在高一刚刚接触到的新概念，不易理解，计算的形式具有一定的复杂性. 3、以对数作为基础的对数函数是高中学生最不易掌握的函数类型。

4、函数是高中十分重要的概念. 其中关于定义域、值域、单调性、奇偶性等函数的性质应有一个整体的认识，这在学习、解决函数问题的过程中显得十分重要，应在适当的时机对学生这种函数的整体观念加以培养，这节课的学习过程是一个可以把握的机会。

1.理解对数函数的意义

知识与技能目标

2.掌握对数函数的图象和性质及其简单应用

3.了解底数相同的指数函数与对数函数互为反函数。

教学

目标

经历探究对数函数的图像与性质的过程，培养学生观察、过程与方法目标

分析、归纳的思维能力以及数学交流能力；渗透归纳、类比、数形结合、分类讨论、函数等数学思想方法。

情感态度与

价值观目标

培养学生对问题进行质疑的意识，培养学生在学习的过程中交流的习惯，养成善于探索、积极合作、大胆交流、虚心学习的良好品质。. 教学重难点

重点

难点

对数函数的概念、图像和性质

如何从对数函数的图像归纳出对数函数的性质，是教学时可能遇到的难点。突破难点的关键在于认识底数a对函数值变化的影响。

教学策略与设计说明

1.充分发挥信息技术的作用，为学生的数学探究与数学思维提供支持。利用电脑演示作图过程及图像的变化的动态过程，从而使学生直观的接受并提高学生的学习兴趣和积极性，很好地突破难点和提高教学效率，从而增大教学的容量和直观性、准确性。2.教学时重视以具体、实际的问题体现数学的思想方法及价值。

教学过程

教学环节

明确学

习目标

问题与情境

1.理解对数函数的意义

2.掌握对数函数的图象和性质及其简单应用

3.了解底数相同的指数函数与对数函数互为反函数。

问题1.

学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？

借助指数函数的图象来复习它的性质.

师生活动

设计意图

在教学中做到有的放矢

结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的方法——借助图象研究性质．

为讲解对数函数时对底数的限制做准备

复习旧知打下基础

生：回答问题1 师：引导学生复习指数函数的性质，适时的把性质在挂图上补充完整，完成后表扬学生，激发学生学习新知识的兴趣.

图

象

a>1 0

R

值域：

0,

过定点：（0，1）

性

即x0时，y1

(2)单调性：在R在R

函数

质

上是增函数

(3)最值：没有最值

当x上是减

生：回答问题2

(4)奇偶性：不具有奇偶性

x与0时，当x0时，

y的对应关系

0y1

当xy1

当x0时，

0时，y1

0y1

问题2.回顾对数的定义及其对底数的限制

1.理解实际问题，感知概念

在P58练习第3题中，我们知道某种细胞分裂时，由1

创设情境形成概念

个分裂成2个，2个分裂成4个……不难得出下表：

细胞分裂次数

分裂后细胞个数

21=2

22=4

23=8

24=16

25=32

1

2

3

4

5

师：这是一个什么…

样的函数呢？你能据此得到此类

函数的一般式…

吗？

生：y=logax.

师：这就是我们今天要研究的对数函数.

师：组织学生充分讨论、交流

生1：在对数的定义中，我们规定了必须满足条件

由对数的意义可知，当分裂后细胞个数为2时，细胞分裂次数为1log22次；当分裂后细胞个数为4时，细胞分裂次数为2log24次；当分裂后细胞个数为8时，细胞分裂次数为3log28次……当分裂后细胞个数为xylog2x次，我们发现对于每一个分裂后细胞个数x，通过对应关系ylog2x，细胞分裂次数y都有唯一的值与之对应，从而y是关于x的函数. 时，细胞分裂次数为对数函数的定义：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数。其中x是自变量，函数的定义域是（0，

+∞）．

2.辨析讨论，深化概念

探究：（1）在函数的定义中，为什么要限定a＞0且a≠1．

（2）为什么对数函数

初步建立对数函数模形，由实际问题引入，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生解决实际问题的能力．

使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.

ylogax（a＞0且a≠1）的定义域是（0，+∞）．

“a0，且

注意：①

对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，a1”．

a注意辨别．如：和对数函数，而只能称其为对数型函数．

ylogx1y2log2x

都不是生2答：①根据对数式与指数式的关系，知②对数函数对底数的限制：a

0且a1

ylogax可化为ayx，由指数的概念，要使ayx有意义，必须规定a＞0且a≠1．②因为

教师给学生提供提前准备好的坐标纸，讲清要求，分两大组让学生通过列表，描点画出函数：

（1）ylogax可化为xay，不管y取什么值，由指数函数的性质，

ay＞0，所以x(0,)．

师：a0的来历确实如此，但对于条件a1来说就不仅仅如此了！事实上，在指数式axN中，如果a1，则对于任意的xR，都有1x1，转换成为对数形式后，则不再是我们所学习的函数了．

生：独立画图，同学间交流。

师：课堂巡视，个别辅导，注意收集学生存在的问题，集中讲评，展示画得较好的个别同学图象。

ylog2x（2）

ylog1x（第一大组）

2（3）

ylog3x（4）

ylog1x

(第二大组) 3合作交流1.观察图像特征，探究性质

探究新知

1.让学生结合刚才的作图，观察分析这两个对数函数所具备生：以大组为单位讨论对数函数的的性质。猜想a>1,0

性质，5分钟后每2.教师借助几何画板分a>1,0

达较好的代表来描述对数函数性

质

图象特征

函数性质

师：对于拿不准的0

a1

同学给予鼓励，对于描述正确的同函数图象都在y轴右函数的定义域为

学予以表扬. 侧

（0，＋∞）

图象关于原点和y轴不对称

向y轴正负方向无限延伸

类比指数函数图像和性质的研究，师生共同分析所画的两组函数的图象，总结归纳对数函数图象的特非奇非偶函数

函数的值域为R

掌握函数图象的画法,建立对对数函数图像的初步认识

培养学生的观察、归纳、概括的能力，渗透数形结合、由特殊到一般、类比、分类讨论的的数学思想方法，掌握对数函数的图象及性质.

函数图象都过定点（1，0）

自左向右看，

图象逐渐上升

第一象限的图象纵坐标都大于0 第四象限的图象纵坐标都小于0

自左向右看，

图象逐渐下降

第一象限的图象纵坐标都大于0 第四象限的图象纵坐标都小于0 无论a为任何正数，

总有loga1=0 征，进一步推出对数函数的性质.

增函数

减函数

x>1, logax>0 0< x<1, logax>0 0< x<1, logax<0 x>1, logax<0

知道底数互为倒数的两个对数函数的图像关于x轴对称，培养学生的观察分析的能力，渗透，归

师：这些函数的图象有什么关系？

生：类比底数互为倒数的两个指数函数的图象关于数互为倒数的两个对数函数的图

2.探究底数互为倒数的两个对数函数的图像关系

在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可计算器）

（1）

ylog2x（2）

ylog1x

2（3）

ylog3x（4）

ylog1x

3y轴对称，得出底

3.探究反函数的定义

象关于x轴对称

教师通过一组问题串引导学生分析指数函数纳、类比的思想方法

知道指数函数yax与对数函数yax与对数函数ylogax的ylogax互为反函数。

关系，最后教师点明同底的指数函数与对数函数互

尝试训练巩固概念、性质

为反函数。

师：求函数定义域时应从哪些方面2

（1）ylogax

(2)yloga(4x)

来考虑？

生：①分母不能为0 .②偶次根号解：（1）由x2＞0，得x≠0.

下非负. ③0的0次幂没有意义.④∴函数y=logax2的定义域是{x|x≠0}.

若函数解析式中含有对数式，要注（2）由4－x＞0，得x＞1. 意对数的真数大于0. ∴函数yloga(4x)的定义域是

小结：求函数的定义域的本质是解{x|x＞1}. 不等式或不等式组.

生：完成该题解答师：规范板书

例2：比较下列各组数中两个值的大小

师：请同学们观察（1）

log

2

3

.

4

,

log

2

4

.

5

;

每题中两个对数

（2）

log

0

.3

1

.8

,

log

0

.3

3.7的底数之间的关（3）

loga5.1,loga5.9(a0,a1)系

生：底数相同

解：（1）对数函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，且师：因此(1)可认为对数函数图像、概念及性质的初步应用

例1：求下列函数的定义域

3.4＜4.5. 于是log23.4＜log24.5. （2）对数函数y=log0.3x在（0，+∞）上是减函数，且1.8＜3.7，

于是log0.51.8＞log0.53.7. （3）当a＞1时，对数函数y=logax在（0，+∞）上是增函数，

于是loga5.1＜loga5.9；

当0＜a＜1时，对数函数y=logax在（0，+∞）上是减函数，

于是loga5.1＞loga5.9. 例3 溶液酸碱度的测量. 溶液酸碱度是通过pH刻画的.pH的计算公式为pH=－lg［H+］，其中［H+］表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升. （1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶2是中，x取3.4和4.5时的函数值

(2)可认为是ylogxylog0.3x中，x取1.8和3.7的函数值

(3)可认为是使学生通过求函数的定义域加深对对数函数的理解，主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制，重点并非求函数的定义域

应用对数函数的单调性“比较两个数的大小”，熟悉对数函数的性质，渗透用函数的观点解决问题的方法。

ylogax中，x取5.9和5.1的函数值

ylogxa由

单调性可以比较，

对于（3）教师注

意引导学生用分

类讨论思想，应用

函数性质去解答。

生板演，师组织学

生进行课堂评价

考察学

生对实

际问题

题意的

理解，把

具体的师：例3的难点是

实际问理解题意，要把重题划归点放在对实际问为数学题题意的理解，学问题。并

液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；

（2）已知纯净水中氢离子的浓度为［H+］=10升，计算纯净水的pH. 解：根据对数的运算性质，有pH=－lg［H+］

=lg［H+］1=lg－－7摩尔/1[H]. 在（0，+∞）上，随着［H+］的增大，相应地，lg1[H]减小，1[H]也减小，即pH减小. 所以，随着［H+］的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越小.

（2）当［H］=10－+－7时，

pH=－lg107，所以纯净水的pH是7. 会把具体的实际问题划归为数学问题并用所获得的结果去解释实际现象

师：事实上，食品监督监测部门检测纯净水的质量时，需要检测很多项目，pH的检测只是其中一项.国家标准规定，饮用纯净水的pH应该在5.0～7.0之间.

学生独立完成

用所获得的结果去解释实际现象

这一环节的设置，是学生对所学知识的一个应用过程、对所掌握的解题方法的一个巩固过程，是知识的一个再体现过程。

巩固练习：课本73页第2、3题

指数函数与对数函数对照表

反思总结

指数函数

对数函数

强化理解

一般yax

ylogax

形式

(a0，且a1)

(a0，且a1)

定义域

师：引导学生回顾指数函数与对数函数的定义、图像和性质，完成指数函数与对数函数对照表

生：填表

对指数函数与对数函数形成成整体认识

(,)

(0,)

值域

(0,)

(,)

当a1时，

函

数

值

变

当a1时，

logax0,x1,logax0,x1,logx0,x1.aax1,x0,xa1,x0,

ax1,x0.当0a1时，

ax1,x0,化

xa1,x0,

情

ax1,x0.况

当0a1时，

logax0,x1,logax0,x1,logx0,x1.a

a1时，yaxa1时，是增函数；

单调性

ylogax是增函0a1数

时，

0a1时，数；

yax是减函数

ylogax是减函函数yax的图象与函数ylogax的图象关于直线yx对称．

图象

课堂

小结

1、你能归纳出这节课的学习内容吗？

2、对数函数及其性质和指数函数及其性质有什么区别和联系？

3、你能谈谈这节课的收获和体会吗？

布置

作业

必做题：教材P74习题2．2（A组）

第7、8、题．

选做题：探究互为反函数的两个函数图像之间的关系

对数函数及其性质

1. 对数函数的定义

3.底数互为倒数的两个对数函数的

2. 对数函数的图像及其性质

图像关于x轴对称

a>1

0

4.底数相同的对数函数与指数函数

图像

互为反函数

定义域

例1

例2 值域

特殊点

单调性

1.关注学生在整个探究过程中的表现，包括学生的投入程度、思维水平的发展.具体体现在：

（1）在对数函数概念形成的过程中，观察学生的思维发展过程，学生的概括问题的能力

（2）在对数函数的性质的探究过程中，考察学生分析和解决问题的能力

2.在练习中检测学生对本节知识的掌握情况。

3.根据学生在课堂小结中的表现和课后作业情况，查缺补漏，以便调控教学。

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